Rasyonel Sayılar

RASYONEL SAYILAR

a ve b birer tamsayı, b sıfırdan farklı ve a ile b aralarında asal ise, a/b şeklinde yazılabilen sayılara, Rasyonel Sayı denir Yani, denk kesirlerin belirttiği sayıdır Rasyonel sayıların oluşturduğu topluluğa, Rasyonel Sayılar Kümesi denir ve Q ile gösterilir Buradan, Rasyonel Sayılar Kümesini,

Q = {x: x=a/b; a, b Є Z ve b ≠ 0; a ile b aralarında asal }

şeklinde gösterebiliriz Örneğin,

1/5, 2/3, 4, 8/5, -1/2, -6/5, 0,

sayıları, birer rasyonel sayıdır

Bazı Özellikler:

Her doğal sayı, bir tamsayıdır

Her tamsayı, bir rasyonel sayıdır Çünkü, tamsayıların paydası vardır ve 1 dir

a/b = c/b ise, a=c dir

a/b=c/d ise, ad=bc dir

a ile b ve c ile d aralarında asal ve a/b=c/d ise, a=c ve b=d dir




RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER


1 TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ:


Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için, paydaların eşit olması gerekir Şayet, paydalar eşit değilse, paydalar eşitlenir Ortak payda, payda olarak alınırken, toplama işleminde payların toplamı paya, çıkarma işleminde payların farkı paya yazılır Bu kuralı, aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz:






Özellik: a/b sayısının toplama işlemine göre tersi, -a/b dir, yani ters işaretlisidir


Örnekler:












2 ÇARPMA İŞLEMİ


Rasyonel iki sayının çarpımı, payların çarpımı paya, paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır Yani,


şeklinde yapılmalıdır İşaret kuralı, tamsayılardaki gibidir a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi, b/a dır a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi,

(a/b)-1 = b/a

şeklinde gösterilir


Örnekler:






3 BÖLME İŞLEMİ


Rasyonel iki sayının bölümü, ilk sayı aynen yazılır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır Yani, ilk sayı, ikinci sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır Bölme işleminin genel kuralı,

şeklindedir Burada b, c ve d nin sıfırdan farklı olması gerekir Çünkü, sıfıra bölme tanımsızdır Diğer taraftan, sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü, sıfırdır İşaret kuralı, çarpma işlemindeki gibidir


Örnekler:








Karışık Örnekler:


Örnek 1:


olduğuna göre,


toplamının a cinsinden değeri nedir?


Çözüm:

Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak,


olur Yani, a+b=12 bulunur Buradan, b=12-a çıkar








Örnek 2:


sayısı,


sayısının kaç katıdır?


Çözüm:

Bir sayının bir başka sayının kaç katı olduğunu bulmak için, bölme işlemi yapılmalıdır Bu takdirde,



Örnek 3:


olduğuna göre, a kaçtır?


Çözüm:

Eşitliğin sol tarafı sonsuza dek gittiğinden,


yazabiliriz Buradan, a/10 = 10-5, a/10 = 5, a= 105, a=50 bulunur


Örnek 4:



Çözüm:


yazılabilir Buradan,

4x + 5 = x2

x2-4x -5 = 0

Çarpımları -5, toplamları -4 olan iki sayı, -5 ile +1 olduğundan,

(x-5)(x+1) = 0

yazabiliriz Böylece,

x=5 ile x=-1 bulunur Pozitif değe -