Bölme Ve Bölünebilme

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME

A BÖLME
A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,


bölme işleminde,

• A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir
• A = B C + K dır
• Kalan, bölenden küçüktür (K < B)
• Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir Bu durumda K ile A değişmez
• K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir

B BÖLÜNEBİLME KURALLARI
1 2 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür
Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir

2 3 İle Bölünebilme
Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür
Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir

3 4 İle Bölünebilme
Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür
abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir
• abc sayısının 4 ile bölümünden kalan
c + 2 b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir

4 5 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür
Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir

5 7 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan-1 a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,
k ÎZ olmak üzere,
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + = 7k
olmalıdır

Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, olan sayının (a5a4a3a2a1a0 sayısının) 7 ile bölümünden kalan
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +
işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir

6 8 İle Bölünebilme
Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür
3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür

Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, olan sayının (abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan c + 2 b + 4 a toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir

7 9 İle Bölünebilme
Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir

8 10 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır

9 11 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan–1 a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

(a0 + a2 + a4 + ) – (a1 + a3 + a5 + ) = 11 k
ve k ÎZ olmalıdır

Ü (n + 1) basamaklı anan–1 a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile bölümünden kalan
(a0 + a2 + a4 + ) – (a1 + a3 + a5 + ) işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir

Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür

• 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür

• 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür

C BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ
A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,
A nın C ile bölümünden kalan K1 ve
B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun

Buna göre,
• A B nin C ile bölümünden kalan K1 K2 dir
• A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir
• D A nın C ile bölümünden kalan D K1 dir
• AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir
Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur

D ÇARPANLAR İLE BÖLÜM
Bir A doğal sayısı B C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B C ile tam bölünür) her zaman doğru değildir
Ü 144 sayısı 2 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür
Ü 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür Fakat 6 sayısı 2 6 = 12 ile tam bölünemez

E BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ
Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir
a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = am bn ck olsun

• A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı:
(m + 1) (n + 1) (k + 1) dir
• A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam sayı bölenidir
• A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:
2 (m + 1) (n + 1) (k + 1) dir
• A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır
• A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı:


• A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur
• A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı
– (a + b + c) dir
• A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:


• A sayısınının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: