Modern (Sembolik) Mantık

Modern (Sembolik) Mantık

Mantık, geçerli çıkarımlar yapmak için kural ve ilkeler saptar Çıkarımların geçerliliği denetlemeler aracılığıyla yapılır



Klasik mantık geçerli çıkarımlar için kurallar koymuştur Aristoteles, gerçeğe ulaştıran tek yöntemi tümdengelim olarak saptar



Modern mantık, klasik mantık gibi yalnızca tümdengelimle (kıyasla) uğraşmamış, mantığın alanını genişleterek her türlü geçerli çıkarımla ilgilenmiştir
Modern mantık önermeler mantığı ve niceleme mantığı olmak üzere başlıca iki alana ayrılır



Önermeler Mantığı : Matematik üçgenin kenarları için a,b,c yüksekliği için h, alanı için s sembollerini kullanır ve üçgenlerin alanı için, s= ½ah formülüne ulaşır
Modern mantık da, önermelerini p,q,r,s,t,v gibi sembollerle gösterir

“Ali okula gitti” yerine “p”; “Taş ağırdır” yerine “q” ; “Tebeşir beyazdır” yerine “r” gibi semboller kullanır
Matematik, +,-,X, :, = gibi semboller kullanır Modern mantık, bağlaçları, önerme eklemeleri denilen mantık değişmezleri ile sembolleştirir Önermeler mantığın ana balıkları şunlardır :



Önerme Eklemleri : Önermeleri birbirine bağlayan bağlaçlar ve önermeleri olumsuzlaştıran eklere önerme eklemleri denir
Modern mantıkta beş temel önerme eklemi vardır
- Değilleme Eklemi (~) : Değilleme eklemi “~” sembolü ile gösterilir İsim cümlelerinde “değil”, fiil cümlelerinde “…me”, “…ma” karşılığı olarak kullanılır
“değil” ve “…me” , “…ma” olumsuzluk eklerinin kullanıldığı tüm cümlelerde “~” sembolü kullanılır
“Ali okula gitti”, “p”
“Ali okula gitmedi” , “~p”
“Taş ağırdır”, “q”
“Taş ağır değildir”, “~q”
Kural : Önermeler sembolleştirilirken ;
Aynı önermelerin yerine aynı sembollerin, farklı önermelerin yerine farklı sembollerin kullanılmasına,
Önermede geçen “değil”, “…me”, “…ma” gibi olumsuzluk bildiren eklerin yerine mutlaka değilleme ekinin (~) kullanılmasına dikkat edilmelidir
- Tümel Evetleme Eklemi (Ù) : Tümel evetleme eklemi “Ù” sembolü ile gösterilir “ve” anlamı veren tüm bağlaçların karşılığında “Ù” sembolü kullanılır
“Ali okula gitti” “p”
“Ali derse girdi” “q”
“Ali okula gitti ve derse girdi” “pÙq”
“Ali ne okula gitti ne derse girdi” “~pÙ~q”
“Ali’nin okula giiti ve derse girdiği doğru değildir” ~(pÙ q)”
- Tikel Evetleme Eklemi (Ú) : Tikel evetleme eklemi “Ú” sembolü ile gösterilir “Veya” anlamı veren tüm bağlaçların karşılığı olarak “Ú” sembolü kullanılır
“Vaya”, “Yahut”, “ya da” bağlaçlarının tümünün karşılığında tikel evetleme eklemi “Ú” kullanılır



“Ali okula gitti” “p”
“Ali maça gitti” “q”
“Ali okula gitti veya maça gitti” “pÚq”
“Ali okula gitmedi veya maça gitmedi” “~pÚ~q”
“Ali’nin okula gitmediği veya maça gitmediği doğru değildir” “~(~pÚ~q)”
- Koşul Eklemi (Þ) : Koşul eklemi “Þ” sembolü ile gösterilir “ise” anlamı veren tüm bağlaçların karşılığında “Þ” sembolü kullanılır
“Zaman”, “ise, “…se”, “…sa”, “…ce”, “için ki”, “yeter ki” gibi koşul bildiren tüm bağlaçların karşılığında koşul eklemi “Þ” kullanılır
“Kar yağar”, “p”
“Hava soğuk olur” , “q”
“Kar yağarsa kava soğuk olur” “pÞq”
- Karşılıklı Koşul Eklemi (Û) : Karşılıklı koşul eklemi ” Û” sembolü ile gösterilir “Ancak ve ancak” anlamı veren tüm bağlaçlar karşılığında “Û” sembolü kullanılır
“Su, normal koşullarda 100°’de ısınır” “p”
“Su kaynar” “q”
“Su ancak ve ancak normal koşullarda 100°’de kaynar” , “p Û q”
Çıkarım : Verilen önermelerden zihnin sonuç çıkarmasına çıkarım denir Çıkarımda verilen önermelere öncül, öncüllerden zihnin zorunlu olarak çıkardığı önermeye ise sonuç önermesi denir
Çıkarımda, sonuç önermesinin başında “o halde”, “öyleyse”, “bu nedenle” ifadeleri bulunur “O halde” ve yerine geçen deyişlerin karşılığı olarak “\” sembolü kullanılır
Her insan ölümlüdür (p)
Ali insandır (q)
(\) Ali ölümlüdür ( r )
çıkarımı
p,q\r olarak sembolleştirilir



Basit ve Bileşik Önermeler : Önermeler mantığında, önerme eklemi kullanılmayan önermelere basit önerme, önerme eklemleri yardımıyla kurulan önermelere bileşik önerme denir
Basit ve bileşik önermelerle ilgili üç başlık incelenecektir :
- Ana Eklem Ana Bileşenler : Bir bileşik önermeyi oluşturan önermelere ana bileşen, ana bileşenleri birbirine bağlayan ekleme ise ana eklem denir
- Yorumlama Amacıyla Sembolleştirme : Basit bir önerme ad ve yüklemden oluşur Bilinen adlar, “a”,”b”,”c” gibi sembollerle, yüklemler ise “F”, “G”, “H” gibi sembollerle gösterilir
“Tebeşir beyazdır” Gibi bir önerme “p” olarak sembolleştirilebileceği gibi,
Tebeşir beyazdır



a F “Fa” olarak da sembolleştirilebilir
Yüklemin ad ile sembolleştirilmesiyle önermelerin ifade edilmesi, yorumlama amacı ile sembolleştirmedir
- Doğruluk Çizelgeleri : İki değerli mantığın “üçüncü halin imkansızlığı” ilkesine göre, bir önerme, “doğru” (D) ya da “yanlış” (Y) iki tür doğruluk değeri alır
Bileşik önermelerin doğruluk değerleri değilleme eklemine göre ve önerme eklemlerine göre biçimlenir ve bu tablolardan yararlanarak bileşik önermelerin doğruluk değerleri bulunur

Denetlemeler : Bu bölümde iki denetleme türü ile denetleme kuralları incelenecektir
- Doğruluk Çizelgeleri ile Denetlemeler : Doğruluk çizelgeleri ile denetlemelerde üç tür denetleme vardır Bu bölümde önermelerin tutarlılık ve geçerlilik denetlemeleri ile eşdeğerliği incelenecektir



Tutarlılık Denetlemeleri : Önermelerin tutarlılıkları, tekil önermelerin tutarlılığı ve önermelerin birlikte tutarlılığı olmak üzere iki yoldan denetlenir
Bir Önermenin Tutarlılığı : Bir önermenin tutarlı olması için doğruluk çizelgesinde en az bir yorumunun doğru (D) olması gerekir
Önermelerin Birlikte Tutarlılığı : Doğruluk çizelgesinde en az bir kere birlikte doğru (D) değeri alan önermeler birlikte tutarlıdır
Geçerlilik Denetlemeleri :Geçerlilik denetlemeleri tek bir önermenin geçerliliğini ve çıkarımların geçerliliğini içerir
Bir önermenin geçerliliği : Doğruluk çizelgesinde tüm yorumları D olan önerme geçerlidir
Çıkarımların geçerliliği : Bir çıkarımın geçerli olması doğru öncüllerden yanlış sonucun çıkmamasıdır Çıkarımların geçerliliği denetlenirken sonuç önermesi değillenir



Sonuç önermesinin değillenmesi ile öncüller birlikte tutarsız ise çıkarım geçerli,
Sonuç önermesinin değillenmesi ile öncüller birlikte tutarlı ise çıkarım geçersizdir
Önermelerin Eşdeğerliği : Doğruluk çizelgesinde bütün yorumların doğruluk değeri aynı olan önermeler eşdeğer (denk) dir
- Çözümleyici Çizelgeleri ile Denetlemeler : Çözümleyici çizelgelerle yapılan denetlemeler beş başlık altında toplanabilir



Bir Önermenin Tutarlılığı : Çözümleyici çizelgelerle yapılan denetlemelerde bir önermenin tutarlılığı, tümel ve tikel evetleme eklemlerinin çözümleme kurallarını içerir
Tümel Evetleme Ekleminin Çözümleme Kuralı : Tümel evetleme eklemiyle yapılan bir bileşik önermenin tutarlılığı denetlenirken ana bileşenler alt alta yazılarak anahtar açılır Anahtarın içinde yer alan çözülmüş önermelerin (p, ~p gibi) en az birinin bile karşıtı varsa, önerme tutarsız; hiçbirinin karşıtı yoksa, önerme tutarlıdır
UYARI : Tutarsız önermelerin çözümleme yolunun altına yol kapalı anlamında ( X ) işareti konulur



Tikel Evetleme Ekleminin Çözümleme Kuralı : Tikel evetleme eklemiyle yapılan bir bileşik önermenin tutarlılığı denetlenirken ana bileşen sayısı kadar çatal açılır Her iki çatalın altına bir ana bileşen yazılır



Her bir çatalın altındaki önermenin (bileşenin) karşıtı yoksa önerme tutarsızdır
UYARI : Yalnızca tikel evetleme eklemi ile yapılan önermeler her koşulda tutarlıdır
Önermelerin Birlikte Tutarlılığı : Çözümleyici çizelge ile önermelerin birlikte tutarlılığı denetlenirken tümel ve tikel evetleme eklemlerin çözümleme kuralları uygulanır



UYARI : Ù’nin Ú ‘ye göre işlem önceliği olduğunu unutmayalım
Bir Önermenin Geçerliliği : Bir önermenin geçerliliği çözümleyici çizelge ile denetlenirken, önce önermenin değillemesi alınır Değillemesi tutarsız olan önerme geçerli, değillemesi tutarlı olan önerme geçersizdir
Tüm yorumları Y olan önerme tutarsızdır



O halde, değillemesi tutarsız olan önerme her koşulda geçerlidir
Çıkarımların Geçerliliği : Çıkarımların geçerliliğini denetlerken, sonuç önermesini değilleyerek öncüllerle birlikte tutarlı olup olmadığını denetlediğimiz doğruluk çizelgesi ile denetlemeleri görmüştük



Önermelerin Eşdeğerliliği : Çözümleyici çizelge ile önermelerin eşdeğerliği denetlenirken, eşdeğerliği araştıran önermeler arasına karşılıklı koşul eklemi (Û) konur
Elde edilen önerme geçerli ise önermeler eşdeğerdir



- Denetleme Kuralları :
Bir önermenin tutarlı olması için doğruluk çizelgesinde en az bir kere D değeri alması gerekir
Bir önermenin tutarsız olması için doğruluk çizelgesindeki tüm yorumların (sütunun) Y olması gerekir



Önermelerin birlikte tutarlı olması için doğruluk çizelgesinde en az bir kere birlikte D değeri almaları gerekir
Bir önermenin geçerli olması için ;



Doğruluk çizelgesindeki tüm yorumların (sütunun) D’lerden oluşması gerekir
Değillemesinin tutarsız olması gerekir
Bir çıkarımın geçerli olması için doğru öncüllerden yanlış sonuç çıkmaması gerekir Bunun için de sonuç önermesinin değillemesi ile öncüllerin birlikte tutarsız olması gerekir



Önermelerin eşdeğer olması için;
Önermelerin doğruluk çizelgesindeki tüm yorumların aynı olması gerekir
Eşdeğerliği istenen önermeler arasına Û konduktan sonra elde edilen önermenin geçerli olması gerekir

- Tutarlılık, Geçerlilik, Eşdeğerlik İlişkileri :
Tutarlı önermeler geçerli de geçersiz de olabilir
Tutarsız önermeler mutlaka geçersizdir
Geçerli önermeler mutlaka tutarlıdır
Geçersiz önermeler tutarlı da tutarsız da olabilir
Tüm geçerli önermeler eşdeğerdir
Tüm tutarsız önermeler eşdeğerdir

SEMBOLİK MANTIK

Çıkarımları sembolik bir dille denetlemek için geliştirilmiştir
Çıkarım eldeki bilgilerden bir sonuç çıkarma işlemidir
Eldeki bilgilerden beklenen sonuçların çıkıp çıkmadığını araştırmaya denetleme denir
Sembolik mantık günlük dildeki önermeleri semboller yardımıyla çok anlamlılığa ve belirsizliğe yer vermeden denetleyebilmeyi sağlar

A Önermeler Mantığı

B Yüklemler Mantığı

A ÖNERMELER MANTIĞi

1 Önermelerin Sembolleştirilmesi

Önermeler mantığında her bir yargı p,q,r gibi sembollerle ifade edilir

Örnek:
Dünva gezegendir Dünyanın şekli elipstir
P q

Güneş yakıcıdır,
r

2 Önerme Eklemleri: -, v, a, =>, <=>

Dünya gezegen ise güneş yakıcıdırfp => r)
P => r

Dünya gezegendir ve şekli elipstir, (p A q)
P A q

3 Önerme Çeşitleri

a Basit önerme

Bir tek yargısı olan önermeler basittir
Aristotales filozoftur Bazı çiçekler kokuludur
P q

b Bileşik önerme

Birden fazla yargısı olan önermeler bileşiktir

Aristotales filozoftur veya bilim adamıdır, (p v q)
P q
Yağmur yağıyor ise hava bulutludur, (r => s)
r s

Önemli: içinde önerme eklemi taşıyan önermeler de birden fazla yargı taşıdıklarından bileşiktirler

İstanbul başkent değildir (~ p)
p (bileşen)

Kuşlar kanatlıdır ve iki ayaklıdır (q a r)
q (bileşen) r (bileşen)a Bileşik önermeyi meydana getiren önermelerin
her birine bileşen denir
Hiçbir bileşeni olmayan önermeler basittir Sadece ~ ekleminin tek bileşeni vardır

4 Ana Eklem - Ana Bileşen

Birden fazla bileşik önermeden oluşan önermelerde en son işleme katılan eklem, ana eklemdir Ana eklemin karşıladığı önermeler de ana bileşendir

~[~(P= Ana bileşen âna bileşen
Ana eklem

~ [~(P= Ana Ana bileşen
eklem

~p(p= Ana bileşen
Ana
eklem

P = ana ana
bileşen bileşen
ana eklem

5 Temel Doğruluk Çizelgeleri

a Değilleme eklemi (~)

~ ~p ~~p
D Y D
Y D Y

Bilim faydalıdır, (p)

Bilim faydalı değildir (~ p)
p

Bilimin faydalı olmadığı doğru değildir (~~p)
~p ~

b Tikel evetleme eklemi ( v)

Bileşenlerden en az birinin doğru olduğunu kabul eden önerme eklemidir

Hava bulutludur veya hava yağmurludur (pvq)

p q

pq pVq
DD D
DY D
YD D
YY Y

c Tümel evetleme eklemi ( ^ )

Bileşenlerinin tümünün doğru olduğunu kabul eden önerme eklemidir

Bileşenlerin birlikteliğini ifade eden ile, kadar, hem-hem, da-da tümel evetleme eklemiyle belirtilir

Mevsim yazdır ve güneş yakıcıdır, (p^q)
P q

pq p^q
DD D
DY Y
YD Y
YY Y

d Koşul eklemi (=>)

Yargının bir koşula bağlı olduğu önerme eklemidir

Yağmur yağıyor ise hava bulutludur, (p =>q)
p (ön bileşen) q (ard bileşen)

pq p =>q
DD D
DY D
YD D
YY Y

Hava bulutlu değilse yağmur yağmaz (~q => ~p)
~q ~p

önermesi p =>q önermesinin mantıksal sonucudur Dolayısıyla aynı doğruluk değerlerine sahiptirler

Yağmur yağmıyor veya hava bulutludur (~ p v q)
~P q

Önermesi de p =>q önermesinin mantıksal sonucudur Dolayısıyla doğruluk değerleri aynıdır

pq p =>q ~q => ~p ~ p v q
DD D D D
DY Y Y Y
YD D D D
YY D D D

= =

e Karşılıklı koşul eklemi (<=>)
Yargının sadece tek bir koşula bağlı olduğu önerme eklemidir

Güneş doğduğunda ancak ve ancak gündüz olur (p<=>q)

pq p<=>q
DD D
DY Y
YD Y
YY D

6 Denetlemeler

a Tutarlılık

• Bir önermenin tutarlılığı : Yorumlama tablosunda doğrulardan oluşan en az bir

satırı bulunan önermeler tutarlıdır

Mevsim kıştır

p

p

D Tutarlı

Y Geçersiz

Not 1:

1 Tutarlı önermeler geçersiz olabilir

2 Geçersiz önermeler tutarlı olabilir

Mevsim kıştır veya mevsim kış değildir (p ∨ ~ p)

p ~ p

Not : 2 Geçerli her önerme tutarlıdır

Mevsim kıştır ve mevsim kış değildir (p ∧ ~ p)

Not 3:

• Tutarsız her önerme geçersizdir

• Geçersiz bir önerme tutarsız olabilir

• Birden fazla önermenin birlikte tutarlılığı: Yorumlama tablosunda doğrulardan oluşan ortak bir yorumu bulunan önermeler birlikte tutarlıdır



~ p ∨ q, ~ p => q önermeleri birlikte

tutarlıdır

b Geçerlilik:
Yorumlama tablosunda yanlışlardan oluşan hiçbir satırı bulunmayan önermeler geçerlidir Yukarıda geçen önermelerin geçerliliğini inceleyelim,

• Çıkarımların Geçerliliği: Bir çıkarımın geçerli olması, öncülleri doğruyken sonucun yanlış olmamasına bağlıdır Buna göre öncülleri doğru iken sonucu yanlış olan çıkarım geçersiz, diğer hallerde geçerlidirÖrnek:

Güneş doğmuştur (p) öncül
O halde gündüz olmuştur (q) sonuç
p => q olarak sembolleştirilebilen bu çıkarımın geçerliliğini inceleyelim



c Eşdeğerlilik:
Aynı doğruluk değerine sahip önermeler eşdeğerdir



Not: Bütün geçerli önermeler eşdeğerdir



Not: Bütün tutarsız önermeler eşdeğerdir

A, B gibi iki ayrı önermenin eşdeğer olması (aynı doğruluk değerinde olması) A U B önermesinin geçerli olmasına veya ~ (A U B ) önermesinin tutarsız olmasına bağlıdır
Buna göre ~ (A U B) tutarsız ise, (A U B) geçerlidir Dolayısıyla A ile B eşdeğerir

B YÜKLEMLER MANTIĞI

İçinde " (her), => (bazı) gibi niceleyici geçen önermeler yüklemler mantığının konusunu oluşturur Bu önermelere genel önerme denir İçine niceleyici geçmeyen önermelere de tekil önerme denir
Yüklemler mantığında önermeler mantığından farklı olarak basit önermelerin iç yapıları da sembolleştirilebilmektedir Örnek olarak:
“Bütün kuşlar kanatlıdır” önermesi önermeler mantığında p olarak sembolleştirilirken, yüklemler mantığında "xFx şeklinde sembolleştirilir Bu ayrıntılı sembolleştirilmeden dolayı önermeler mantığında tutarlı olan bir önerme yüklemler mantığında tutarsız olabilmektedir
1 Tanımlamalar
a Değişmezler ve sembolleştirilmesi:
– Mantık değişmezleri
~, U, U, =>, U (önerme eklemleri)
", $ (niceleyiciler)
– Özel değişmezler
a, b, c(ad değişmezleri )
F, G, H (yüklem değişmezleri)
Aristo filozoftur (Fa)
a F
Aristo insandır (Ga)
a G
Sokrates insandır (Gb)
b G
Aristo filozof ise Aristo insandır (Fa => Ga)
Fa Ş Ga

b Değişkenler: Belli bir değeri olmayan ve farklı değerler alabilen x, y, z gibi sembollere değişken denir içine x, y, z gibi değişken geçen önermelere de açık önerme denir Örneğin;
“x < z”
“x + y = 4"
“z başkenttir” birer açık önermedir
Açık önermelerin doğruluk değeri yoktur
c Tümel Niceleme: “x katıdır” (Kx) açık önermesi E= {demir, cam} evreninde
“Demir katıdır”
“Cam katıdır” özellemeleri yapıldığında, evrendeki tüm elemanlar (Tümel niceleme gereği evrendekilerin hepsi) açık önermedeki x’i karşılarsa, Kx açık önermesi verilen evren için
"x K x olarak gösterilir
“"x (x başkenttir)" önermesinin E = {Ankara, İstanbul} evreninde;
“Ankara başkenttir” D
“İstanbul başkenttir” Y
özellemeleri yapıldığında, D Ù Y º Y sonucuna ulaşılır Buna göre tümel niceleyici ile yapılan önerme verilen evrende gerçeklenmemiştir

d Tikel niceleme: “x sıvıdır” (Sx) açık önermesi E= {su, taş} evreninde, “Su sıvıdır”
“Taş sıvıdır” özellemeleri yapıldığında; evrendeki bazı elemanlar (Tikel niceleme gereği evrendekilerden en az biri) açık önermedeki x’i karşılarsa, Sx açık önermesi verilen veren için$ x S x olarak gösterilir
“$ x (tek sayıdır)" önermesinin E = {0, 1, 2}} evreninde
“0 tek sayıdır” Y
“1 tek sayıdır” D
“2 tek sayıdır” Y özellemeleri yapıldığında,
Y U D U Y º D sonucuna ulaşılır Buna göre tikel niceleyici ile yapılan önerme verilen evrende gerçeklenmiştir

Kod:

Tümel niceleyici ile yapılan önermelerde, özellemelerin arasında tümel evetleme eklemi (U) kullanılır Tikel niceleyici ile yapılan önermelerde, önermeler arasında tikel evetleme eklemi (U) kullanılır

e Niceleyici Değilleme Kuralları (Eşdeğerlilik)
~ " x F x º $ x ~Fx
~ $ x F x º " x ~Fx
~ " x ~ F x º $ x Fx
~ $ x ~ F x º " x Fx