Doğal Sayılar/Doğal Sayılarda Işlemler

Doğal Sayılar


Doğal sayılar, N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … } şeklinde sıralanan tam sayılardır Bazı kaynaklarda “0″ doğal sayı olarak alınmaz Matematikte hala sıfırın bir doğal sayı alınıp alınmayacağı tartışma konusudur, ancak eğer cebirsel inşâlar yapılmak isteniyorsa “0″ sayısının doğal sayı olarak alınması avantaj sağlayabilir Matematiğin diğer dallarında da problem hangi durumda daha kolay ifade edilebilecekse doğal sayılar kümesi de o şekilde alınır


Sayı değeri



Bir doğal sayının rakamlarının belirttiği değere rakamların sayı değeri denir Doğal sayının rakamlarının toplamına rakamların sayı değerleri toplamı denir


Basamak değeri



9 basamaklı bir doğal sayının basamaklarının değerleri
* Birler basamağının basamak değeri : 1
* Onlar basamağının basamak değeri : 10
* Yüzler basamağının basamak değeri : 100
* Binler basamağının basamak değeri : 1000
* On binler basamağının basamak değeri : 10000
* Yüz binler basamağının basamak değeri : 100000
* Milyonlar basamağının basamak değeri : 1000000
* On milyonlar basamağının basamak değeri : 10000000
* Yüz milyonlar basamağının basamak değeri : 100000000
Onlu sayma düzeninde bir basamağın değeri sağındaki basamağın 10 katıdır
Bir rakamın basamak değeri o rakam ile rakamın yazıldığı basamağın çarpımıyla bulunur
12345 sayısındaki 2 nin basamak değeri 2 (sayı değeri) ve 1000 (basamak değeri) çarpılarak 2 X 1000 2000 şeklinde bulunur


Peano Belitleri tanımı


Peano belitleri tarihsel olarak doğal sayıların en genel (ve sezgisel) tanımıdır Modern tanımlar bu tanımı sağlar


* Sıfır bir doğal sayıdır
* Her doğal sayının, yine bir doğal sayı olan bir ardılı vardır
* Ardılı sıfır olan hiç bir doğal sayı yoktur
* Ardılları eşit olan doğal sayılar da birbirine eşittir
* Doğal sayılardan oluşan bir küme, sıfırı ve her doğal sayının ardılını içeriyorsa o küme doğal sayılar kümesine eşittir
Sıfırı doğal sayı olarak kabul etmeyen grup, buradaki belitlerin daledodaklebirincisinieger aklın varsa çık git rüyana ters bacakı girer “Bir, bir doğal sayıdır” olarak kabul eder


ZFC tanımı



Zermelo-Freankel küme kuramı) doğal sayılar, von Neumann sıral sayılarıyla inşa edilebilir Buna göre her sayı temelde bir kümedir Eğer sıfır boşküme olarak tanımlanırsa ve her n sayının ardılı, n + , n\cup{n} olarak verilirse, doğal sayılar inşa edilmiş olur





Bu tanım doğal sayıların yinelgen bir yapıda olduğunu da belirtmiş olur Bu yinelgen tanımla sayılar,
0={}
1={0}
2={0,1}
3={0,1,2}
…
n+1={0,1,…,n}
Bu tanımda iki doğal sayının eşitliği sayıların öğe sayısına dayanır
Russell’ın farklı bir tanımı daha genel görünebilir:0 DOĞAL SAYIDIR







Ne var ki bu tanım belitsel küme kuramlarında geçerli değildir, çünkü bir sayı, küme olamayacak kadar büyük topluluklar olmak zorunda kalıyor Ancak tipler kuramı gibi kuramlarda geçerlidir


Büyüklük ve küçüklük ilişkileri


Doğal sayıların sıralanmasına en büyük basamaktan başlanır Aynı basamakta büyük rakam bulunan sayı diğerinden büyüktür
İki sayının yüz milyonlar basamaklarında eşit rakamlar bulunuyor Bu nedenle karşılaştırma bir sonraki basamak olan on milyonlar basamaklarında yapılır Bu basamaklarda 9 > 8 olduğundan 894125067 > 887954700 yazılır “ 894125067 büyüktür 887954700 şeklinde okunur”
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Doğal Sayılar Kümesinde; iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayı olur


Doğal sayılarda işlemler
Toplama işlemi


Toplama işlemi ileri doğru sayma işlemidir Toplama işlemine katılan sayılara terim, işlemin sonucuna toplam denir Toplama işlemi sayıların aynı basamakları arasında yapılır Bu nedenle toplama işleminde sayılar aynı basamaklar alt alta gelecek şekilde yazılır
Doğal sayılarda toplama aşağıdaki cebirsel kurallara uyar:
* Toplamsal birim öğe:
a + 0 = a
* Toplamanın değişme özelliği:
a + b = b + a
* Toplamanın birleşme özelliği:
(a + b) + c = a + (b + c)
* Toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği (sağdan dağılma):
(a + b)c = ac + bc

Bir a sayısını bir b sayısıyla toplamak, a sayısının b kere ardılını almak olarak tanımlanır Daha matematiksel bir tanım verilmek istenirse Ard(n) gösterimi n sayısının ardılını ifâde etmek üzere, toplama aşağıdaki belitlerle tanımlanır:
1 a + 0 = a
2 a + Ard(b) = Ard(a + b)
Bu belitlerden yola çıkarak ardıllık işlemini toplama cinsinden göstermek mümkündür: 2 belitte b=0 seçilirse
a + Ard(0) = ard(a + 0)
sıfırın adrılı birdir, o halde,
Ard(a) = a + 1
olduğu kolaylıkla görülür

Çarpma işlemi


Çarpma işlemi ard arda toplama işlemidir Çarpma işlemine katılan sayılara çarpan, işlemin sonucuna çarpım denir


Doğal sayılarda çarpma aşağıdaki cebirsel kurallara uyar:


* Çarpımsal birim öğe:
a1 = a
* Çarpmanın değişme özelliği:
ab = ba
* Çarpmanın birleşme özelliği:
(ab)c = a(bc)
* Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği (soldan dağılma):
c(a + b) = ca + cb
Bir a sayısını bir b sayısıyla çarpmak, a sayısının b kere toplamını almak olarak tanımlanır Daha matematiksel bir tanım verilmek istenirse Ard(n) gösterimi n sayısının ardılını ifâde etmek üzere, çarpma aşağıdaki belitlerle tanımlanır: