Matematik Tarihi

Matematik insanlık tarihinin en eski bilimlerinden biridir Çok eskiden, Matematik sayıların ve şekillerin ilmi olarak tanımlanırdı Matematik de, diğer bilim dalları gibi, geçen zaman içinde büyük bir gelişme gösterdi; artık onu bir kaç cümle ile tanımlamak mümkün değildir Şimdi söyleyeceklerim, matematiği tanımlamaktan çok, onun çeşitli yönlerini vurgulayan sözler olacaktır Matematik bir yönüyle, resim ve müzik gibi bir sanattır Matematikçilerin büyük çoğunluğu onu bir sanat olarak icra ederler Bu açıdan bakınca, yapılan bir işin, geliştirilen bir teorinin, matematik dışında şu ya da bu işe yaraması onları pek ilgilendirmez Onlar için önemli olan, yapılan işin derinliği, kullanılan yöntemlerin yeniliği, estetik değeri ve matematiğin kendi içinde bir işe yaramasıdır Matematik, başka bir yönüyle, bir dildir Eğer bilimin gayesi evreni; evrende olan her şeyi anlamak, onlara hükmetmek ve yönlendirmek ise, bunun için tabiatın kitabını okuyabilmemiz gerekir Tabiatın kitabı ise, Galile’nin çok atıf alan sözleri ile, matematik dilinde yazılmıştır; onun harfleri geometrinin şekilleridir Bunları anlamak ve yorumlayabilmek için matematik dilini bilmemiz gerekir Matematik, başka bir yönüyle de satranç gibi entelektüel bir oyundur



Kimi matematikçiler de ona bir oyun gözüyle bakarlar Matematik, kullanıcısı için ise sadece bir araçtır Matematiğin ne olduğunu, onun içine girdikten sonra, bilgimiz ölçüsünde ve ilgimiz yönünde, anlar ve algılarız Artık matematik her hangi bir insan hükmedebileceği boyutların çok çok ötesindedir Bu nedenle, matematikle uğraşan bizlerin, matematikten anladığımız ve onu algıladığımızın, file dokunan körün, fili anladığı ve onu algıladığından daha fazla olduğunu hiç sanmıyorum Matematik sözcüğü, ilk kez, MÖ 550 lerde, Pisagor okulu üyeleri tarafından kullanılmıştır Yazılı literatüre girmesi, Platon’ la MÖ 380 lerde olmuştur Kelime manası “öğrenilmesi gereken şey”, yani, bilgidir Bu tarihlerden önceki yıllarda, matematik kelimesi yerine, yer ölçümü manasına gelen, geometri yada eski dillerde ona eşdeğer olan sözcükler kullanılıyordu
Matematiğin nerede ve nasıl başladığı hakkında da kesin bir şey söylemek mümkün değildir Dayanak olarak yorum gerektiren arkeolojik bulguları değilde, yorum gerektirmeyecek kadar açık yazılı belgeleri alırsak, matematiğin MÖ 3000 -2000 yılları arasında Mısır ve Mezopotamya’da başladığını söyleyebiliriz Heredot’a ( MÖ 485-415) göre, matematik Mısır’da başlamıştır Bildiğiniz gibi, Mısır topraklarının %97 si tarıma elverişli değildir; Mısır’a hayat veren, Nil deltasını oluşturan %3 lük kısımdır Bu nedenle, bu topraklar son derece değerlidir Oysa, her sene yaşanan Nil nehrinin neden olduğu taşkınlar sonuncunda, toprak sahiplerinin arazilerinin hudutları belirsizleşmektedir Toprak sahipleri de sahip oldukları toprakla orantılı olarak vergi ödedikleri için, her taşkından sonra, devletin bu işlerle görevli “geometricileri” gelip, gerekli ölçümleri yapıp, toprak sahiplerine bir önceki yılda sahip oldukları toprak kadar toprak vermeleri gerekmektedir Heredot geometrinin bu ölçüm ve hesapların sonucu olarak oluşmaya başladığını söylemektedir Matematiğin doğuşu hakkında ikinci bir görüş de, Aristo (MÖ 384-322) tarafından ileri sürülen şu görüştür Aristo’ ya göre de matematik Mısır’da doğmuştur Ama Nil taşmalarının neden olduğu ölçme-hesaplama ihtiyacından değil, din adamlarının, rahiplerin can sıkıntısından doğmuştur O tarihlerde, Mısır gibi ülkelerin tek entelektüel sınıfı rahip sınıfıdır Bu sınıfın geçimi halk veya devlet tarafından sağlandığı için, entelektüel uğraşılara verecek çok zamanları olmaktadır Kendilerini meşgul etmek için, başkalarının satranç, briç, go… gibi oyunları içat ettikleri gibi onlar da geometri ve aritmetiği, yani o zamanın matematiğini icat etmişlerdir Bu her iki görüş de doğru olabilir; rahipler geometricilerin işini kolaylaştırmak istemiş, yada dağıtımın adil yapıldığını kontrol için, üçgen, yamuk gibi bazı geometrik şekillerdeki arazilerin alanlarının nasıl hesaplanacağını bulmuş ve bu şekilde geometrinin doğmasına neden olmuş da olabilirler
Matematiğin yazılı tarihini beş döneme ayıracağız İlk dönem Mısır ve Mezopotamya dönemi olacak; bu dönem MÖ 2000 li yıllarla MÖ 500 lü yıllar arasında kalan 1500-2000 yıllık bir zaman dilimini kapsayacak İkinci dönem, MÖ 500-MS 500 yılları arasında kalan ve Yunan Matematiği dönemi olarak bilinen 1000 yıllık bir zaman dilimini kapsayacak Üçüncü dönem, MS 500 lerden kalkülüsün başlangıcına kadar olan ve esasta Hind, İslam ve Rönesans dönemi Avrupa matematiğini kapsayacak olan 1200 yıllık bir zaman dilimini kapsayacak Dördüncü dönem, 1700-1900 yılları arasında kalan, matematiğin altın çağı olarak bilinen, klasik matematik dönemini kapsayacak 1900 lerin başından günümüze uzanan, ve modern matematik çağı olarak adlandırılan, içinde bulunduğumuz dönem de beşinci dönem olacak Her dönemi ayrı -ayrı ele alıp, eldeki kaynaklar çerçevesinde, o dönemdeki matematiğin gelişimi, katkı yapan matematikçiler, matematiğin toplum hayatındaki yeri ve o dönem matematiğinin temel özellikler hakkında bilgi vermeye çalışacağım
1-Mısır ve Mezopotamya Matematiği İlk döneme Mısır matematiği ile başlayacağız Eski Mısır matematiği ve genelde de Mısır tarihi ile ilgili yazılı belge- arkolojik eser kalıntılarını kastetmiyorum- yok denecek kadar azdır Bunun temel iki nedeni vardır Birincisi, eski Mısırlıların yazıyı papirüslere yazmaları; ikinci nedeni ise İskenderiye kütüphanelerin geçirdikleri 3 büyük yangın sonucunda, ki bu yangınların sonuncusu 641 de Mısırın Müslümanlar tarafından fethi sırasında olmuştur, yazılı belgelerin yok olmuş olmasıdır Papirüs, Nil deltasında büyüyen, kırmızımtırak renkte, saz türü bir bitkinin, ortalama 15-25 metre uzunluğunda ve 30-50 santim genişliğinde olan yapraklarıdır Bu yapraklar kesilip, birleştirilip, preslendikten ve bazı basit işlemlerden geçirildikten sonra, kağıt yerine yazı yazmak için kullanılırmış “Paper” , “papier” gibi batı dillerindeki kağıt karşılığı sözcükler, papirüs sözcüğünden türetilmiştir Bir papirüsün ortalama ömrü 300 yıldır; 300 yıl sonra, nem, ısı ve benzeri nedenlerle, pul-pul olup dökülmektedir Günümüze, matematikle ilgili, istisnai şartlar altında saklandığı anlaşılan, iki papirüs gelmiştir Mısır matematiği hakkındaki bilgimizin ana kaynakları bu iki papirüstür Bu papirüslerden ilki, Ahmes ( ya da Rhind ) papirüsü olarak bilinen, 6 metre uzunluğunda ve 35 cm kadar genişliğinde olan bir papirüstür Bu papirüsün, MÖ 2000 li yıllarda yazılmış olan bir pürüsün, MÖ 1650 lerde Ahmes isimli bir “matematikçi” tarafından yazılan bir kopyasıdır Bu papirüsü 1850 lerde İrlandalı antikacı H Rhind satın almış, şimdi British museum dadır Bu papirüs, matematik öğretmek gayesiyle yazılmış bir kitaptır Giriş kısmında, kesirli sayılarla işlemleri öğretmek gayesiyle verilen bir-kaç alıştırmadan sonra, çözümleriyle 87 soru verilmektedir Bu sorular, paylaşım hesabı, faiz hesabı veya bazı geometrik şekillerin alanını bulmak gibi, insanların günlük hayatta karşılaşabileceği türden sorulardır Bu az-çok bizim 8 sınıf matematiği düzeyinde bir matematiktir Moskova papirüsü diye bilinen ve şimdi Moskova müzesinde olan ikinci papirüs de MÖ 1600 lerde yazılmış bir kitapçıktır Bu papirüs 25 soru içermektedir Bu sorular, ikisi hariç, Ahmes papirüsündeki sorular türündendir Diğer iki soruya gelince, onlardan biri, bir düzlemle kesilen küre parçasının hacmi ve yüzeyinin alanının hesaplanmasıdır Diğeri ise, yine bir düzlemle kesilen bir piramidin hacminin bulunması sorusudur Her iki soru da doğru olarak çözülmüştür Bu iki soru Mısır matematiğinin zirvesi olarak kabul edilmektedir Mısırlılar, dairenin alanının çapına orantılı olduğunun farkına varmışlar ve pi sayısını 4x(8/9) un karesi, yani 256/81=3,16 olarak bulmuşlardır Mısır matematiğini 2000 yıl boyunca bu düzeyde kaldığı ve kayda değer bir ilerleme göstermediği anlaşılmaktadır
- İlk döneme Mısır matematiği ile başlayacağız Eski Mısır matematiği ve genelde de Mısır tarihi ile ilgili yazılı belge- arkolojik eser kalıntılarını kastetmiyorum- yok denecek kadar azdır Bunun temel iki nedeni vardır Birincisi, eski Mısırlıların yazıyı papirüslere yazmaları; ikinci nedeni ise İskenderiye kütüphanelerin geçirdikleri 3 büyük yangın sonucunda, ki bu yangınların sonuncusu 641 de Mısırın Müslümanlar tarafından fethi sırasında olmuştur, yazılı belgelerin yok olmuş olmasıdır Papirüs, Nil deltasında büyüyen, kırmızımtırak renkte, saz türü bir bitkinin, ortalama 15-25 metre uzunluğunda ve 30-50 santim genişliğinde olan yapraklarıdır Bu yapraklar kesilip, birleştirilip, preslendikten ve bazı basit işlemlerden geçirildikten sonra, kağıt yerine yazı yazmak için kullanılırmış “Paper” , “papier” gibi batı dillerindeki kağıt karşılığı sözcükler, papirüs sözcüğünden türetilmiştir Bir papirüsün ortalama ömrü 300 yıldır; 300 yıl sonra, nem, ısı ve benzeri nedenlerle, pul-pul olup dökülmektedir Günümüze, matematikle ilgili, istisnai şartlar altında saklandığı anlaşılan, iki papirüs gelmiştir Mısır matematiği hakkındaki bilgimizin ana kaynakları bu iki papirüstür Bu papirüslerden ilki, Ahmes ( ya da Rhind ) papirüsü olarak bilinen, 6 metre uzunluğunda ve 35 cm kadar genişliğinde olan bir papirüstür Bu papirüsün, MÖ 2000 li yıllarda yazılmış olan bir pürüsün, MÖ 1650 lerde Ahmes isimli bir “matematikçi” tarafından yazılan bir kopyasıdır Bu papirüsü 1850 lerde İrlandalı antikacı H Rhind satın almış, şimdi British museum dadır Bu papirüs, matematik öğretmek gayesiyle yazılmış bir kitaptır Giriş kısmında, kesirli sayılarla işlemleri öğretmek gayesiyle verilen bir-kaç alıştırmadan sonra, çözümleriyle 87 soru verilmektedir Bu sorular, paylaşım hesabı, faiz hesabı veya bazı geometrik şekillerin alanını bulmak gibi, insanların günlük hayatta karşılaşabileceği türden sorulardır Bu az-çok bizim 8 sınıf matematiği düzeyinde bir matematiktir Moskova papirüsü diye bilinen ve şimdi Moskova müzesinde olan ikinci papirüs de MÖ 1600 lerde yazılmış bir kitapçıktır Bu papirüs 25 soru içermektedir Bu sorular, ikisi hariç, Ahmes papirüsündeki sorular türündendir Diğer iki soruya gelince, onlardan biri, bir düzlemle kesilen küre parçasının hacmi ve yüzeyinin alanının hesaplanmasıdır Diğeri ise, yine bir düzlemle kesilen bir piramidin hacminin bulunması sorusudur Her iki soru da doğru olarak çözülmüştür Bu iki soru Mısır matematiğinin zirvesi olarak kabul edilmektedir Mısırlılar, dairenin alanının çapına orantılı olduğunun farkına varmışlar ve pi sayısını 4x(8/9) un karesi, yani 256/81=3,16 olarak bulmuşlardır Mısır matematiğini 2000 yıl boyunca bu düzeyde kaldığı ve kayda değer bir ilerleme göstermediği anlaşılmaktadır
Mısır sayı sistemi, on tabanına göredir ve rakam sistemlerinin yazımı ve kullanımı Romen rakamlarının yazım ve kullanımı gibidir Bu rakamlarla hesap yapmanın çok zor olduğu, Romen rakamlarıyla hesap yapmayı deneyen herkesin kolayca göreceği gibi, açıktır Mısır matematiğinin gelişmemesinin bir nedeni bu olabilir
Mezopotamya’da yaşamış medeniyetlerden (Sümerler, Akatlar, Babiller, Kaldeyenler, Asurlar, Urlar, Huriler,…; fetihler nedeniyle, bir zaman Hititler, Persler,…) zamanımıza, Mısırdan kalandan bin kat daha fazla yazılı belge kalmıştır Bunun nedeni, Mezopotamyalıların yazı aracı olarak kil tabletleri kullanmalarıdır Pişirilen yada güneşte iyice kurutulan bir kil tabletin ömrü sonsuz denecek kadar uzundur Yapılan kazılarda yarım milyondan fazla tablet bulunmuştur Bu tabletlerin önemli bir kısmı İstanbul arkeoloji müzesindedir Diğerleri de dünyanın çeşitli - Berlin, Moskova, British, Louvre, Yel, Colombia ve Pensilvanya- müzelerindedir Bu tabletlerin, şimdiye kadar incelenmiş olanlarının içinde, beş yüz kadarında matematiğe rastlanmıştır Bu bölgede yaşamış medeniyetlerin matematiği hakkında bilgimiz bu tabletlerden gelmektedir Bu tabletlerden anlaşılan, Mezopotamya’da matematik, Mısır matematiğinden daha ileridir; Mezopotamyalılar lise iki düzeyinde bir matematik bilgisine sahiptirler Mısırlıların bildikleri matematiği bildikleri gibi, ikinci dereceden bazı polinomların köklerini bulmasını, iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemi çözmesini de biliyorlar Şunu söylemem gerekir ki, o zamanlarda henüz negatif ve irrasyonel sayılar bilinmemektedir Bu nedenle ikinci dereceden her polinomun köklerini bulmaları mümkün değildir Mezopotamyalılar, daha sonra Pisagor teoremi olarak adlandırılacak olan teoremi de biliyorlardı Pi sayısını karesi 10 olan bir sayı olarak bilmekteler Daha sonraları 315 olarak da kullanmışlardır
Mezopotamyalıların sayı sistemi 60 tabanlı bir sayı sistemidir Bu sayı sistemi günümüzde de, denizcilik ve astronomi de kullanılmaktadır Bizim sayı sisteminde 10 ve 10 nun kuvvetlerini kullandığımız ve sayıları buna göre basamaklandırdığımız gibi, onlar da sayıları 60 ve 60 ın kuvvetlerine göre basamaklandırmaktadırlar Bu sayı sisteminin en önemli özelliği basamaklı, yani konumlu, bir sayı sistemi olmasıdır Saatin 60 dakika, günün 24 saat ve dairenin 360 dereceye bölünmüş olması bize bu sayı sisteminden kalan miraslardan sadece bir kaçıdır Mezopotamyalıların 60 tabanlı bir sayı sistemi seçmiş olmalarının nedeni bilinmemektedir Bu konuda ileri sürülen belli-başlı üç görüş ya da varsayım şunlardır: 1) 60 sayısının 2,3,4,5,6,10,12,20,30 gibi çok sayıda bölenleri olması onu günlük hayatta çok kullanışlı kılıyordu; bu nedenle 60 tabanlı bir sayı sistemi seçmişlerdir 2) 60 tabanlı sayı sisteminin seçiminden önce, o bölgede 10 ve 12 tabanlı sayı sistemlerini kullanan medeniyetler olmuştur Daha sonra gelen bir medeniyet, daha önceki ölçü birimleriyle uyum sağlamak için, 10 ile 12 nin en küçük ortak katı olan 60 ‘ı sayı sistemlerinin tabanı olarak almışlardır 3) 60 tabanlı sayı sisteminin seçimi, bir eldeki, baş parmak hariç, dört parmakta bulunan üç eklem yerini o zamanın insanları sayı saymak için kullanıyorlardı; 4 parmakta 12 eklem yeri olduğu ve bir elde de beş parmak olduğu için bu iki sayının çarpımı olan 60 ‘ ı sayı sistemlerinin tabanı olarak almışlardır Bu konuda görüşler bunlardır Eğer bir gün 60 sayısının niçin seçildiğini izah eden bir tablet bulunursa o zaman gerçek anlaşılacaktır
Bu dönemin matematiğini toptan değerlendirecek olursak, temel özellikleri şunlardır a) Bu dönem matematiğinde teorem, formül ve ispat yoktur Bulgular emprik veya deneysel; işlemler sayısaldır Bunun böyle olması kaçınılmazdır zira o dönemde matematik, simgesel olarak değil, sözel olarak ifade edilmekte Sözel ve sayısal matematikte ( geometrik çizimler hariç) formel ispat vermek olanaksız olmasa da, kolay değildir b) Bu dönemin matematiği zanaat düzeyinde bir matematiktir; matematik “matematik için matematik “ anlayışıyla değil, günlük hayatın ihtiyaçları için, yani “halk için matematik “ anlayışıyla yapılmaktadır Matematiğin kullanım alanları ise, zaman-takvim belirlemek, muhasebe işleri ve günlük hayatın, inşaat, miras dağıtımı gibi diğer işleridir Dini ve milli günlerin, ibadet saatlerinin, deniz yolculuklarının ve tarıma uygun dönemlerin belirlenmesi için, bugün olduğu gibi, eski zamanlarda da doğru bir takvim yapmak son derece önemli bir iş olmuştur Bu da ancak uzun süreli gözlem, ölçüm ve hesapla mümkündür Bu matematiğin kullanım alanlarından en önemlisi ve matematiğin gelişmesine neden olan temel ihtiyaçlardan biridir Devlet gelir-giderinin hesaplanması, mal varlıklarını tespit, kayıt ve muhasebesi de devlet düzeni için elzem olan ve matematiğin kullanıldığı diğer bir alandır Buda matematiğin öğretilmesine ve dolaysıyla gelişmesine neden olan ikinci bir temel ihtiyactır
Bu dönem matematiği, bu bölge ülkelerinin kültürel varlıklarının, Pers istilası sonucu son bulmasıyla son bulur
2- Yunan Matematiği MÖ 600 lü yıllar Pers’lerin orta doğuya hakim olmaya başladığı yıllardır MÖ 550’ li yıllara gelindiğinde, Pers’ler, Anadolu, Mısır dahil, bütün orta doğunun tek hakimidirler Pers’ler, MÖ500-480 arasında Yunanistan’a üç sefer düzenlerler; 480 de Atina’yı ele geçirerek yakarlar ama, bir yıl sonra, 479 da Yunanlılar Persleri Yunanistan’dan atarlar Bu tarih, MÖ 479, Yunan medeniyetinin başlangıcı olarak kabul edilen tarihtir Bu tarih, bilimde, sanatta edebiyatta çok parlak bir dönemin başlangıcı olan bir tarihtir Yunan matematiği gerçekte bu dönemden daha önce başlamıştır İki kişi, Tales (MÖ 624-547) ve Pisagor ( MÖ569-475), Yunan matematiğinin babası olarak kabul edilir Tales Milet (Aydın) de doğmuştur Mısır’a gittiği, bir süre orada kaldığı ve Mısırda geometri öğrendiği bilinmektedir Mısırda iken, büyük piramidin gölgesinin uzunluğunu ölçerek, bu sayıyı, kendi boyunun o andaki gölgesinin boyuna olan oranıyla çarpmak suretiyle, büyük piramidin yüksekliğini hesapladığı kitaplarda anlatıla gelmektedir Tales Milet’e döndükten sonra, öğrendiklerini öğretmek gayesiyle, kendi etrafında bir grup oluşturarak onlara geometri öğretmiştir Matematiğe - deneysel olarak doğrulamaya dayanmayan-akıl yürütmeye dayalı, soyut ispatın Tales’le girdiği kabul edilir Ayrıca, Tales insanlık tarihinin ilk filozofu olarakta kabul edilen kişidir Yunan matematiğinin diğer babası olan Pisagor Samos (Sisam) adasında doğmuştur Pisagor’un bir süre Tales’in yanında kaldığı, onun tavsiyelerine uyarak Mısır’a gittiği, orada geometri öğrendiği, Mısır tapınaklarını ziyaret edip, dini bilgiler edindiği, ve Mısırın Pers’ler tarafından işgali sırasında, Pers’lere esir düşerek Babil’e götürüldüğü bilinmektedir Babil’de bulunduğu 5 yıl boyunca matematik, müzik ve dini bilgiler öğrenmiş, Samos’a döndükten sonra bir okul oluşturarak etrafına topladığı insanlara öğrendiklerini öğretmeye çalışmıştır Siyasi nedenlerle, MÖ 518 Samos’dan ayrılarak, güney Italya’ya, Crotone şehrine yerleşmiş ve orada yarı mistik-yarı bilimsel, tarikat vari bir okul oluşturmuştur Bu okulun, “matematikoi” denen üst düzey kişileri beraber yaşamaktalar ve birbirlerine yeminle bağlıdırlar İkinci gurup okula devam eden öğrencilerden oluşmaktadır Pisagor okulu sayı kültü üzerine kuruludur Onlara göre, her şey sayılara indirgenebilir; sayılar arasında tesadüfi olamayacak kadar mükemmel bir harmoni vardır ve harmoni ilahi harmoninin yansımasıdır O gün için bilinen sayılar 1,2,3,… gibi çokluk belirten tam sayılar; ve ½, ¾,…gibi parçanın bir bütüne oranını belirten kesirli sayılardır Pisagor teoremi olarak bilinen ( bir dik üçgenin dik kenarlarının karesin toplamı hipotenüsün karesine eşittir) teorem ile irrasyonel sayıların ortaya çıkması Pisagor ekolünü derin bir krize sokmuştur İrrasyonel sayıların keşfi matematiğin ilk önemli krizidir Pisagor okulunun üyelerinin bir çoğu Cylon isimli bir yobazın yönettiği bir baskın sonuncu katledilmişlerdir Pisagor hayatını kurtarmıştır ama bir kaç sene sonra o da ölmüştür Pisagor’un düşünceleri, Pisagor ekolu, şu veya bu isim altında uzun yıllar yaşamıştır Bu bilgilerden de anlaşılacağı gibi, Yunan matematiğinin temelinde Mısır ve Mezopotamya matematiği vardır
- MÖ 600 lü yıllar Pers’lerin orta doğuya hakim olmaya başladığı yıllardır MÖ 550’ li yıllara gelindiğinde, Pers’ler, Anadolu, Mısır dahil, bütün orta doğunun tek hakimidirler Pers’ler, MÖ500-480 arasında Yunanistan’a üç sefer düzenlerler; 480 de Atina’yı ele geçirerek yakarlar ama, bir yıl sonra, 479 da Yunanlılar Persleri Yunanistan’dan atarlar Bu tarih, MÖ 479, Yunan medeniyetinin başlangıcı olarak kabul edilen tarihtir Bu tarih, bilimde, sanatta edebiyatta çok parlak bir dönemin başlangıcı olan bir tarihtir Yunan matematiği gerçekte bu dönemden daha önce başlamıştır İki kişi, Tales (MÖ 624-547) ve Pisagor ( MÖ569-475), Yunan matematiğinin babası olarak kabul edilir Tales Milet (Aydın) de doğmuştur Mısır’a gittiği, bir süre orada kaldığı ve Mısırda geometri öğrendiği bilinmektedir Mısırda iken, büyük piramidin gölgesinin uzunluğunu ölçerek, bu sayıyı, kendi boyunun o andaki gölgesinin boyuna olan oranıyla çarpmak suretiyle, büyük piramidin yüksekliğini hesapladığı kitaplarda anlatıla gelmektedir Tales Milet’e döndükten sonra, öğrendiklerini öğretmek gayesiyle, kendi etrafında bir grup oluşturarak onlara geometri öğretmiştir Matematiğe - deneysel olarak doğrulamaya dayanmayan-akıl yürütmeye dayalı, soyut ispatın Tales’le girdiği kabul edilir Ayrıca, Tales insanlık tarihinin ilk filozofu olarakta kabul edilen kişidir Yunan matematiğinin diğer babası olan Pisagor Samos (Sisam) adasında doğmuştur Pisagor’un bir süre Tales’in yanında kaldığı, onun tavsiyelerine uyarak Mısır’a gittiği, orada geometri öğrendiği, Mısır tapınaklarını ziyaret edip, dini bilgiler edindiği, ve Mısırın Pers’ler tarafından işgali sırasında, Pers’lere esir düşerek Babil’e götürüldüğü bilinmektedir Babil’de bulunduğu 5 yıl boyunca matematik, müzik ve dini bilgiler öğrenmiş, Samos’a döndükten sonra bir okul oluşturarak etrafına topladığı insanlara öğrendiklerini öğretmeye çalışmıştır Siyasi nedenlerle, MÖ 518 Samos’dan ayrılarak, güney Italya’ya, Crotone şehrine yerleşmiş ve orada yarı mistik-yarı bilimsel, tarikat vari bir okul oluşturmuştur Bu okulun, “matematikoi” denen üst düzey kişileri beraber yaşamaktalar ve birbirlerine yeminle bağlıdırlar İkinci gurup okula devam eden öğrencilerden oluşmaktadır Pisagor okulu sayı kültü üzerine kuruludur Onlara göre, her şey sayılara indirgenebilir; sayılar arasında tesadüfi olamayacak kadar mükemmel bir harmoni vardır ve harmoni ilahi harmoninin yansımasıdır O gün için bilinen sayılar 1,2,3,… gibi çokluk belirten tam sayılar; ve ½, ¾,…gibi parçanın bir bütüne oranını belirten kesirli sayılardır Pisagor teoremi olarak bilinen ( bir dik üçgenin dik kenarlarının karesin toplamı hipotenüsün karesine eşittir) teorem ile irrasyonel sayıların ortaya çıkması Pisagor ekolünü derin bir krize sokmuştur İrrasyonel sayıların keşfi matematiğin ilk önemli krizidir Pisagor okulunun üyelerinin bir çoğu Cylon isimli bir yobazın yönettiği bir baskın sonuncu katledilmişlerdir Pisagor hayatını kurtarmıştır ama bir kaç sene sonra o da ölmüştür Pisagor’un düşünceleri, Pisagor ekolu, şu veya bu isim altında uzun yıllar yaşamıştır Bu bilgilerden de anlaşılacağı gibi, Yunan matematiğinin temelinde Mısır ve Mezopotamya matematiği vardır
Şimdi Atina’ ya dönelim Atina’ da matematiğin sistematik eğitimi Platon’la (MÖ 427-347) başlar Sokrat’ın öğrencisi olan Platon, Sokrat’ın ölüme mahkum edilip, zehir içerek ölmesinden sonra, uzun bir yolculuğa çıkar; 10 yıl kadar Mısır, Sicilya ve Italya’da kalır Orada, Pisagorculardan matematik öğrenir Matematetiğin doğru düşünme yetisi için ne denli önemli olduğunu anlayan Platon, Atina’ya döndüğünde, MÖ 387 de, bir okul kurar ve ona Pers-Yunan savaşların kahramanlarından Akademius’un ismini verir ( Bazı kaynaklara göre de Akademos, Platon’un okulunun kurulu olduğu alanın sahibinin ismidir) Bu Platon’un “akademi”sidir Bu akademinin girişinde “her kim ki geometrici değildir, içeriye girmesin yazılıdır” O tarihlerde, henüz matematik sözcüğü kullanılmaktadır, “geometri” matematik sözcüğünün yerine kullanılmıştır Bu okulda felsefe, geometri, müzik ( harmoni teorisi) ve jimnastik ağırlıklı bir eğitim verilmektedir Geometri doğru düşünmeyi öğrenmenin temel aracı olarak kabul edilmekte ve o tarihlerde felsefe ile geometri içice denecek kadar birbirine yakın konular olarak görülmektedir Platon bir araştırma yöneticisi gibi görev yapmakta, öğrencilerine çeşitli geometri soruları vererek, onlardan bu soruları halletmelerini istemektedir Bu okul MS 529’ a kadar, 900 yıldan fazla faaliyet gösterecektir Bu okulda çok sayıda matematikçi yetişmiştir Burada yetişen ilk önemli matematikçi Öklid (Euclid) ( MÖ325-265); son önemli matematikçi Proclus (MS 411-485) tur Bu dönemin matematiği hakkında en önemli kaynak Proclus’un eserleridir MÖ400-300 yıllarının en önemli matematikçi-bilim adamı, Platon’un akademisinde de hocalık da yapmış olan, Eudoxus’tur Pisagorcuların sayı kavramını değiştirerek, sayı’yı iki uzunluğun oranı olarak tanımlayan ve bu tanıma uygun bir sayılar aritmetiği geliştirerek, irrasyonel sayıların keşfi sonucu, matematiği içine düşmüş olduğu krizden kurtaran; entegral kavramının temelinde olan “exhaustion” yöntemini geliştiren ve ilk olarak bir evren modeli tasarlayan Eudoxus’tur “Exhaustion” yöntemi şekli düzgün olmayan, dolaysıyla alanı yada hacmi bilinmeyen bir cismin alan veya hacmini, alanı yada hacmi bilinen şekillerle doldurarak o alanı yada hacmi hesaplama yöntemidir
MÖ 335 den itibaren, Mekodonya’lı büyük İskender, 12-13 yıl gibi kısa bir sürede Pers imparatorluğunun tamamını ele geçirir Hindistan dönüşü, 322 de Babil’de ölür İskender’in ölümünden sonra, İskender’in generalleri kanlı bir iktidar mücadelesine girişirler Bu mücadele sonucu, İskender’in imparatorluğu üçe bölünür İmparatorluğun Afrikadaki toprakları ( Mısır , Libya ) general Potelemi’ye, imparatorluğun Asya’daki toprakları general Seleukos’a ve Avrupa’daki topraklarda Antigonos’e düşer Böylelikle, daha sonra “ Yunan kültür bölgeleri” diye adlandırılacak olan Yunan medeniyetinin gelişeceği üç bölge ortaya çıkar Bunlar Yunanistan-Mekadonya, Anadolu-Suriye ve Mısır-Libya dır Makedonya krallığında Plato’un akademisi, Aristo’nun Lisesi gibi okullar eğitimlerini daha uzun yıllar sürdürürler ama daha çok felsefe ağırlıklı olarak Anadolu’da tıp ve astronomide önemli bilginler yetişir, Galen ve Hipparkus gibi Galen’nin tıp konusunda 500 civarında kitap (papirüs) yazdığı bilinmektedir Galen, her ne kadar da Hipokrat ve İbni Sina kadar ismi bilinen bir kişi değilse de, tarihin en önemli tıp adamlarından biridir Matematik açısından ise en önemli merkez İskenderiye’dir Potelemi, Zeus’un sanat tanrıçaları olarak bilinen kızlarına verilen (Muse) isminden esinlenerek, İskenderiye’de tarihin en ünlü Üniversitelerinden birini, Museum’u kurar Burası MÖ 312-MS 421 tarihler arasında, 700 yıldan fazla bir zaman diliminde bir ileri bilimler merkezi olarak eğitim ve araştırma faaliyetlerini sürdürecektir Burası, ücretleri devlet hazinesinden ödenen, 100 den fazla bilim adamının çeşitli dallarda eğitim verdiği ve araştırma yaptığı bir kurumdur Zamanla çok zengin bir kütüphane oluşturacaklar, botanik bahçesi ve bir gözlem evine sahip olacaklardır Yunan kültür bölgelerine ait önemli bilim adamları burayı ziyaret edip, burada bir süre kalmışlardır Burada ders veren ilk önemli matematikçi Öklid’ tir Öklid’in yazdığı çok sayıda eser arasında en önemlisi, Öklid’in elementleri olarak bilinen 13 kitaplık bir dizi matematik kitaplarıdır O tarihlerdeki kitap uzunlukları bir papirüslüktür Bu da bizim ölçülerimizle, 20 ile 50 sayfa arasında bir kitaba karşılık gelmektedir Bu kitaplarda Öklid o zamanlarda bilinen matematiğinin sistematik bir derlemesini sunar Bu eserin önemi Öklid’in geometriye yaklaşımımda ve konuların takdimindedir Öklid, geometride, önce, evrensel geçerliği olan, 5 aksiyom verir Bunlar A=B ve B=C ise A=C gibi her sağduyunun kabul edeceği kurallardır Sonra nokta, doğru, düzlem gibi kavramların ne olduğunu belirten 31 tanım verir Sonra da Öklid geometrisinin postulatları olarak bilinen şu beş postulatı verir 1) iki noktadan bir doğru geçer 2) bir doğru parçası sınırsız uzatılabilir 3) bütün dik açılar bir birine eşittir 4) Bir nokta ve bir uzunluk bir çember belirler 5) Bir doğruya onun dışındaki bir noktadan sadece bir paralel çizilir Daha sonra, gökten bir şeyler düşürmeden, mantıki çıkarım yoluyla, bu postulatlardan çıkarabildiği sonuçları teorem, önerme olarak mantıki bir sırada sunar Aksiyomatiko-dedüktif yaklaşım dediğimiz bu yaklaşım bugünkü matematiğin ve bilimin de temel yaklaşımıdır Ünlü düşünür Bertrand Russell’a göre, hiç bir kitap batı düşünce sisteminin oluşmasında bu kitap kadar etkili olmamıştır Bu kitap tarih boyunca belli-başlı bütün dillere çevrilmiş, 1000 defadan fazla basılmış, bütün medeniyetlerin okullarında okutulmuş, insanlığın en önemli baş yapıtlarından biridir Museum da yetişen en önemli matematikçilerden biri de Perge’li Apollonius’tur Antik Çağın, Öklid ve Arşimed’le beraber üç büyük bilim adamından biri olarak kabul edilen Apollonius konik kesitleri üzerine bugün de hayranlık uyandıran 8 kitaplık mükemmel bir eser bırakmıştır insanlığa (Bu 8 kitaptan 8 cisi bugüne kadar bulunamamıştır) Bütün zamanların en büyük bilim adamlarından biri olarak kabul edilen Siraküs’lü Arşimed (MÖ 287-212) de bir rivayete göre Museum da yetişmiştir En azından bir süre burada kaldığı bilinmektedir Arşimed icat ettiği mekanik aletlerinin yanı sıra, Öklid’in geometride yaptığını bir ölçüde mekanikte yapmış, mekaniğin ve hidrostatiğin temel ilkelerini yasalaştırmaya çalışmıştır Matematiğe katkıları, silindir ve küre hakkında çalışmaları; başlangıcı Eudox’a giden, “exhaustion” yöntemiyle bir çok şeklin alanını hesaplamış olmasını sayabiliriz Bu, bugün matematikte entegral olarak bilinen kavramın başlangıcıdır Eudox’tan zamanımıza yazılı hiçbir eser kalmamıştır Bu nedenle, belgeli olarak, bu yöntemin ilk olarak kullanıldığı yer Arşimed’in eserleridir Arşimed bu yöntemle, bir dairenin içine ve dışına düzgün 96 kenarlı çokgenler çizip, onların alanlarını hesaplayarak, pi sayısının 3,10/71 ile 3,10/70 arasında bir değeri olduğunu hesaplamıştır Bu da pi’ nin virgülden sonra ilk üç rakamını doğru olarak vermektedir O zamana kadar pi sayısının bilinen değerleri deneysel, ölçme yoluyla elde edilen değerler idi Museum da yetişen ve tarihin en önemli astronomlarından biri olarak kabul edilen bir bilim adamı da, batılıların Potolemy, doğuluların Batlamyüs olarak bildiği Claudius Potolemy’dir (MS 85-165) Batlamyüs, uzun yıllar süren gözlemlerden sonra, Hipparkus gibi daha önce yaşamış olan başka astronomların da gözlemlerini de kullanarak, tutarlı bir evren sistemi oluşturmuş; geniş astronomik ölçüm cetvelleri ve bir yıdız kataloğu hazırlamıştır Batlamyüs’ün sisteminde, dünya sistemin merkezindedir; güneş, ay ve diğer gezegenler dünya etrafında çembersel bir yörüngede dönmektedirler Arapların, en büyük manasına “almagest” dedikleri ve Yunanca ismi “matematica” olan ünlü astronomi kitabı 15 asır boyunca astronomi ile ilgilenen bütün bilim adamlarının başucu kitabı olarak kalmıştır
Yunanlılar alfabelerinin harflerini rakam olarak kullanmışlardır Bu sistemde sayıların yazılımı Romen rakamlarının yazılımına benzer ama daha gelişmiş bir sistemdir Yunun matematiği büyük ölçüde geometri olarak geliştiği için çok yetkin bir rakam sistemine ihtiyaç duymamışlardır
Bu kısımda anlatmaya çalıştığımız dönemde yaşamış 100 den fazla matematikçinin ismi ve bazı çalışmaları zamanımıza gelmiştir Bu da o dönemdeki bilimsel faaliyetlerin yoğunluğu, devlet ve toplum nezdindeki önemini göstermektedir

Yunan matematiğini değerlendirecek olursak, temel özellikleri şunlardır a) Yunanlılarla, matematik zanaat düzeyinden sanat düzeyine geçmiştir Bu matematikte, günlük hayatta işe yararlılık değil, derinlik, estetik ön plandadır b) Yunan matematiği bugünkü manada moderindir; bugün biz nasıl matematik yapıyorsak, o zaman onlar da böyle yapıyorlardı Zaman içinde ispat anlayış ve standartları değişmektedir; ama Öklid’in verdiği ispatlar, bugün de büyük ölçüde geçerlidir
Şimdi bu dönem nasıl bitti, bir sonraki dönem nasıl başladı; kısaca bunu anlatmaya çalışacağım Bu dönemi sona erdiren iki önemli etmen Roma’nın yükselişi ve Hıristiyanlığın Roma imparatorluğunun resmi dini oluşudur MÖ 150 yıllardan itibaren Roma imparatorluğu genişlemeye başlamıştır M Ö 30 lu yıllara gelindiğinde her üç Yunan kültür bölgesi de artık Romalıların hükmü altındadır Her ne kadar da idari ve askeri olarak Romalılar Yunan kültür bölgelerine hakim iseler de, kültürel olarak Roma imparatorluğu bir Yunan kolonisidir; az-çok, Yavuz Sultan Selim’den sonra, Osmanlıların Arap dünyasına hükmetmelerine karşın, kültürel açıdan bir Arap kolonisi durumunda oldukları gibi Bu nedenle, Romalılar Yunan kültür kurumlarının (Platonun akademisi, Bergama Okulu, Museum gibi) faaliyetlerine devam etmelerine müsaade etmişlerdir İskenderiye’nin alınışı sırasında İskenderiye kütüphanesi yanmıştır ama Bergama kütüphanesinden gönderilen 200000 kitapla İskenderiye kütüphanesi tekrar oluşturulmuştur Romalılar Museum daki bilim adamların maaşlarını devlet hazinesinden karşılamayı sürdürmüşlerdir Ne var ki, zamanla ekonomik durumun kötüleşmesi eğitim kurumlarında etkileyecektir Bu kurumlara en büyük darbeyi vuran ise Hrıstiyanlık olmuştur Hrıstiyanlık ilk 300 yıl yasaklı olduğu için yer altında gelişmiştir Bu dönemde Hrıstiyanlık çok hoş görülü ve bir eşitlik dinidir Bu nedenlerle, geniş bir taraftar kitlesi bulabilmiştir MS 300 gelindiğinde, Hristıyanlığın gelişmesinin önlenemeyeceğini anlayan Roma imparatoru I Constantin 313 de Hristıyanlığın üzerindeki yasağı kaldırmış, Roma’dan ayrılarak, Roma imparatorluğunun başkentini İstanbul’a (Constantinople) taşımıştır 380 lerde, Hristıyanlık Roma imparatorluğunun resmi dini olmuştur Bu tarihten itibaren, Kilise yavaş-yavaş sosyal ve eğitim hayatına hakim olmaya, Hristıyan öğretisinin dışında hiç bir öğretiye hoş bakmamaya başlamıştır 390 de Kril (Cril) isimli bir papazın İskenderiye kütüphanesini ateşe vermesiyle başlayan girişim, Museum’da çalışan bilim insanlarına saldırılara dönüşmüş; 421 de Museum’da ders veren ve tarihin ilk kadın matematikçisi olarak bilinen Hypatia [Hypatia, tanınmış bir matematikçi olan İskenderiyeli Heron’un kızıdır] yobaz Hrıstiyanlar tarafından linç edilerek öldürülmüştür Bu olaydan sonra Museum kapanmış ve 641 de Müslümanların Mısırı fethi sırasında da tamamen yanmıştır Bu okulun kapanmasından sonra, Museum da çalışan bilim adamları kitaplarını alarak, Sasanilerin hakim oldukları güneydoğu Anadolu (Harran, Urfa) ve Mezopotamya içlerine, Cundişapur’a (şimdiki İrak’taki Beth-Lapat), göçmüşlerdir 529 yılında da Bizans imparatoru Jüstinyen Atina’ da bulunan Platon’un akademisini kapatmıştır Bu tarih Yunan kültürünün hakim olduğu bir dönemin bitişi, karanlık çağın başlangıcıdır Akademinin kapanmasından sonra orada çalışan bilim insanlarının bir kısmı da doğuya göçmüşlerdir Bu göçler kitlesel göçler değildi; bugün olduğu gibi o gün de bilim insanları kitle oluşturacak kadar çok olmamışlardır Bu göçlerin Haçlı seferlerine kadar zaman -zaman devam ettiği anlaşılmaktadır Doğuya göçen bu bilim adamları, Yunan kültürüne aşina olan ortamlarda, özellikle Nestorien- Süryani toplumlarda daha uzun yıllar öğretilerini sürdürmeye, bilim meşalesini söndürmemeye çalışacaklardır İslam biliminin temelinde bu insanların emeği, onların yaptıkları çeviriler vardır Böylelikle bundan sonraki döneme, Müslümanların hakim olduğu döneme gelmiş bulunuyoruz

3- Islam Dünyasında ve Orta Çağda Matematik 611 den, Hz Muhammet’in peygamberliğini açıklamasından yüz yıl sonra, 711 ‘re gelindiğinde, İslam imparatorluğu, doğuda Çin sınırına ve Hindistan içlerine, batıda, kuzey Afrika’dan ve Cebel-Tarık’tan geçerek, Pirene dağlarına dayanıyordu Bu arada, İstanbul kuşatılmış (675-677), doğu ve güneydoğu Anadolu’nun bir kısmı fethedilmiş, Kıbrıs ve Sicilya alınmış, devasa bir imparatorluk oluşturulmuştu Bu imparatorluk Şamdan, Emevi hanedanlığı tarafından yönetilmekteydi Emevi’lerin Arap olanla olmayanlara farklı muameleleri orta Asya’da, Ebu Müslim Horasani’nin yönettiği büyük bir isyan çıkmasına neden oldu Bu isyan Basra civarında başlayan Abbas oğullarının isyanıyla birleşerek Emevi hanedanlığına son verdi Kıyımdan kurtulan Emevi’lerden Abdurahman Endülüs’te Emevi hanedanlığını daha bir süre devam ettirecektir İslam dünyasına bilim, 750 den sonra, Abbasiler zamanında girmeye başladı O tarihlerde, Basra bölgesinden yayılmaya başlayan ve İslam rasyonelizimi olarak ta bilinen Mutezile (=ayrılanlar) tarikatı, bu tarikatın Vasıl bin Ata gibi o zamanki önderlerinin halife Mansur’a ve Şia imamlarına yakın olmaları, bu tarikatın devlet ve halk tarafından benimsenmesine neden oldu Doğruların akıl ve rasyonel düşünceyle bulunacağını savunan bu akım, İslam dünyasına bilimin girmesinin düşünsel zeminini oluşturmuştur Abbasiler Şam’ı başkent yapmayarak, Bağdat’ı kurup orasını kendilerine başkent yapmışlardır Abbasi halifeleri Mansur, Harun Reşit ve El-Mamun, Bağdat’ta “Dar’ül Hikmet “ ( Aklın Evi) diye bilinen, İskenderiye’deki Museum benzeri bir medrese kurmuşlar, büyük bir çeviri faaliyetine girişmişlerdir Yukarıda da belirtildiği gibi, ilk çeviriler, Yunan dil ve kültürüne vakıf bölgelerdeki, özellikle Cundişapur ve güneydoğu Anadolu’daki Süryani ve Mecusiler ( Harranlı Tabit ibni Kurra ve çocukları gibi) tarafından yapılmıştır Çeviriler sadece Yunanca’dan değil, Hindçe’den, Pehlevice’den, İbranice’den… de yapılmıştır Böylelikle geniş bir kütüphane oluşturulacaktır Bu çevirilerin çeşitli kaynaktan yapılmış olmasından da anlaşılacağı gibi, İslam matematiği Yunan geleneğinin bir devamı olmaktan çok, Yunan, Mezopotamya ve Hind matematiklerinin bir sentezidir Sayı sistemleri, aritmetik, trigonometri ve cebir, daha çok Mezopotamya ve Hind geleneklerine; geometri ise Yunan geleneğine dayanır Zamanımıza, 750-1450 yılları arasında yaşamış 50 kadar matematikçi-bilim adamının ismi ve çalışmaları gelmiştir Unutmamak gerekir ki, o tarihlerde yaşamış olan bilim insanlarının çoğu, zamanın bütün bilimleriyle uğraşmış, ya da en azından 3-4 bilim dalında eser vermiş insanlardır Bu 50 kadar matematikçiden sadece 4-5 tanesinin çalışmaları hakkında bilgi vereceğim Bunun bize o dönem matematiği hakkında yeterli bir fikir verecektir sanırım
- 611 den, Hz Muhammet’in peygamberliğini açıklamasından yüz yıl sonra, 711 ‘re gelindiğinde, İslam imparatorluğu, doğuda Çin sınırına ve Hindistan içlerine, batıda, kuzey Afrika’dan ve Cebel-Tarık’tan geçerek, Pirene dağlarına dayanıyordu Bu arada, İstanbul kuşatılmış (675-677), doğu ve güneydoğu Anadolu’nun bir kısmı fethedilmiş, Kıbrıs ve Sicilya alınmış, devasa bir imparatorluk oluşturulmuştu Bu imparatorluk Şamdan, Emevi hanedanlığı tarafından yönetilmekteydi Emevi’lerin Arap olanla olmayanlara farklı muameleleri orta Asya’da, Ebu Müslim Horasani’nin yönettiği büyük bir isyan çıkmasına neden oldu Bu isyan Basra civarında başlayan Abbas oğullarının isyanıyla birleşerek Emevi hanedanlığına son verdi Kıyımdan kurtulan Emevi’lerden Abdurahman Endülüs’te Emevi hanedanlığını daha bir süre devam ettirecektir İslam dünyasına bilim, 750 den sonra, Abbasiler zamanında girmeye başladı O tarihlerde, Basra bölgesinden yayılmaya başlayan ve İslam rasyonelizimi olarak ta bilinen Mutezile (=ayrılanlar) tarikatı, bu tarikatın Vasıl bin Ata gibi o zamanki önderlerinin halife Mansur’a ve Şia imamlarına yakın olmaları, bu tarikatın devlet ve halk tarafından benimsenmesine neden oldu Doğruların akıl ve rasyonel düşünceyle bulunacağını savunan bu akım, İslam dünyasına bilimin girmesinin düşünsel zeminini oluşturmuştur Abbasiler Şam’ı başkent yapmayarak, Bağdat’ı kurup orasını kendilerine başkent yapmışlardır Abbasi halifeleri Mansur, Harun Reşit ve El-Mamun, Bağdat’ta “Dar’ül Hikmet “ ( Aklın Evi) diye bilinen, İskenderiye’deki Museum benzeri bir medrese kurmuşlar, büyük bir çeviri faaliyetine girişmişlerdir Yukarıda da belirtildiği gibi, ilk çeviriler, Yunan dil ve kültürüne vakıf bölgelerdeki, özellikle Cundişapur ve güneydoğu Anadolu’daki Süryani ve Mecusiler ( Harranlı Tabit ibni Kurra ve çocukları gibi) tarafından yapılmıştır Çeviriler sadece Yunanca’dan değil, Hindçe’den, Pehlevice’den, İbranice’den… de yapılmıştır Böylelikle geniş bir kütüphane oluşturulacaktır Bu çevirilerin çeşitli kaynaktan yapılmış olmasından da anlaşılacağı gibi, İslam matematiği Yunan geleneğinin bir devamı olmaktan çok, Yunan, Mezopotamya ve Hind matematiklerinin bir sentezidir Sayı sistemleri, aritmetik, trigonometri ve cebir, daha çok Mezopotamya ve Hind geleneklerine; geometri ise Yunan geleneğine dayanır Zamanımıza, 750-1450 yılları arasında yaşamış 50 kadar matematikçi-bilim adamının ismi ve çalışmaları gelmiştir Unutmamak gerekir ki, o tarihlerde yaşamış olan bilim insanlarının çoğu, zamanın bütün bilimleriyle uğraşmış, ya da en azından 3-4 bilim dalında eser vermiş insanlardır Bu 50 kadar matematikçiden sadece 4-5 tanesinin çalışmaları hakkında bilgi vereceğim Bunun bize o dönem matematiği hakkında yeterli bir fikir verecektir sanırım
İlk ele alacağımız matematikçi Muhammet ibni Musa al-Harazmi’dir (780-850) İsminden güney Özbekistan’da doğduğu anlaşılıyor Hayatı ve nerelerde okuduğu hakkında güvenilir bir bilgi yoktur 810 dan sonra Bağdat’ta Dar’ül Hikmet’in kütüphanecisi olarak çalışmaya başlamış ve 4 kitap yazmıştır Bunlardan biri coğrafya, biri astronomi, biri aritmetik diğeri de bir cebir kitabıdır Biz bu son ikisi hakkında biraz bilgi vereceğiz Al-Harazmi’nin en ünlü kitabı “ Al-Cebir ve Al-Mukabele” dır Bu “indirgeme ve denkleme” manasına gelen başlık, daha sonraları “Cebir” (veya Algebra) olarak kısaltılacaktır Bu kitapta Al-Harazmi ikinci dereceden bir polinomu katsayılarının işaretine göre 6 sınıfa ayırarak, sistematik olarak, her sınıf için, köklerin nasıl bulunacağını “algoritmik” bir yaklaşımla göstermektedir Örnek olarak, bizim bu gün x^2-10x-4=0 olarak yazacağız bir polinomu x^2=10x+4 şeklinde yazmaktadır ve bu polinomun köklerini bulmak için adım -adım ne yapılması gerektiğini söylemektedir Unutmamak gerekir ki o tarihlerde henüz negatif sayılar kullanılmıyor ve sayı uzunluk olarak düşünülmektedir Müslümanlar, burada söz konusu olan dönemde (750-1450), bir istisna (Abu Waffa (940-998)) dışında, negatif sayıları hiç kullanmamışlardır Al-Harazmi’nin, verilen bir polinomun kökünü bulmak için, izlemiş olduğu adım-adım yaklaşıma günümüzde “algoritmik” yaklaşım denmektedir; bu sözcük Al-Harazmi’nin ismi bozularak türetilmiştir Al Harazmi, daha sonra, algoritmik olarak bulduğu kökü geometrik olarak da bularak yaptıklarını doğrulamaktadır Son olarakta Al-Harazmi kitabında, bu yöntemin miras hesaplarına pratik uygulamalarını vermektedir Bu kitap 1140 larda Latinciye çevrilmiş ve 1600 lere kadar batı okullarında kullanılmıştır Bu eser, hakkında çok tartışma olan bir eserdir Kimilerine göre, cebir’in esas babası Diofand’dır; Al-Harazmi’nin cebiri Mezopotamya matematiğinden daha ileri düzeyde değildir Bu da büyük ölçüde doğrudur Kimileri ise, bu eserin her şey ile orijinal olduğunu savunmakta Açık olan bir şey varsa, o da bu eserden sonra, matematikte “cebir” diye bir ana bilim dalının ortaya çıkmasıdır Önemli olan diğer bir husus da, algoritmik yaklaşım dediğimiz, bu kitabın yöntemidir Al-Harazmi’nin diğer kitabı bir “Hesap” kitabıdır Bu kitabın Arapçası günümüze ulaşmamıştır; var olan bir Latince çevirisidir Bu kitapta, Al- Harazmi bugün kullandığımız Hind-Arap rakamları olarak bilinen ( 1,2,…,9, 0) rakamları tanıtmakta; onlarla sayıların nasıl yazıldığını, toplama, çarpma gibi işlemlerin nasıl yapıldığını anlatmaktadır Burada sıfır bir “ boşluk dolduran sembol” olarak kullanılmıştır, sayı olarak değil Sayı olarak, sıfır ilk kez, 876 de Hindistan’da kullanılmıştır Daha önce de kullanıldığı hakkında bilgiler vardır ama herkesin hem fikir olduğu tarih bu tarihtir Negatif sayıların da Hindistan’da 620 lerde kullanıldığı bilinmektedir ama az-çok yaygın olarak kullanılmaya başlanmaları 1600 ler den sonradır
Çalışmalarına deyineceğimiz ikinci matematikçi Ömer Hayyam’dır (1048-1131) Nişabur da doğan Ömer Hayyam, 1073 den sonra, İsfahan’da kurulan rasathanede, Selçuk hükümdarı Melik Şahın “müneccim başı” olarak çalışmaya başlamış Zamanımıza Rubailerinden başka bir cebir kitabı ve astronomiyle ilgili çalışmalarından da bazı kısımlar kalmıştır Cebir kitabında, üçüncü dereceden polinomların bir sınıflandırmasını yaparak, konik kesitlerini kesiştirerek, bu polinomların köklerini geometrik olarak bulmaya çalışmıştır Örnek olarak, x^3+ax^2+bx+c=0 polinomunun kökünü bulmak için x^2=2dy alarak 2dxy+2ady+bx+c=0 hiperbolünü elde eder Bu hiperbol ile y=x^2/2d parabolünun kesişme noktaları baştaki polinomun köklerini verecektir Bu çalışmada önemli iki nokta, üçüncü dereceden bir polinomun birden çok kökünün olabileceğini anlamış olması ve kökleri bulmak için konik kesitlerini kullanması gerektiğini görmüş olmasıdır Bu da Ömer Hayyam’ın Apolyonus’un konik kesitleri gibi zor bir konuya derinlemesine vakfı olduğunu göstermektedir Ömer Hayyam astronom olarak, gözlem ve ölçümlere dayalı, bir takvim reformu yaparak, yeni bir takvim (Celali takvimi) hazırlamıştır Bu gayeyle, Ömer Hayyam bir güneş yılının uzunluğunu 36524219858156 gün olarak hesaplamıştır Şimdi bilinen, bir yılın 365242190 gün olduğunu ve her 70-80 senede virgülden sonraki 6 rakamın değiştiğini burada belirtelim
Çalışmaları hakkında bilgi vereceğimiz üçüncü matematikçi Şarafeddin al-Tusi (1135-1213) dır İsminden, İran’ın Tus şehrinde doğduğu anlaşılmaktadır Muhtemelen Meşed yada Nişabur’da yetişmiştir Şam, Halep, Musul ve Bağdat da matematik okutmuştur Önemli bir cebir kitabının yazarıdır Ş Al-Tusi de, Ömer Hayyam gibi üçüncü dereceden polinomların köklerini bulmak için uğraşmıştır Harazmi’nin izinden, Ş Al-Tusi üçüncü dereceden denklemleri 25 sınıfa ayırarak, cebirsel yaklaşımla, onların köklerini bulmaya çalışmıştır Bugünkü notasyonla, x^3-ax=b gibi bir denklemin belli bir aralıkta çözümünün olabilmesi için, b nin x^3-ax in maksimumu ile minimumu arasında olması gerektiği anlayan Ş Al-Tusi, bu ifadenin maksimumun bu ifadenin “türev” inin sıfır olduğu yerde araması gerektiğini anlamıştır Kimi yazarlara göre bu türevin keşfidir Ne yazık ki o zaman bu keşfin değeri anlaşılmamış, türevin farkına varılmamıştır Matematiğin en önemli keşiflerinden olan türev, 1636 de Fermat tarafından tekrar keşfedilecek ve bu da, analitik geometri ile beraber, kalkülüsün doğumuna neden olacak ve matematikte bir devrim yaratacaktır
Ele alacağımız 4 matematikçi, büyük Tusi, Nasireddin Al-Tusi’dir (1201-1274) O devir İslam dünyasının en büyük bilim adamlarından olan N Al-Tusi, Tus ve Nişapur’da okumuştur Mantık, Ahlak, Felsefe, Astronomi ve Matematik kitapları yazmıştır Hayatının önemli bir kısmını, Hasan El-Sabahın örgütünün merkezlerinden biri olan, ve çok iyi bir kütüphanesi olduğu bilinen, Alamut kalesinde araştırma yaparak geçirmiştir Bu kale 1256 da Hülagü han tarafından alındıktan sonra, Hülagü hanın müneccim başı olmuş, 1262 den sonrada Marageh’de ( Güney Azerbaycan’da, Tebriz civarında ) Hülagü hanın emriyle kurulan rasathanede araştırmalarını sürdürmüş ve bir ziç, Ziç-i-İlhani’ yi hazırlamıştır Ziçler, astronomik hesaplar için gerekli olan, sinüs cetvelleridir N Al-Tusi’nin astronomi ile ilgili çalışmaları, Batlamyüs’den sonra Copernicus’un çalışmalarına kadar, astronomi hakkında en önemli çalışmalardan biri olarak kabul edilir Matematikle ilgili en önemli çalışması, düzlem ve küresel trigonometri ile ilgili çalışmalarıdır Bu eserden sonra trigonometri, astronomi için bir araç olmaktan çıkıp, matematiğin bir ana dalı olmuştur Bunun dışında, Yunanca’dan çeviri çok sayıda matematik kitaplarına izah ve yorumlar yazmış; bir sayının n inci kökünü bulmak için çalışmalar yapmıştır Batılı matematikçi ve astronomiçilerin, eserlerinden en çok yararlandıkları islam dünyası bilim adamlarının başında N Al-Tusi gelir
Çalışmalarından bahsedeceğimiz bu dönemin son matematikçisi Cemşit Al-Kaşi’ dır (1380-1429) Kaşan (Iran) da doğmuştur Kaşan’da yetiştiği anlaşılan Al-Kaşi, 1420 den itibaren ölene kadar, Uluğ Bey ve Kadızade ile Semarkand’ ta Uluğ Bey medresesinde ve rasathanesinde çalışmıştır Timurleng’in torunu olan Uluğ Bey (1393-1449) iyi bir matematikçi, bilim aşığı bir hükümdardı O tarihlerde Uluğ Bey’ in medresesinde 60 civarında zamanın en iyi bilim adamları ders vermekte ve araştırma yapmaktadır; bu metrese, pozitif bilimlerin okutulduğu ve bilimsel bir saygınlığı olan İslam ülkelerindeki son metresedir Al-Kaşi, Uluğ Bey’le beraber, N Al-Tusi’nin ziçlerinden de yararlanarak, Ziç-i-Hakani olarak bilinen Uluğ Bey’in ziçlerini hazırlamıştır Bu ziç’te 1 den 90 dereceye kadar olan açıların, birer dakika arayla, sinüsleri verilmiştir Bu da 60×90=5400 giriş demektir Her açının sinüsü, virgülden sonra 8 haneye kadar verilmiştir Bu iş bugünün imkanlarıyla bile, kolayca yapılacak bir iş değildir Ayrıca bu ziç, güneş, ay ve gezegenlerin konumu ve hareketleri hakkında detaylı bilgi ve gözlem tabloları içermektedir Al-Kaşi muhteşem bir hesap yeteneği olan matematikçidir Yarı çapı 1 olan bir daireyi 3×2^28=805 306 368 kenarlı bir poligonun içine oturtarak, pi sayısının virgülden sonra 16 hanesini ( 10 ve 60 tabanlı sayı sistemlerinde) doğru olarak vermiştir Bu rekor ancak 200 yıl sonra kırılabilecektir Al-Kaşi, içeriğinin zenginli, ispatlarının açıklığı ile orta çağın en iyi kitaplarından biri olarak kabul edilen “Aritmetiğin Anahtarı” başlıklı bir kitabın da yazarıdır Ondalık kesirlerle 4 işlemin nasıl yapılacağını açıklayan da Al-Kaşi’dir Al-Kaşi’nin ölümünden sonra Uluğ Bey’e ziçlerini tamamlamasına ve gerekli izahların yazılmasına, Al-Kaşi ve Kadızade’ nin öğrencisi olan, Ali Kuşçu yardım etmiştir 1449 da Uluğ Bey’in, devlet işleriyle uğraşmıyor, hayırsız bilimle uğraşıyor diye öz oğlu ve akrabaları tarafından öldürülmesinden sonra, Uluğ Bey’in medrese ve rasathanesi de çökmüştür Bu İslam dünyasındaki son önemli positif bilim merkezinin sönmesidir Bu son ismi geçen kişiler İslam dünyasının matematikçi diyebileceğimiz son bilim adamlarıdır 1450 den 1930-40 lar’a kadar İslam dünyasında orijinal bir çalışma yapmış ve matematikçi diye nitelendirebileceğimiz bir kişinin ismi bilim tarihinde geçmemektedir
Bu bölümü Müslümanların matematiğe katkılarının bir değerlendirmesiyle bitireceğim Müslümanların matematiğe katkılarını, bu konuda çok çelişkili yargıların olması nedeniyle, değerlendirmek çok zordur Müslümanların matematiğe katkıları kimi yazarlar tarafından sıfırlanırken, kimi yazarlar tarafından da göklere çıkartılmaktadır Kimi yazarlara göre Müslümanların matematiğe hiç bir katkısı olmamıştır; bütün yaptıkları bir buzdolabı görevi görmekten ibarettir Yunanlıların pişirdiklerini, Avrupalılar onu yiyecek düzeye gelene kadar saklamışlar, günü geldiğinde de Avrupalılar onu alıp yemişlerdir Kimilerine göre ise, Müslümanların matematiğe ve astronominin gelişmesine kapsamlı özgün katkıları olmuştur; bu gün batılı bilim adamlarının adını taşıyan bir çok teorem veya sonuç daha önce Müslümanlar tarafından bulunmuştur Görülen o ki a) Müslümanlar sulayıp büyüttükleri ağaçların meyvelerini toplayamamışlar; ve b) Müslümanların bilime katkıları yeteri kadar araştırılıp değerlendirilmemiştir Bu işi yapanların çoğunlukla yine batılı bilim tarihçilerin olduklarını unutmamak gerek Kendi bildiğim kadarıyla, Müslüman matematikçilerin Küresel geometriye, cebire, sayılar teorisine, trigonometri ve astronomiye özgün katkıları olmuştur ve bu katkılar hiçte küçümsenecek ölçülerde değildir Ayrıca, insanlığın ortak ürünü olan bilimin önemli bir halkası, eskiyle yeniyi bağlayan halkası, İslam bilimidir Bu halka olmadan, bilimin bugünkü düzeye gelmesi herhalde mümkün olmayacaktı
Bir sonraki bölüme geçmeden “İslam ülkelerinde bilim niye çöktü; batıya bilim nasıl girdi “ soruları hakkında bir kaç şey söylemem gerekir Bu sorular, tek bir kişinin yanıtlayabileceği sorular değildir; ancak geniş ve çok yönlü bir ekip bu sorulara tatmin edecek cevap verebilir Şimdi söyleyeceklerim, başka biri için, İslam ülkelerinde bilimin çöküşünün en derin nedenleri olmayabilir Bu konu çok tartışılan bir konudur, bildiginiz gibi Şimdi söyleyeceklerim sadece kendi görüşlerimi yansıtmaktadır a) Haçlı seferleri İslam dünyasında, bugün de kanayan, derin yaralar açmıştır İlk haçlı seferleri sırasında yapılan büyük katliamlar ve yamyamlık olayları, bölge insanlarını derin bir ümitsizlik, çaresizliğe ve bunalıma sokmuştur Niçin bu duruma düştüklerini sorgulayan insanlar, İslam’ın başında olduğu gibi din duygularının güçlendirilmesi, dini ve imanı için ölecek insanların yetiştirilmesi gerektiği kararına varmışlar İmam Gazalinin görüşlerinin de etkisiyle, bu tarihlerde, 1100-1150 arası, İslam dünyasında akli bilimlerden nakli bilimlere bir dönüş olmuştur Bu olayın üzerine, 1250 lerden itibaren başlayan Moğol istilası sonucu, eğitim kurumları ve kütüphanelerin en önemlilerinin yok oluşunun eklenmesi; benzeri durumun Endülüs’ün kademeli olarak Hrıstiyanların eline düşmesi sonucunda da olması, bu geçişi kolaylaştırmış, derinleştirmiştir ve geri dönülmesi neredeyse olanaksız bir noktaya getirmiştir Ancak haçlı seferleri ve Moğol istilası gibi derin izler bırakan bir olay bu gidişi tersine çevirebilirdi; bu da 1918 de yaşanan son “haçlı” seferiyle yaşanmıştır Atatürk’ün “Hayatta en hakiki mürşit ilimdir, fendir; bunun dışında mürşit aramak, gaflettedir, delalettir “ sözü, nakli bilimlerden akli bilimlere dönüşü simgeler b) Medreseler İslam dünyasında daha çok 1150 den sonra çoğalmaya başlamışlar ve “nakli bilim” ( ya da “hayırlı bilim”) eğitimi veren okullar olarak çoğalmışlardır Osmanlı İmparatorluğuna Araplardan geçen bilim geleneği akli ilim değil, nakli bilim geleneğidir c) Medreseler, vakıflara bağlı olmalarına rağmen, kurumsallaşıp, gelişmemiş; aksine her türlü yeniliğe karşı çıkan, yobaz üretim merkezi olmuşlardır d) Din’i ve din’i ulemayı kendine ideolojik dayanak yapan yönetici sınıf, ulemayı imtiyazlı bir sınıf konumuna getirirken, pozitif bilimlerle uğraşanları ezmişlerdir e) İmtiyazlı bir sınıf konumuna gelen, devlet ve halk nezdinde büyük bir saygınlığa erişen ulema sınıfı, pozitif bilimlerin yeşermesine, bu bilimlerle uğraşan insanların toplum içinde saygın bir konuma gelmelerine mani olmak için açık-gizle her türlü çabayı göstermişlerdir ve bunda da başarılı olmuşlardır f) Dar bir ortamda yetişen, dünya görüşünden yoksun, ülke ekonomisiyle kendi ekonomisini karıştıran idareci sınıfları bilimle teknoloji arasındaki ilişkiyi hiç bir zaman anlamamış; ülkelerinin geri kaldığını ancak askeri yenilgilerden sonra anlayabilmişlerdir Bu durumda, köklü reform yapmaları gerekirken, düzen bozulur korkusuyla, koyma suyla değirmen döndürmeye çalışmışlar, orduyu düzeltmek için bir-kaç yabancı uzman çağırmakla yetinmişlerdir İslam ülkelerinde, özellikle Türkiye’de, nakli bilimlerden akli bilime dönüş, yukarıda 9 haçlı seferi olarak nitelediğim, bütün İslam ülkelerinin batının işgaline uğradığı, 1ci dünya savaşından, özellikle1930 lar’dan sonradır Bu ülkelerde, bilimsel gelişmeler ancak bu tarihten sonra, emekleye-emekleye de olsa, gelişmeye başlamıştır
Batıya matematik nasıl girdi sorusuna gelince, bu üç yoldan olmuştur a) Ortadoğu’da 4 krallık kurup, 200 yıla yakın bir süre Ortadoğu’da kalan haçlılar vasıtasıyla, b) Arap medreselerinde okuyan batılı öğrenciler vasıtasıyla; ve c) Endülüs’ten Büyük kapının Endülüs olduğu gözükmektedir Her ne kadar da Endülüs’te önemli matematikçiler yetişmemiş olsa da, Endülüs’te eğitimin yaygın; ortamın bilim için uygun olduğu, felsefe, kimya tıp, gibi bilim dallarda oldukça ileri olduğu bilinmektedir Örneğin, 11 asırda Kordoba’da 400 bin kitablık merkez kütüphanesi, 17 medrese ve bir çok halk kütüphanesi bulunuyordu Buralarda Hristıyan ve Musevi öğrenciler okuyabiliyordu Toleodo İspanyolların eline geçtiğinde (1100), Toleodo piskoposu, büyük bir çeviri bürosu kurarak, çok sayıda bilimsel eseri, Arap metreselerinde yetişmiş olan Musevi çevirmenler vasıtasıyla, Arapçadan Latince’ye çevirtmiştir 12 asra kadar Avrupa’daki okullar, din ağırlıklı skolastik eğitim verilen manastır veya katedral okullarıydı 12 asrın ortalarından itibaren İtalya’da (Bolonya, Padova), öğrencilerin “universita” dedikleri dernek türü kurumlarda bir araya gelerek, eğitim için birleşmiş, böylelikle daha sonra üniversite olacak kurumların çekirdeklerini dikmişlerdir Bu kurumlarda ders veren hocalar Arap metreslerinde okumuş batılı (İtalyan) gençlerdi Daha sonra bu kurumlarda okuyan Avrupalı öğrenciler Almanya’da (Köln), Fransa’da (Sorbone) ve İngiltere’de ( Oxford, Cambrigde) üniversitesi olacak olan eğitim kurumlarını kuracaklardır Bu dönemde Kutsal Roma-Germen imparatoru olan 2 Frederik’in açık görüşlü, bilime değer veren bir insan oluşunun ve, 1200 lerin başında kurulmuş olan, Fransican tarikatının katkılarının da pozitif bilimlerin Avrupa’ya’ya girmesinde ve gelişmesinde etkili olmuş olduğunu belirtmek gerekir 1200 ile 1500 ler arası Avrupalıların bilimsel kaynakları Arapça eserlerdi Uğraştıkları sorular da bu kitaplarda Müslüman matematikçilerin uğraştığı sorulardı Bunlar da, bazı geometri soruları, 3 dereceden polinomun köklerini bulma sorunu, sayılar teorisiyle ilgili sorulardır 1450 lerden sonra, İstanbul’ dan İtalya’ya giden kitaplardan, matematiğin Yunanca kaynaklarına inmeye, Yunanca kaynaklardan çeviri yapmaya başlıyacaklardır; 1600 lerden sonra Arapça kaynaklar büyük ölçüde terk edilecektir Avrupa’da matematikte özgün gelişmeler 1500 lerden sonradır Şimdi biraz bunlardan bahsetmemiz gerekiyor
Batıya bugünkü kullandığımız Hind-Arap rakamları (1,2,…,9, 0) 1200 lerin başında Fibonacci’nin ( Leonordo de Pisa, 1175-1250) yazdığı “ Liber Abacci” isimli kitabıyla girmiştir Bu kitapta Fibonacci, kendinden 400 yıl önce Harazmi’nin yaptığı gibi, bu rakamlarla sayıların nasıl yazılacağını, dört işlemin nasıl yapılacağını izah etmektedir Bu rakamlar batıda günlük hayatta 16 asra kadar çok yaygın olarak kullanılmamış, zaman -zaman da yasaklanmıştır Bu rakamların halk arsında yaygın olarak kullanılması Fransız devriminden sonra olmuştur 1200 lerden 1500 lere kadar kayda değer özgün bir çalışma yoktur 1500-1600 arası iki önemli çalışma a) Tartaglia’nın (1499-1557) bulduğu ama Cardano’nun (1501-1576) aşırarak yayımladığı üçüncü dereceden polinomların cebirsel olarak köklerinin bulunmasıdır Kompleks sayılar ilk olarak 3 derecede polinomların kökünü veren formülde, o tarihlerde anlaşılmamış olsa da, ortaya çıkmıştır Daha sonra Bombelli (1526-1572) cebir kitabında bazı tip kompleks sayılara yer verecek, onlarla nasıl işlem yapılacağını anlatacaktır b) Diğer önemli çalışma ise, F De Viete (1540-1603) in cebir kitabıdır İlk olarak bu kitapta, cebir, sözel olmaktan çıkıp, sembolleşmeye başlamıştır Viete’in kitabında sessiz harfler bilinen kantiteler, sesliler de bilinmeyenler için kullanılmıştır Sabitler için a,b gibi alfabenin ilk harflerinin; bilinmeyenler için de x,y gibi alfabenin son harflerinin kullanılması Descartes’le başlayacaktır
1600-1700 arası matematikte önemli gelişmelerin olduğu yıllardır Bu asrın üç önemli gelişmesi şunlardır: a) Türevin bulunması P Fermat’nın (1601-1665), 1636 da, bir eğrinin maksimum, minimum ve tanjantını bulmak için verdiği çabalar, Ş Al-Tusi’den 5 asır sonra, onu da türevin keşfine götürmüştür Artık matematik dünyası, yavaş da olsa, bunu anlayacak kadar olgundur b) Analitik geometrinin ve kartezyen koordinat sistemini ortaya çıkması R Descartes’ın (1596-1650) geometriyi cebirleştirme çabaları ve bir eğriyi bir reper sisteminde çizme isteği analitik geometrinin doğmasına ve, bugün Descartes ‘a ithafen adlandırılan, “cartesien” koordinat sisteminin ortaya çıkmasına yol açacaktır Ve, c) türev ile entegral arasındaki, bugün “Kalkülüsün Temel Teoremi” dediğimiz, ilişkinin Newton (1643-1727) ve Leibniz (1646-1716) tarafından, birbirinden bağımsız olarak, bulunmasıdır Böylelikle “ Integral Calculus” doğacaktır Bu da, o güne kadar kullanım alanı oldukça sınırlı olan matematiğin önünü açacak ve matematiği evrensel bir bilim konumuna getirecektir Ayrıca, kalkülüsle beraber bilimsel fizik ve mühendislik bilimleri de doğacaktır Türevden önce, differensiel denklem, dolaysıyla bilimsel fizik yoktu Bir differensiyel denklem, fiziki bir olayın metematiki ifadesindir Bu çalışmalar ve astronomideki gelişmeler matematiği başka bir düzeye, yeni bir döneme taşıyacaktır
4- Klasik Matematik Dönemi 1700- 1900 yılları arasını kapsayan ve matematiğin altın çağı olarak bilinen, bu dördüncü dönem, klasik matematik dönemidir 18 asırda matematiğe en önemli katkıları yapan bilim adamlarının başında Euler, Laplace, Lagrange ve D’Alembert’i sayabiliriz Leonhard Euler (1707-1783) İsviçre’de, Basel de doğmuş, meslek hayatının tamamı Petersbourg ve Berlin’de geçmiştir Tarihin en üretken bilim adamıdır Kalkülüsün ortaya çıkardığı olanakları sayılar teorisinden, differensiyel denklemlere; differensiyel denklemlerden, mühendislik problemlerine… uygulayan Euler, 30000 sayfadan fazla bilimsel eser üretmiştir Öldükten 50 sene sonra dahi, birikmiş makalelerinin yayını sürmüştür Euler’le matematik evrensel boyutlara erişmiştir Bugün bile matematikçilerin yaptığı işlerin bir çoğunun temel fikri veya başlangıcı Euler’in çalışmalarıdır Euler’le Analiz yeni bir bilim dalı olarak temeyyüz etmiştir; bu dalın büyük babaları Eudoxus ve Arşimed ise, babası Euler’dir Laplace (1749-1827) Fransa’da, Normandia’ da doğmuştur Gök ve yer mekaniği hakkında yazdığı 11 ciltlik eseri, bütün zamanlarda mekanik hakkında yazılmış en kapsamlı eserlerinden biridir “Theorie Analytique des Probabilites” başlıklı kitabı olasılık teorisinin ilk önemli eseridir Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) İtalya’da Turin’da doğmuş, meslek hayatının büyük bölümünü Berlin ve Paris’te geçirmiştir İtalya’da doğmasına rağmen Fransız matematikçisi olarak bilinir Lagrange cebirsel denklemlerin çözülebilirliği, mekanik, differensiyel denklemler ve varyasyon hesabına önemli katkılar yapmış, fikirleri ve yöntemleri bugün de kullanılan bir bilim adamıdır Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783) Paris’te doğmuş, Fransa’da yaşamıştır D’Alembert kısmi differensiyel denklemleri ilk inceleyen bilim adamlarından biridir Kısmi differensiyel denklemler ve akışkanlar mekaniği ilgili çalışmaları ve felsefi yazıları dışında, Diderot ile beraber editörlüğünü yaptığı ünlü 28 ciltlik “Encyclopedie” nin matematik maddelerinin hemen -hemen tümünü D’Alembert yazmıştır Bu eser Fransız aydınlanmasının temel eserlerinden biridir
1700- 1900 yılları arasını kapsayan ve matematiğin altın çağı olarak bilinen, bu dördüncü dönem, klasik matematik dönemidir 18 asırda matematiğe en önemli katkıları yapan bilim adamlarının başında Euler, Laplace, Lagrange ve D’Alembert’i sayabiliriz Leonhard Euler (1707-1783) İsviçre’de, Basel de doğmuş, meslek hayatının tamamı Petersbourg ve Berlin’de geçmiştir Tarihin en üretken bilim adamıdır Kalkülüsün ortaya çıkardığı olanakları sayılar teorisinden, differensiyel denklemlere; differensiyel denklemlerden, mühendislik problemlerine… uygulayan Euler, 30000 sayfadan fazla bilimsel eser üretmiştir Öldükten 50 sene sonra dahi, birikmiş makalelerinin yayını sürmüştür Euler’le matematik evrensel boyutlara erişmiştir Bugün bile matematikçilerin yaptığı işlerin bir çoğunun temel fikri veya başlangıcı Euler’in çalışmalarıdır Euler’le Analiz yeni bir bilim dalı olarak temeyyüz etmiştir; bu dalın büyük babaları Eudoxus ve Arşimed ise, babası Euler’dir Laplace (1749-1827) Fransa’da, Normandia’ da doğmuştur Gök ve yer mekaniği hakkında yazdığı 11 ciltlik eseri, bütün zamanlarda mekanik hakkında yazılmış en kapsamlı eserlerinden biridir “Theorie Analytique des Probabilites” başlıklı kitabı olasılık teorisinin ilk önemli eseridir Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) İtalya’da Turin’da doğmuş, meslek hayatının büyük bölümünü Berlin ve Paris’te geçirmiştir İtalya’da doğmasına rağmen Fransız matematikçisi olarak bilinir Lagrange cebirsel denklemlerin çözülebilirliği, mekanik, differensiyel denklemler ve varyasyon hesabına önemli katkılar yapmış, fikirleri ve yöntemleri bugün de kullanılan bir bilim adamıdır Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783) Paris’te doğmuş, Fransa’da yaşamıştır D’Alembert kısmi differensiyel denklemleri ilk inceleyen bilim adamlarından biridir Kısmi differensiyel denklemler ve akışkanlar mekaniği ilgili çalışmaları ve felsefi yazıları dışında, Diderot ile beraber editörlüğünü yaptığı ünlü 28 ciltlik “Encyclopedie” nin matematik maddelerinin hemen -hemen tümünü D’Alembert yazmıştır Bu eser Fransız aydınlanmasının temel eserlerinden biridir
Bu yüzyılın matematiği çeşitli, kapsamlı ve fikir yönünden zengindir En önemli zaafları, kesinlik (rigor) eksikliği; yapılan işlerin, günümüzün standartlarına göre, yarım-yamalak, kusurlu ve eksik oluşudur Matematiğin o zamanda erişmiş olduğu düzeyde başka türlü olabilir miydi, bilmiyorum
1800-1900 Arası 19 asır çok sayıda, matematiğe önemli katkıları olmuş, bilim adamın yaşadığı bir asırdır Bunların her birini teker -teker ele alıp, onların neler yaptığını anlatmak, bu konuşma çerçevesinde mümkün değildir; ayrıca, buna bilgim de yetmez Bunun yerine, bu asırda matematik nereden nereye geldi sorusuna cevap vermeye çalışacağım 1800 lerin başında matematik derin bir kriz içindeydi Bunun nedeni, Fermat (1636) dan beri türevin tanımında, ve türevin işe karıştığı bir çok yerde, sonsuz küçük (infinitesimal) kavramının kullanılması ve matematikçilerin bunu çok tutarsız bir şekilde kullanmalarıydı Bu tarihlerde henüz limit kavramının olmadığını ve türevin limit vasıtasıyla değil, “sonsuz küçük” kavramı kullanılarak tanımlandığını burada belirtmem gerekir Bu tutarsızlık çok eleştirilmiş, özellikle de düşünür-din adamı G Berkley (1685-1753) nin matematikçilerin tutarsızlığını ortaya koyduğu 40 sayfalık bir eleştiri kitabı derin etki yapmış, bir çok matematikçinin meslek değiştirmesine ve matematiğe karşı tavır almalarına neden olmuştur 1800 başında, fonksiyon kavramının, son yüz yıldır kullanıla gelmesine karşın, henüz doğru-dölek tanımlanmamış olması ve matematikçilerin fonksiyonu aynı şekilde anlamamaları da başka bir anlaşmazlığın ve karmaşanın nedeniydi 1800 lerin başında süreklilik ve fonksiyon serilerinin yakınsaklığı doğru-dölek anlaşılmamıştı; henüz düzgün süreklilik ve düzgün yakınsaklık kavramları ortada yoktu Entegral kavramı türev kavramının tersi olarak görülüyordu; türevden bağımsız bir entegral ve entegrallenebilirlik kavramı yoktu 1800 lerin başında, bugün matematiğin en önemli teorilerinden biri olan, kompleks fonksiyonlar teorisi henüz yoktu Antik Yunan çağından kalma ve çok uğraşılan beş sorudan ( Bunların ilk dördü, geometrik çizim yaparak, 1) bir açıyı üç eşit parçaya bölmek 2) Alanı verilen bir dairenin alanına eşit alanı olan bir kare bulmak 3) Hacmi verilen bir küpün hacminin iki katına eşit hacmi olan bir küp bulmak; ve 4) bir dairenin içine, p sayısı asal olmak kaydı ile, hangi p ler için düzgün p-genler çizilebileceğini bulmak idi 5 Soru, Öklid geometrisinin beşinci postulatı olan, “bir doğruya onun dışından bir ve yalnız bir paralel çizilebilir “ postulatının diğer dördünün sonucu olarak elde edilip-edilemeyeceği idi) hiç biri, 4 cü soru dışında ki o da Gauss tarafından daha yeni çözülmüştü, çözülememişti Cebirde, 5 ci dereceden polinomların köklerinin cebirsel ( köklü ifadelerle) çözülüp-çözülemeyeceği henüz bilinmiyordu Cebir’in grup, halka, cisim, vektör uzayı gibi hiçbir yapısı henüz ortaya çıkmamıştı Matris ve vectör kavramları henüz yoktu ( 2 li ve 3 lü determinantlar 1680 lerden beri biliniyor) Matematiksel fiziğin ana teoremleri henüz ortada yoktu; differensiyel geometri, topoloji gibi konular henüz doğmamıştı 1800 lerin başında matematiğin durumu kısaca bu idi 1820 lerde, A Cauchy (1789-1855) limit kavramını, bugünkü kullandığımız şekliyle, tanımlayıp, türevi, sürekliliği ve, sürekli fonksiyonlar için, entegrali, limit kavramı yardımıyla tanımlaması, analizi, sonsuz küçük kavramından kaynaklanan krizden kurtarmış ve daha sağlam temeller üzerine oturtulmasını sağlamıştır Cauchy’nin çalışmaları sonucu, kompleks fonksiyonlar teorisi doğmuş ve, Cauchy, B Riemann (1820-1866) ve K Weierstrass (1815-1884) gibi asrın büyük matematikçilerinin çalışmalarıyla, matematiğin en temel teorilerinden birine dönüşmüştür G Dirichlet’nin (1805-1859) 1830 larda fonksiyon kavramını bugün anladığımız manada tanımlaması matematiği başka bir kargaşadan kurtarmıştır Bu da özellikle Fourier serileri hakkında tartışmaları sona erdirecek, Fourier serileri ile ilgili çalışmaları tekrar başlatacaktır Fourier serileri Analizin gelişmesinde en önemli rolü oynayan, bir bakıma modern matematiğin doğuşuna neden olan, gerek uygulamaları ve gerekse de matematikteki merkezi konumu açısından, matematiğin en önemli konularından biridir Weierstrass ve öğrencilerinin çalışmaları sayesinde, 1850 lerden sonra, düzgün süreklilik, düzgün yakınsaklık gibi analizin vazgeçilmez kavramları ortaya çıkacak, fonksiyon serilerinin yakınsaklığı daha iyi anlaşılacaktır F Gauss’un (1777-1855) “ Cebir’in Temel Teoremi, ya da D’Alembert Teoremi” olarak bilinen teoremi ispatlaması bu asrın başka bir önemli olayıdır Bu teorem bugün cisimler teorisinden spektral analize kadar bir çok teorinin temelinde olan bir teoremdir Bütün zamanların en derin, en büyük bilim adamlarından biri olarak kabul edilen Gauss’un, sayılar teorisi, differensiel geometri, matematiksel fizik ve astronomiye katkıları bu asrın en önemli çalışmaları arasındadır Bu asrın ve bütün zamanların en önemli matematikçilerinden biri olan Riemann kısa yaşamında, daha sonra her biri büyük bir teori olacak bir düzine konuyu başlatmış ya da onlara derin katkılar yapmış, matematiğe kavramsal bir bakış ve yaklaşım getirmiştir Bunlardan bir kaçı: Riemann entegrali ve entegrallenebilirlik kavramı, Riemann yüzeyleri, Riemann geometrisi, differensiyel geometri, sayılar teorisi (Riemann hipotezi), kompleks analiz (Riemann yüzeyleri, Cauchy-Riemann denklemleri), cebirsel geometri, matematiksel fizik ve, daha sonraları topoloji ismini alacak olan, analysis situs tür Yine bu asırda, yukarıda sözü edilen, antik Yunan çağından kalma 5 sorunun beşi de çözülmüştür 1 ve 3 soruların mümkün olmadığı bir Fransız matematikçisi olan Wentzel tarafından 1837 de ispatlandı 2 sorunun mümkün olmadığı, Lindemann’ın 1882 de pi sayısının tranzantal bir sayı olduğunun ispatından sonra anlaşıldı 4 soru, yukarıda da söylendiği gibi Gauss tarafından 1796 da (p=17) için ve 1801 de de diğer p ler için tam olarak çözüldü Cevap şudur: p bir asal sayı olsun Verilen bir dairenin içine bir düzgün p-genin çizilebilmesi için gerek ve yeter koşul p nin p=2^n+1 ve n=2^k şeklinde olmasıdır ( k=0 için, p=3 dür; k=1 için p=5, ve k=2 için p=17 dir) Bir dairenin içine düzgün bir beşgenin çizilebileceğini Öklid biliyordu; 7-gen çizilemeyeceğini Arşimed biliyordu Arşimed’den 1800 yılları arasında geçen 2000 yılda bu soruda hiçbir ilerleme sağlanmamıştı; bu sorunun çözümü için Gauss’un dehası gerekiyordu Öklid’ in 5 postulatına gelince, bu sorunun çözümü için insanların, “mantıki tutarlılık” ile “fiziki olurluluğun” aynı şey olmadığını anlamaları gerekiyordu 5 postalatın yerine onun zıtları olan postulatlar koyarak, Öklid geometrisi kadar tutarlı, iki yeni geometri oluşturulabileceği Lobachevki (1792-1856), Bolyai (1802-1860), ve Riemann tarafından gösterildi Cebir cephesine gelince, genç yaşta bu dünyadan ayrılan iki matematikçi, H Abel (1802-1829) ve E Galois (1811-1832) nın 5 dereceden polinomların cebirsel yöntemlerle köklerinin bulunup-bulunamayacağı konusunda çalışmaları sonucu grup teorisi doğdu Kummer (1810-1893) ve öğrencilerinin Fermat’nın büyük teoremiyle ispatlamak için verdikleri uğraşı sonucu halka teorisi ve idealler teorisi; R Dedekind (1831-1916) gerçel sayıların soyut bir tanımını vermek için yaptığı çalışmalar sonucu, cisim teorisi; Cayley (1821-1895 ) ve Sylvesterin (1814-1897 ) çok sayıda doğrusal denklemi tek bir denklem olarak göstermek ve çözmek için yaptıkları çalışmalar sonucu matris cebiri; ve Grassman (1809-1877 ) nın üç boyuttan çok boyuta geçme çabaları sonucunda da vectör uzayları doğdu Bu kavramlar matematiğe yapısal (= stuructualist) yaklaşımı ve bakış açısını getirecektir
Bu dönemi, 1700-1900 arasını, matematikte büyük ilerlemelerin olduğu, çok sayıda yeni teorinin doğduğu, yapısal değişikliklerin olduğu, ispatlarda kesinliğin ön plana çıktığı, kavramsal bakış açısının hesapsal yaklaşımın önüne geçtiği bir dönem, matematiğin altın çağı, olarak özetleyebiliriz
Altın çağ bir krizle kapandı Bu kriz yeni bir çağın doğum sancılarıydı Bu çağ modern matematik çağıdır Bundan sonraki kısımda, bu krizin nedenleri ne idi; modern matematik nedir, nasıl doğdu, ne yönde gelişti; bunları anlatmaya çalışacağım
5-Modern Matematik Dönemi Kümeler teorisinin, dolaysıyla, modern matematiğin, babası Georg Cantor (1845-1918) dır G Cantor Berlin üniversitesinde, Kummer’in ögrencisi olarak sayılar teorisinde tezini bitirdikten sonra, 1869 dan itibaren meslek hayatının sonuna kadar çalışacağı Halle üniversitesinde işe başlamıştır Halle üniversitesinde çalışmaya başladığı yıllarda, o üniversitenin hocalarından, E Heine’nın Cantor’a sorduğu bir soru Cantor’un yaşamını, matematiğin de seyrini değiştirecekti Bu soru şu idi: Bir periodluk bir aralıkta, toplamı sıfır olan bir trigonometrik serinin katsayılarının hepsi sıfır mıdır? Cantor bu soruyla uğraşırken gerçel sayıların o güne kadar fark edilmeyen bir özelliğinin farkına varır Bu da rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların aynı çoklukta olmadığıdır Başka bir ifadeyle, rasyonel sayıların kümesiyle irrasyonel sayıların kümesi arasında, her iki kümenin de sonsuz olmasına karşın, bire-bir bir dönüşüm yoktur O halde bu iki kümenin sonsuzlukları aynı değildir Böylelikle ortaya küme kavramı ve kümelerin, içerdikleri eleman çokluğu açısından, sınıflandırılması sorunu çıktı Bu son kavram “sonsuzun” tek değil, çok olduğunu söylemektedir; bu da çok tepki çekecekti Tarih boyunca, Elea’ lı Zeno’dan başlayarak, günümüze kadar, “sonsuz” insanları rahatsız etmiştir Aristo’dan Cantor’a kadar geçen zaman diliminde “sonsuz” anlayışı, temelde Aristo’nun görüşü olan, şu anlayıştır: Sonsuz, ufuk çizgisi gibi, var olmayan ama konuşma kolaylığı sağladığı için kullandığımız bir kavramdır Bu kavramı “sınırsızlık” kavramı yerine kullanırız; bir şey, çoğalarak ya da büyüyerek, önceden belirleyeceğimiz bir çokluğun ya da büyüklüğün ötesine geçme potansiyeline sahipse, o şeye sonsuza gidiyor deriz Başka bir deyimle, Aristo’nun sonsuz anlayışı “potansiyel sonsuz” anlayışıdır Cantor’a göre ise “sonsuz” tek başına manalı bir söz değildir; manalı olan “sonsuz küme” kavramıdır; sonsuz kümeler ise var olan nesnelerdir Burada “sonsuz küme” deyimi, büyükanne gibi, bölünmez bir terim olarak anlaşılmalıdır O halde önce kümeler sonlu-sonsuz diye ikiye ayrılacak; sonra da sonsuz kümeler, kendi aralarında, sonsuzluklarına göre, çeşitli sınıflara ayrılacaktır Böylelikle ortaya sayısız “sonsuz küme” sınıfları çıkacaktır Bu da çok çeşitli “sonsuzluğun “ olduğu manasına gelmektedir Cantor’un bu sonsuz anlayışı, Kronecker ve Poincaré gibi bir çok ünlü matematikçi tarafından tepki ile karşılandı Bunun sonucu olarak ta, matematikçiler, “sonsuzu” Cantor gibi anlayanlar ve Aristo gibi anlayanlar olmak üzere, iki guruba ayrıldılar Küme kavramının, aksiyomatik olarak tanımlanmaksızın, Cantor’un yaptığı gibi, sözlük manasında kullanılması, kümeler teorisini de çıkmaza soktu; “bütün kümelerin kümesi bir küme midir” gibi yeni paradoksları ortaya çıkardı Bu da matematikçileri, kümeler teorisinden vazgeçilip-vazgeçilmemesi konusunda, ikinci bir kez böldü Üçüncü bir sorun da, bir matematiksel ispatın ne olduğu, geçerliliği, meşruluğu sorunuydu Matematikte deney ya da gözlem olmadığı için, tartışma konusu olan bir ispat, teori veya teorem hakkında son sözü deneye, ya da gözleme bırakma olanağı yoktur Bir matematikçi “ öyle bir x vardır ki…” dediği zaman var olduğunu iddia ettiği şeyi somut olarak ortaya koymak, en azından nasıl inşa edilebileceğini göstermek zorunda mıdır; yoksa, bir din adamının dini ilkelere dayanarak şeytanın varlığını ispatladığı gibi, bir matematikçinin de, aradığı şeyin nasıl elde edileceğini göstermeksizin, o şeyin var olduğunu, bir takım ilkelere dayanarak, ispatlaması yeterli midir?
- Kümeler teorisinin, dolaysıyla, modern matematiğin, babası Georg Cantor (1845-1918) dır G Cantor Berlin üniversitesinde, Kummer’in ögrencisi olarak sayılar teorisinde tezini bitirdikten sonra, 1869 dan itibaren meslek hayatının sonuna kadar çalışacağı Halle üniversitesinde işe başlamıştır Halle üniversitesinde çalışmaya başladığı yıllarda, o üniversitenin hocalarından, E Heine’nın Cantor’a sorduğu bir soru Cantor’un yaşamını, matematiğin de seyrini değiştirecekti Bu soru şu idi: Bir periodluk bir aralıkta, toplamı sıfır olan bir trigonometrik serinin katsayılarının hepsi sıfır mıdır? Cantor bu soruyla uğraşırken gerçel sayıların o güne kadar fark edilmeyen bir özelliğinin farkına varır Bu da rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların aynı çoklukta olmadığıdır Başka bir ifadeyle, rasyonel sayıların kümesiyle irrasyonel sayıların kümesi arasında, her iki kümenin de sonsuz olmasına karşın, bire-bir bir dönüşüm yoktur O halde bu iki kümenin sonsuzlukları aynı değildir Böylelikle ortaya küme kavramı ve kümelerin, içerdikleri eleman çokluğu açısından, sınıflandırılması sorunu çıktı Bu son kavram “sonsuzun” tek değil, çok olduğunu söylemektedir; bu da çok tepki çekecekti Tarih boyunca, Elea’ lı Zeno’dan başlayarak, günümüze kadar, “sonsuz” insanları rahatsız etmiştir Aristo’dan Cantor’a kadar geçen zaman diliminde “sonsuz” anlayışı, temelde Aristo’nun görüşü olan, şu anlayıştır: Sonsuz, ufuk çizgisi gibi, var olmayan ama konuşma kolaylığı sağladığı için kullandığımız bir kavramdır Bu kavramı “sınırsızlık” kavramı yerine kullanırız; bir şey, çoğalarak ya da büyüyerek, önceden belirleyeceğimiz bir çokluğun ya da büyüklüğün ötesine geçme potansiyeline sahipse, o şeye sonsuza gidiyor deriz Başka bir deyimle, Aristo’nun sonsuz anlayışı “potansiyel sonsuz” anlayışıdır Cantor’a göre ise “sonsuz” tek başına manalı bir söz değildir; manalı olan “sonsuz küme” kavramıdır; sonsuz kümeler ise var olan nesnelerdir Burada “sonsuz küme” deyimi, büyükanne gibi, bölünmez bir terim olarak anlaşılmalıdır O halde önce kümeler sonlu-sonsuz diye ikiye ayrılacak; sonra da sonsuz kümeler, kendi aralarında, sonsuzluklarına göre, çeşitli sınıflara ayrılacaktır Böylelikle ortaya sayısız “sonsuz küme” sınıfları çıkacaktır Bu da çok çeşitli “sonsuzluğun “ olduğu manasına gelmektedir Cantor’un bu sonsuz anlayışı, Kronecker ve Poincaré gibi bir çok ünlü matematikçi tarafından tepki ile karşılandı Bunun sonucu olarak ta, matematikçiler, “sonsuzu” Cantor gibi anlayanlar ve Aristo gibi anlayanlar olmak üzere, iki guruba ayrıldılar Küme kavramının, aksiyomatik olarak tanımlanmaksızın, Cantor’un yaptığı gibi, sözlük manasında kullanılması, kümeler teorisini de çıkmaza soktu; “bütün kümelerin kümesi bir küme midir” gibi yeni paradoksları ortaya çıkardı Bu da matematikçileri, kümeler teorisinden vazgeçilip-vazgeçilmemesi konusunda, ikinci bir kez böldü Üçüncü bir sorun da, bir matematiksel ispatın ne olduğu, geçerliliği, meşruluğu sorunuydu Matematikte deney ya da gözlem olmadığı için, tartışma konusu olan bir ispat, teori veya teorem hakkında son sözü deneye, ya da gözleme bırakma olanağı yoktur Bir matematikçi “ öyle bir x vardır ki…” dediği zaman var olduğunu iddia ettiği şeyi somut olarak ortaya koymak, en azından nasıl inşa edilebileceğini göstermek zorunda mıdır; yoksa, bir din adamının dini ilkelere dayanarak şeytanın varlığını ispatladığı gibi, bir matematikçinin de, aradığı şeyin nasıl elde edileceğini göstermeksizin, o şeyin var olduğunu, bir takım ilkelere dayanarak, ispatlaması yeterli midir?