Parabol

Parabol


A TANIMa ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak
üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki
fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir

İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir
Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki
gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir
B PARABOLÜN TEPE NOKTASI
1) f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası
T(r, k) olmak üzere,

Ü Parabol

doğrusuna göre simetriktir

doğrusu
parabolün simetri eksenidir
y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r, k)
dır
C GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR
Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini
kestiği nokta C olsun
ax2 + bx + c = 0
ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2,
0), C(0, c) dir

ax2 + bx + c = 0 denkleminde

• D = b2 – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini
  farklı iki noktada keser
• D = b2 – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini
  kesmez
• D = b2 – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine
  teğettir

D x2 NİN KATSAYISI
OLAN a NIN İŞARETİ
1)

a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup,f(x),in
en küçük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır
2) a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri
tepe noktası-nın ordinatı olan k dır

a>0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(fx) in en büyük
değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır
3) |a| büyüdükçe kollar daralır Buna göre, yandaki parabollere göre,
f deki x2 nin katsayısı, g deki x2 nin katsayısından büyüktür

|a| büyüdükçe kollar daralır Buna göre , yandaki parabollere
göre ,f deki x2 nin katsayısı g deki x2
nin katsayısından büyüktür
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,
1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur
2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur
3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir
E GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI
1 Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) … (1) dir
Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri
(1) de yazılır
2 Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – r)2 + k … (1) dir
Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri
(1) de yazılır
3 Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa

y1 = ax12 + bx1 + c … (1)
y2 = ax22 + bx2 + c … (2)
y3 = ax32 + bx3 + c … (3)
Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz
F PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU
y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak
çözelim

f(x) = g(x)

ax2 + bx + c = mx + n

ax2 + (b – m)x + c – n = 0 … (*)

(*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün
kesiştiği noktaların apsisleridir
Buna göre, (*) denkleminde;

• D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada
  keser
• D< 0 ise, parabol ile doğru kesişmez
• D = 0 ise, parabol doğruya teğettir

Ü y = ax2 + bx + c parabolü ile y =
dx2 + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine
benzer biçimde işlemler yapılır

PARABOL

A TANIM
a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir

İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir


Parabol, düzgün tel parçasının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir

B PARABOLÜN TEPE NOKTASI
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası
T(r, k) olmak üzere,

Ü Parabol doğrusuna göre simetriktir

doğrusu parabolün simetri eksenidir

y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r, k) dır

C GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR
Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun
ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2, 0), C(0, c) dir

Ü ax2 + bx + c = 0 denkleminde
• D = b2 – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser
• D = b2 – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez
• D = b2 – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir

D x2 NİN KAT SAYISI OLAN a NIN İŞARETİ

1)
a > 0 ise, parabolün kolları yukarı doğru olup, f(x) in en küçük değeri tepe noktasının ordinatı olan k dır

2)
a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktasının ordinatı olan k dır

3)
|a| büyüdükçe kollar daralır Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin kat sayısı, g deki x2 nin kat sayısından büyüktür

Ü f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,
1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur
2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur
3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir

E GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI
1 Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) (1) dir
Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır

2 Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – r)2 + k (1) dir
Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır

3 Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa

y1 = ax12 + bx1 + c (1)
y2 = ax22 + bx2 + c (2)
y3 = ax32 + bx3 + c (3)
Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz

F PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU
y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile
y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim
f(x) = g(x)
ax2 + bx + c = mx + n
ax2 + (b – m)x + c – n = 0 («)

(«) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir
Buna göre, («) denkleminde;
• D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser
• D < 0 ise, parabol ile doğru kesişmez
• D = 0 ise, parabol doğruya teğettir

Ü y = ax2 + bx + c parabolü ile y = dx2 + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır