Kartezyen çarpım - Bağıntı

KARTEZYEN ÇARPIM – BAĞINTI

A SIRALI n Lİ
n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir
(a, b) sıralı ikilisinde;
a : Birinci bileşen,
b : İkinci bileşendir

a ¹ b ise, (a, b) ¹ (b, a) dır

(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir

B KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir
A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir
A x B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir

A ¹ B ise, A x B ¹ B x A dır

C KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELİKLERİ
I) s(A) = m ve s(B) = n ise
s(A x B) = s(B x A) = m n dir
II) A x (B x C) = (A x B) x C
III) A x (B È C) = (A x B) È (A x C)
IV) (B È C) x A = (B x A) È (C x A)
V) A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C)
VI) A x Æ = Æ x A = Æ
VII)


D BAĞINTI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir
Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir
b Ì A x B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} dir

* s(A) = m ve s(B) = n ise,
A dan B ye 2mn tane bağıntı tanımlanabilir

* A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir

* s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m n) bağıntı sayısı


* bÌ A x B olmak üzere,
b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} bağıntısının tersi
b-1 Ì B x A dır
Buna göre, b bağıntısının tersi
b-1 = {(y, x) : (x, y) Îb} dır

E BAĞINTININ ÖZELİKLERİ
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun

1 Yansıma Özeliği
A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) Î b ise, b yansıyandır
"x Î A için, (x, x) Î b Ş b yansıyandır

2 Simetri Özeliği
b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise, b simetriktir
"(x, y) Î b için (y, x) Î b Ş b simetriktir

* b bağıntısı simetrik ise b = b-1 dir
* s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı dir
* s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(nn - n) dir

3 Ters Simetri Özeliği
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun
x ¹ y iken "(x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir

b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özeliğini bozmaz

4 Geçişme Özeliği
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun

olmalı
b bağıntısının geçişme özelliği vardır

F BAĞINTI ÇEŞİTLERİ
1 Denklik Bağıntısı
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun
b; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır

* b denklik bağıntısı ve (x, y) Î b ise, x denktir y ye denir
x º y biçiminde gösterilir

* b denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın denklik sınıfı denir
biçiminde gösterilir
Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,
= {y : y Î A ve (a, y) Î b} olur

2 Sıralama Bağıntısı
A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa bağıntı sıralama bağıntısıdır