Normal Dağılım Betimsel Ve Çıkarımsal İstatistikler

Betimsel ve çıkarımsal istatistikler
Puanlar
Puan verme çeşitlerinin çoğu normal dağılıma bağlı olarak ortaya çıkarılmıştır Değişik puanlama yöntemleri arasında yüzbirliklerle sıralamalar, normal eğri eşitliklikleri, staninler, z puanı ve T-puanlaması vb sayılabilir Davranışsal bilimlerde kullanılan birçok istatistiksel yordamlar puanlarin normal dağılım gösterdiği varsayımına dayanılarak geliştirilmiştir Örneğin çok kişiye uygulanan imtihan veya zeka testleri için bir çan eğrisine dayanan not verilip imtihan veya test sonuçlarının gruplanması veya sıralanması imtihan veya test notlarının normal dağılım gösterdiği varsayımına dayandırılır
Normallik sınamaları


Ana madde: normallik sınamaları


Normallik sınamaları, verilmiş bir veri dizisinin normal dağılıma benzerliğinin incelenmesidir Bu sınamalarda sıfır hipoztez veri dizisinin normal dağılıma benzer olmasıdır Bu nedenle normal olmayan veri için yeter derecede küçük bir p-değeri (yani genellikle %0,05den veya 0,01den küçük) ortaya çıkacak ve sıfır hipotez olan veri dizisinin normal dağılıma benzerliği hipotezinin ret edilmesine neden olacaktır

Kolmogorov-Smirnov sınaması
Lilliefors sınaması
Anderson-Darling sınaması
Ryan-Joiner sınaması
Shapiro-Wilk sınaması
Normal olasılık gösterimi (rankit gösterimi)
Jarque-Bera sınaması

Parametrelerin kestirimi
Parametrelerin maksimum olabilirlik kestirimi
Bir düşünce denemesi olarak, bir seri normal dağılım için



ifadesinin herbiri diğerinden bağımsız olduğu düşünülsün Herbir ifade beklentisi μ ve varyansı 2>0 olan normal dağılımlar göstermektedir İstatistikçiler bu n rassal değişkenin gözümlenen değerlerinin normal dağılım gösteren bir anakütleden ortaya çıkan bir n büyüklüğüde bir örneklem olduğunu kabul etmektedirler Bu örneklemden gözlenen değerlere dayanarak "anakütle ortalaması" μ ve "anakütle standart sapması" kestirimcilerini bulmak arzu edilmektedir Bu n sayıdaki bağımsız rassal değişken için sürekli ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle verilir:



μ ve fonksiyonlari olarak, X1, , Xn gözlemlerine dayanan olabilirlilik fonksiyonu şudur:



Burada C>0 herhangi bir sabittir Bunun genellikle X1,,Xn değişkenlerine bile dayanarak bağlandığı kabul edilmektedir; ama hesaplanan parametrelere göre log-olabilirlilik fonksiyonlarin kısm türevleri bulunduğu zaman sabit oldukları için elimine edilmektedirler
Maksimum olabilirlilik yöntemine göre olabilirlilik fonksiyonu maksimize eden μ ve değerleri, teorik anakütle parametreleri olan μ ve için kestirim oldukları kabul edilmektedir Genel olarak iki değişkenli bir fonksiyonun maksimum değerini hesaplanmaktayken kısm türevler kullanılır Ancak burada maksimum hesaplama daha kolaylaşmaktadır çünkü olabilirlilik fonksiyonunu maksimize eden μ değeri bulunmakta iken anakütle parametresi olan ya bağımlı olmayan bir sabittir Bundan dolayı ilk olarak μ değeri bulunur; bu değer olabilirlilik fonsiyonundaki μ değişkeni yerine konulur ve bu yeni tek değişkenli fonksiyonu maksimize eden değeri bulunur
Olabilirlilik fonksiyonunun şu toplam ifadesinin bir azalan fonksiyonu olduğu bilinmektedir:



Bu toplam ifadeyi minimize edecek μ değerini bulmak istenmektedir Şu ifade



n gözleme dayanan bir "örneklem ortalamasıdır Böylece



Bu ifadede so terim μ değişkenine bağlıdır ve bu terimin minimum değeri şöyle bulunur:



İşte bu ifade n sayıda X1,,Xn gözlem kullanarak μnun maksimum olabilirlilik kestirimidir Sonuç olarak



elde edilir Olabilirlilik fonksiyonunun logaritmasi olan log-olabilirlilik fonksiyonu matematik notasyona göre küçük harflerle (yani , yazılması alışılagelmiştir



Sonra



olur Bu türev, 2 değeri 0 ile



değeri arasında ise pozitif olur; bu değere eşitse türev sıfıra eşittir; bu değerden büyükse türev negatif olur
Bu analizin sonucu olarak bu bulunan artıklar n gözlemli örneklem için 2 bir maksimum olabilirlilik kestirimidir ve bunun kare kökü için maksimum olabilirlilik kestirimdir Bu kestirim yani bir yanlı kestirimdir Alışılagelen yansız kestirim n/(n - 1) çarpı bu kestirimdir Ancak yanlı maksimum olabilirlik kestirimi için ortalama hata karesi yansız kestirimden daha küçüktür


Parametrelerin yansız kestirimi
Bir örneklemden elde edilen anakütle ortalamasının maksimum olabilirlilik kestirimcisi, anakütle ortalamasının yansız kestirimcisi olarak bilinir Aynı şekilde anakütle ortalaması önsel olarak bilinirse, varyans için maksimum olabilirlilik kestrimcisi de yansız kestirimcidir Ancak eğer elimizde bir örneklem bulunuyorsa ama bu örneklemin geldiği anakütlenin ne ortalamasının ne de varyansının değerlerin bilmiyorsak, anakütle varyansının yansız kestrimicisi, 2, şöyle ifade edilir:



Eğer tüm Xi birbirinden bağımsız ve aynı şekilde dağılım gösterirlerse, bu "örneklem varyansı" bir Gamma dağılımı gösterir:

Kaynak : Wikipedia