Fen Edebiyat Fak.Ders Notları-Diferansiyel Denklemlerin Tarihsel Gelişimi

Diferansiyel Denklemlerin Tarihsel Gelişimi



Diferansiyel denklemler konusunda yapılan ilk çalışmalar 17 yüzyılın ikinci yarısında diferansiyel ve integral hesabın keşfinden (ortaya çıkmasından) hemen sonra İngiliz matematikçi Newton (1642-1727) ve Alman matematikçi Leibniz (1641-1716) ile başlar


Daha sonraları matematik tarihinde büyük isim yapmış olan İsviçreli matematikçilerden Bernouilli kardeşlerin 18 yüzyılda da Euler Clairaut Lagrance D'Alembert Charbit Monge Laplace ile 19 yüzyılda da Chrystal Cauchy Jacobi Ampere Darboux Picard Fusch ve FG Frobenius diferansiyel denklemler teorisini bugünkü ileri seviyeye getiren matematikçilerdir


Belli tip diferansiyel denklemlerin belli şartlar altında bir çözümlerinin mevcut olmasının ispatı diferansiyel denklemler teorisinde varlık teoremi konusunu teşkil etmekte olup bu da ilk olarak 1820 ile 1830 yılları arasında Fransız matematikçi AL Cauchy tarafından tesis edilmiş ve daha sonra gelenler tarafından geliştirilmiştir


Newton ve Diferansiyel Denklem

İngiliz matematikçi Newton (1642-1727) diferansiyel denklemler üzerindeki çalışmalarına 1665 yılında başlamıştır 1671 yılında yayınladığı bir makale ile diferansiyel denklemleri 3 ayrı sınıfta göstermiştir Bunlar:


Birinci Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları dy/dx tipinde olanlardır Burada y x'in bir fonksiyonudur veya bunun tersi de söz konusudur


İkinci Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları (dy/dx) = f(xy) tipinde olanlardır


Üçüncü Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıftaki diferansiyel denklemler ise kısmi diferansiyel tipinde olanlardır


Leibniz ve Diferansiyel Denklem

Alman filozof ve matematikçi Leibniz (1646-1716) diferansiyel denklemler üzerine çalışmalarına 1673 yılında başlamıştır Bu konudaki çalışmalarını 1684 ile 1686 yılları arasında yazdığı Aklaerudilorum adında bir eseri ile ortaya koymuştur


Leibniz'in bu eseri yayınlandığı yıllarda Almanya'da gereken ilgiyi görmemiştir Fakat İsviçre'de Jaques ve Jean Bernouilli kardeşler tarafından ilgiyle incelenmiştir 1690 yılında Jaques Bernouilli bu konuda önemli bir eser yayınlanmıştır Yine aynı yıllarda; Leibniz ve Bernouilli kardeşler tarafından diferansiyel üzerinde önemli araştırmalar yapmışlardır Yeni çözüm yolları geliştirmişlerdir Leibniz 1691 yılında; f (xy) = f (xg (y)) şeklinde olan diferansiyel denklemin çözümünü yapmıştır


Euler ve Diferansiyel Denklem

Alman matematikçi Leonard Euler (1707-1783) 1728 yılında diferansiyel denklemler üzerinde geniş çalışmalar yapmıştır Diferansiyel denklemlerin derecesini düşürme yöntemlerini geliştirmiştir Seri çözümleri:


(1-x4)-1/2dx + (1-y4)1/2dy = 0


şeklinde olan Abel'in teoreminin cebirsel çözümünü bulmuştur Bu çözüm eliptik fonksiyonlarda önemli rol oynamıştır


Euler'in Denklemi

ai ler sabit olmak üzere denklemin genel şekli:


a0xnyn + a1xn-1yn-1 + + an-1 xy + an = q(x)


olan bu denklem y'ye ve türevlerine göre lineerdir fakat katsayılar değişkendir