Niceleme Mantığı

Niceleme Mantığı

Önermelerin niceleyicilerini de (her, bazı) sembolleştirip niceleyicileri de dikkate alarak denetlemeler yapan mantık alanı niceleme mantığıdır Niceleme mantığına yüklemler mantığı da denir Yüklemler mantığı önermeleri iç yapıları ile sembolleştirir



Niceleme mantığının konuları şunlardır :
Niceleyiciler : Niceleme mantığında karşımıza iki yeni sembol çıkar Tümel niceleyici (”) = “her” anlamına gelir Önermeler mantığındaki tümel evetleme eklemini (Ù) karşılar
Tikel niceleyici ($) =”bazı” anlamına gelir Önermeler mantığındaki tikel evetleme eklemini (Ú) karşılar
Niceleme mantığında, önermeler mantığından farklı olarak yüklemler (F, B, H) ve bilinmeyen adlar (X, Y, Z) olarak sembolleştirilir
Bilinen adlar yerine “a”, “b”, “c”, bilinmeyen adlar yerine “x”, “y”, “z” sembolleri kullanılır
Niceleme mantığında,




Bütün insanlar ölümlüdür “x(FxÞGx)
” F G
O halde Ali ölümlüdür (Ga)
\ a G
” x (FxÞGx) Fa\Ga biçiminde sembolleştirilir
Niceleme mantığında olumsuz önermelerin ifadesi de aşağıdaki gibidir
Ali insan ölümlü değildir
” F ~G
önermesi
“x(Fx Þ ~Gx) biçiminde sembolleştirilir
Bazı insanlar ölümlü değildir
$ F ~G
önermesi
$x(FxÙ~Gx) biçiminde sembolleştirilir
Açık Önermeler : İçinde “x”, “y”, “z” gibi bilinmeyen adların geçtiği önermelere açık önerme denir
Gx, “xFx, $x(FxÙGx), x+y=0, x>8 gibi önermeler açık önermedir
“”x ölümlüdür” “x>8″ gibi önermelerin doğruluk değerlerini bilemeyiz
FxÞGx(x insansa, x ölümlüdür) açık önermesi x değişkeniyle p(x), q(x) biçiminde gösterilir “x” in yerine “a” sabiti konulduğunda, durum p(a), q(a) biçimine dönüşür
FxÞGx önermesi özellenir ve,
FaÞGa önermesi elde edilir (FaÞGa önermesi evrensel bir önerme değildir)
Böylece önerme doğruluk değeri olan önermeye dönüşür
Açık önermeler Evrensel kümeye ( E ) göre de doğruluk değeri alırlar
Örneğin,
X için (x ölümlüdür) “xFx
Önermesinin evrensel kümesi
E: {insan, at, taş} olsun E: {a,b,c}
Evrensel kümedeki değerler x’in yerine tek tek konur
İnsan ölümlüdür Ù At ölümlüdür Ù Taş ölümlüdür
D D Y
DÙDÙYº Y doğruluk değeri alır
“xFx önermesinin E:{a,b,c} evrensel kümesindeki açılımı da,
FaÙFbÙFc olur



Tümel niceleyici bir önermenin bir evrensel kümede gerçekleşmesi için (D değerli olması) evrensel kümedeki tüm nesnelerce doğrulanması gerekir Aynı önermenin bir evrensel kümede gerçekleşmemesi için (Y değerli olması) evrensel kümedeki en az bir nesne tarafından yanlışlanması gerekir



Tikel niceleyici bir önermenin bir evrensel kümede gerçekleşmesi için (D değerli olması), evrensel kümedeki en az bir nesne tarafından doğrulanması gerekir
Aynı önermenin bir evrensel kümede gerçekleşmemesi için (Y değeri alması için), evrensel kümedeki tüm nesnelerce yanlışlanması gerekir
Bir açık önerme bir önerme eklemi ile doğruluk değeri olan bir önermeye bağlanırsa açık önerme özelliğini kaybeder
Niceleme Mantığında Önerme Çeşitleri : Niceleme mantığında tekil ve genel olmak üzere iki tür önerme vardır



Tekil Önerme : İçinde niceleyici geçmeyen (”,$ bulunmayan) önerme tekil önermedir
“p”, “q”, “Fa”, “Gab”, “pÙq”, “FaÚGa”, “~p”, “~Fa” gibi tekil önermeler basit ve bileşik olmak üzere ikiye ayrılır
Basit Tekil Önerme : Önerme eklemi (”Ù”,”Ú”,”Þ”,”Û”,”~”) almayan ve içinde niceleyici geçmeyen önermeler basit tekil önermedir (”p”, “q”,”Fa”,”Gab” gibi)
Bileşik Tekil Önerme : Önerme eklemi alan ve içinde niceleyici geçmeyen önermeler bileşik tekil önermedir (”pÞq”, “FaÚGb”,”~p”,”~Fa” gibi)
Genel Önerme : “xFx, $xGx, ~”xFx,$(FxÞGx) gibi, içinde en az bir niceleyicinin geçtiği önermedir Genel önermeler de basit genel ve bileşik genel olmak üzere ikiye ayrılır



Basit Genel Önerme : Niceleyiciyi etkileyen önerme ekleminin bulunmadığı önermeler basit genel önermedir
Tümel Basit Genel Önerme :Tümel niceleyicisi bulunan ve niceleyicinin önerme eklemi almadığı önermeler tümel basit genel önermedir
Tikel Basit Genel Önerme : Tikel niceleyicisi bulunan ve niceleyicinin önerme eklemi almadığı önermeler tikel basit genel önermedir
Bileşik Genel Önerme : Niceleyiciyi etkileyen önerme ekleminin bulunduğu önermeler bileşik genel önermedir



Niceleme Mantığında Eşdeğerlik Kuralları :
1 ~”~xFxº$x~Fx
2 $xFxº”x~Fx önermeleri eşdeğerdir
Niceleme Mantığında Çözümleme Kuralları : Niceleyicilerle kurulan genel önermeler önermede bilinmeyen ad (x,y,z) geçtiği için açık önermedir Genel önermeler, bilinen bir ada (a,b,c) göre niceleyicilerden arındırılırsa önerme özellenmiş olur Bu nedenle de tümel niceleyicilerde tümel özelleme, tikel niceleyicilerde tikel özelleme kuralları uygulanır
Tümel Özelleme Kuralı : Tümel niceleyici ile yapılan bir önermede bilinmeyen adların yerine her zaman bilinen aynı adın kullanılmasına tümel özelleme kuralı denir
Tikel Özelleme Kuralı : Tikel niceleyici ile yapılan bir önermede, bilinmeyen adların yerine her biri için farklı bir bilinen adın kullanılmasına tikel özelleme kuralı denir