3. Dereceden Denklemler Cardano Formülleri

3 Dereceden Denklemler Cardano Formülleri 3 DERECEDEN DENKLEMLER
CARDANO FORMÜLLERİ

Birinci ve ikinci dereceden denklemler katsayılar yardımıyla kolayca çözülebilir Yalnız 3dereceden denklemlerin çözümü için Gerolamo Cardano’nun 1545 yılında geliştirdiği bir yöntemden yararlanabiliriz Cardano bu yöntemi bulurken Tartoglia ve Fior isimli matematikçilerin çalışmalarından da yararlanmıştır
Çözüm yöntemi aşağıda belirtildiği gibidir

3 Dereceden Denklemlerin Çözülmesi, Cordano Formülleri

Üçüncü dereceden
ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminde bazı dönüşümler yaparak sonuca ulaşacağız
Eğer bu denklemde x = y - dönüşümü yapılırsa
denklemi,
y3 + halini alır
p = , q = olmak üzere y3 + py + q = 0 şeklinde yeni bir dönüşüm yapmış olduk Şimdi de bu denklemi çözmemiz gerekecek Bunun için de ilk olarak y = dönüşümü yapıyoruz Yeni dönüşümümüzle beraber y3 + py + q = 0 denklemi düzenlenirse;
şeklini alır
ve bilinmeyenleri içeren bu yeni denklemde de = dönüşümünü yaparak yerine yazıyoruz Üstteki denklemin yerini = -q, = sistemi almış oldu
Son olarak
= N dönüşümüyle
M + N = -q, MN = M ve N bilinmeyenler olmak üzere z2 + qz = = 0 denklemini elde ettik Bu denklemin kökleri de 2dereceden denklem çözümünden;
, olur
= M olduğundan
= 0
= 0 Buradan
 = 0  ve
 = 0 ,




, olmalı
Benzer şekilde:
, , bulunur
y = + olmak üzere toplayacağım ve değerleri
= koşulunu sağlamalıdır
görüldüğü gibi ve değerleri sağladı Buda demektir köklerden biri y1 = + olacaktır
, değerleri alınırsa iken
olur
ve
olur
Buna göre, y = + olduğundan
y1 =
y2 =
y2 = bulunur Yani

y1 =
y2 =
y3 =

Burada M =
N = idi
Burada  = 4p3 + 27q2 işaretine göre köklerin durumunu inceleyebiliriz

i)  = 4p3 + 27q2 > 0 ise:
M ve N birer gerçel sayıdır, dolayısıyla
y1 = kökü bir gerçel sayı, diğer iki kök ise eşlenik kompleks iki sayıdır

ii)  = 0 ise:
M ve N = olur Dolayısıyla
y1 = (Gerçel sayı)
y2 = y3 = (Gerçel sayı)
Yani 3 kök de gerçel sayı olur

iii)  = 4p3 + 27q2 < 0 ise:
M ve N eşlenik kompleks iki sayı olur
Bu durumda Cardano formüllerinde bulduğumuz y1, y2, y3 köklerinde bir gerçel sayı, ise gerçel kısmı 0 olan bir kompleks sayı olacağından y1, y2 ve y3 kökleri birer gerçel sayıdır


y3 + py + q = 0 denkleminin kökleri y1, y2 ve y3 bu şekilde bulunduktan sonra x = y - dönüşümü kullanılarak ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri bulunur