![]() |
Aritmetik Ve Geometrik Diziler, Seriler |
![]() |
![]() |
#1 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Aritmetik Ve Geometrik Diziler, SerilerARİTMETİK ve GEOMETRİK DİZİLER, SERİLER Aritmetik Dizi A ![]() Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere aritmetik dizi denir ![]() ![]() ÖRNEK (an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz ![]() ![]() an+1 – an = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (an), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir ![]() B ![]() Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı d = 1 olan bir aritmetik dizidir ![]() 5 a1 = a1 a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir ![]() Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir ![]() ÖRNEK İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir? a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n – 1) d an = 8 + (n – 1) 2 an = 2n + 6’dır ![]() C ![]() Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark : d = ap – ak dir ![]() p - k ÖRNEK 39 ![]() ![]() a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 – a39)/(45 – 39) d = (22 – 19)/6 d = ½’ dir ![]() a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı : d = b – a dır ![]() n + 1 ÖRNEK - 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır? a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4 Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse, Sn = n [2a1 + (n – 1)d] ya da 2 Sn = n (a1 + an) olur ![]() 2 Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir ![]() ap = ap – k +ap + k dır ![]() 2 ÖRNEK 19 ![]() ![]() ![]() a19 = 42 ve a33 = 88 ve (19 + 33)/2 = 26 olduğu için, a26 = (a19+a33)/2 a26 = (42+88)/2 a26 = 65’tir ![]() GEOMETRİK DİZİ TANIM Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir ![]() " n Î N+ için, an + 1 = r olacak şekilde bir r Î R varsa (an) dizisine geometrik dizi, r sayısına ortak an çarpan veya ortak oran denir ![]() ÖRNEK (an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz ![]() ![]() (an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir ![]() GENEL TERİM Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun ![]() a1 = a1 a2 = r ![]() a3 = r ![]() ![]() a4 = r ![]() ![]() Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn – 1 ![]() ![]() ![]() ÖRNEK İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir? a1 = 4 ve r = ½ an = rn – 1 ![]() an = (1/2)n – 1 ![]() an = 23 - n GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak çarpan : rp – k = ap eşitliğinde bulunur ![]() ak ÖRNEK 2 ![]() ![]() a2 = 3/5 ve a5 = 75 r5 – 2 = a5/a2 r3 = 75/3/5 r3 = 125 r = 5 tir ![]() Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse Sn = a1 ![]() ![]() 1 – r ÖRNEK İlk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplamı 42 olan geometrik dizinin 3 ![]() a1 = 6 ve S3 = 42 ise S3 = a1 ![]() Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir ![]() ![]() ÖRNEK 3 ![]() ![]() ![]() a3 = ve a5 = (a3 ![]() ![]() ![]() ![]() SONUÇ: Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir ![]() ![]() ![]() ![]() ÖRNEK: Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak çarpanı 6, n ![]() ![]() a1 = x, r = 6 ve an = y olduğuna göre, an = a1rn – 1 y = x ![]() ![]() ![]() ![]() Sn = a1 ![]() ![]() ![]() ![]() SERİLER A ![]() (an) reel terimli bir dizi olsun ![]() = a1+a2+a3+ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() an’e serinin genel terimi denir ![]() Serinin ilk n teriminin toplamından oluşan Sn = a1+a2+a3+ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (Sn) = (S1, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() a) (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır ve serinin toplamı = lim Sn’ dir ![]() b) (Sn) dizisi ıraksak ise seriside ıraksaktır ![]() serisi yakınsak ise lim an = 0’dır ![]() ![]() ![]() lim an ¹ 0 ise serisi ıraksaktır ![]() ÖRNEK 2n/5-n serisi veriliyor ![]() ![]() an = 2n/5-n = 2n ![]() ![]() ![]() ![]() B ![]() Aritmetik Seriler (an) dizisi bir aritmetik dizi ise serisine aritmetik seri denir ![]() ![]() ![]() 2 ÖRNEK (n – 10)/20 serisi veriliyor ![]() ![]() ![]() ![]() " n Î N+ için d = an +1 – an =(n+1-10)/20 – (n-10)/20 = 1/20 olduğu için seri aritmetik seridir ![]() a1 = -9/20 ve an = (n – 10)/20 olduğuna göre, Sn =n/2(a1+an) = n/2[-9/20 + (n –10)/20] =n(n – 19)/40 = ¥ olduğuna göre (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır ![]() ![]() Geometrik Seriler (an) dizisi bir geometrik dizi ise serisine geometrik seri denir ![]() ![]() ![]() 1-r |r| < 1 ise seri yakınsaktır ve serinin toplamı: = a1’dir ![]() 1-r |r| ³ 1ise seri ıraksaktır ![]() ÖRNEK 31-n serisi veriliyor ![]() Serinin, geometrik seri olduğunu gösteriniz, serinin kısmi toplamını bulunuz, serinin yakınsak olduğunu gösteriniz, serinin toplamını bulunuz ![]() " n Î N+ için, r = (an+1)/an = 31-(n+1)/31-n = 1/3 olduğu için seri geometrik seridir ![]() a1 = 1 ve r = 1/3 olduğuna göre, Sn = 1 ![]() ![]() r = 1/3 olduğuna göre |r| = |1/3| = 1/3 < 1 dir ![]() ![]() Seri yakınsak olduğuna göre toplamı 31 – n = a1/(1 – r) = 1/(1 – 1/3) = 3/2 dir ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
|