Matematikte Ünlü Sayılar

MATEMATİKTE ÜNLÜ SAYILAR : (π) ile (0)

Unutmayalım ki, insanlığın tarihi matematiğin tarihidir Matematik geliştirilememiş olsaydı, insanlık büyük olasılıkla yerinde sayardı Aklımızı kullanmak, matematiksiz olamıyor Matematik hem aklımızı sıkı düzen altına alıyor, hem bütün bilimlere yol açıyor Matematiğin gelişmesi, insan aklının gelişmesi demek Matematiğin tarihi de aklımızın tarihi


Yazı bulunmazdan önce yazılı belge de bulunamaz elbette Yazılı belge yoksa, yerel matematiğin yer değiştirmesi yayılması da son derece zor olurdu Sayı sayma ile başlayan matematik, bugünkü korkutucu karmaşıklığına ulaşana kadar neler yaşadı? Matematiğin bayrağını kimler, nasıl taşıdı? Bilmek hoş bir şeydir M:Ö: 2000'lerden başlayarak bugün matematik saydığımız yazılı belgelere rastlıyoruz Ancak, MÖ 4000'de yazı bulunmuştur dendiğinde, eğer ilk bulunan yazılı belgenin M:Ö: 4000'den kaldığı anlaşılacaksa, bu kuşkuludur Yazı çok büyük olasılıkla çok daha önce bulunmuştur Aynı biçimde, M:Ö: 2000'lerde Pisagor bağıntısını yazılı olarak görebiliyorsak, sizce matematik ne kadar önce başlamış olmalı acaba?


Ne var ki, matematiğin bu uzun serüveni boyunca iki önemli ya da gizemli sayıya rastlıyoruz Bunlardan biri (0) sıfır sayısı ya da kavramı, ötekisi de (π) Pi adıyla bildiğimiz sayıdır


Sıfır (0) Arapça şafira ya da şifr , Sanskritçe sünya, İngilizce zero(nil-null) Boş, hiç olan; ya da herhangi bir şey olmayan Batı dillerindeki şifre sözcüğünün kökeni Günümüz sayı sisteminin merkezine, hangi serüvenleri izleyerek gelip oturduğu aşağı yukarı biliniyor Matematiğin tarihi, bu sayının, Hint kökenli olduğundan hemen hemen emin Basamak yerine ilk kullanımı, çok eskilere gitmesine karşın, bu günkü anlamdakine en yakın kullanımı, Hint matematikçi Brahmagupta'nın “Brahmasputha Siddhanta” adlı yapıtında anlatılmaktadır MS 628 tarihini taşıyan bu yapıtında Brahmagupta, sıfır ile dört işlemin kurallarını sıralar Toplama, çıkarma ile çarpmada sorunsuz sıyrılan Brahmagupta, bölmede zorlanmaktadır Şöyle diyor: 
"-Herhangi bir pozitif ya da negatif sayının sıfır ile bölünmesi durumunda, sonuç paydasında sıfır bulunan bir kesirdir" 
"-Herhangi bir pozitif ya da negatif sayı tarafından bölünen sıfır, ya sıfırdır ya da payında sıfır, paydasında bir sayı bulunan kesirdir"
"-Sıfır bölü sıfır, sıfırdır"


Daha sonraki yıllarda tanımsız olarak kabul edilen sıfırla bölme işlemi gerçekten hala kafalarımızı karıştırmaya devam ediyor Oysa sıfır'ın bir sayıyla bölünmesinde hiçbir sorun yok Sıfır bölü sıfır ise sıfır değil; o da tanımsız Günümüzde kullandığımız sayı sistemine Hint-Arap sayı sistemi diyoruz Ondalık basamaklı sayı sistemi, Hindistan'dan Arap yarımadasına, oradan da İslam İmparatorluğu'nun genişlemesine koşut olarak Kuzey Afrika ile Endülüs üzerinden Avrupa'ya ulaşmıştır Kendisi Becaiye'de (Cezayir) yetişmiş olan ünlü matematikçi Fibonacci, 1202 de yayınladığı “Liber Abaci” adlı eserinde bu sistemi Avrupa'ya tanıtmıştır


Sıfır'ın, ya da daha hoş yakıştırmayla ŞİFRE'nin hikayesi bu kadar kısa değil elbet 
Herhangi bir sayının sıfırla çarpımı sıfır olduğu için, sıfırın yutan eleman görevi gördüğünü söylemişsiniz Sanki kara delikmiş gibi Oysa duruma şöyle bakalım: 3*2=2+2+2=6 olarak yazılabilir Benzer şekilde m*0=0+0++0(m tane 0'ın toplamı)=0 olur Burada anlaşılma kolaylığı için m'yi sonlu bir pozitif tam sayı olarak kabul edelim Sıfır m'yi yutmuyor; m tane sıfır toplanınca sonuç sıfır çıkıyor Ya da : m*0=m*0+(m-m)=m*0+m*1-m=m(0+1)-m=m*1-m=m-m=0, m burada sonlu herhangi bir sayı Şifrenin şifresi: Yoktan yonga kopmaz

“Pi” sayısına gelince; bunun değişik disiplinlere göre tanımına bakarsak :

Matematikçiye göre : "Pi, bir dairenin çevresinin çapına oranıdır"

Bilgisayar Programcısına göre : "Pi 3,14159265389 dur" 

Fizikçiye göre : "3,14159 artı-eksi 0,000005'tir" 

Mühendise göre : "Yaklaşık 22/7'dir"
Olduğunu görürüz


Pi sayısını nasıl hesaplarız? Denirse :


Pi sayısını hesaplamak için elimizde pek çok seçenek var Örnekse, trigonometri fonksiyonları kullanılarak bu hesabın nasıl yapılabileceği bilinir Şöyle ki, sin-11=/2 ile cos-10=/2 eşitliklerinin sol tarafları için Taylor serisi açılımı kullanılarak, Pi 'nin değerinin istenilen duyarlılıkla hesaplanabilir


Ancak, burada sorulan sorunun, bu hesabın, daire ile çap ilişkisi kullanılarak nasıl yapılabileceğinin, ya da tarihsel olarak nasıl yapıldığının açıklanması olduğunu varsayıyoruz Bir dairede, dairenin alanı ile çap arasında, ya da dairenin çemberi ile çap arasında sabit bir oranın var olduğu, ilk kimler tarafından, ne zaman keşfedildi, bu kesin olarak bilinmiyor Elimizdeki en eski kayıtta, MÖ 1650 civarında Ahmes adlı Eski Mısır'lı bir katibin yazmış olduğu, Rhind Papirüsü adı verilen belgede, şöyle deniliyor: "Çapın 1/9'unu kes ve kalanının üstüne bir kare çiz; bu alan dairenin alanının aynısıdır" Burada, dairenin alanı ile çap arasında sabit bir oranın varlığı belirtilmiş olmakla birlikte, günümüzdeki anlamda bir Pi sayısının varlığının bilincinde olunduğu kuşkulu Bu öneri doğrultusunda elde edilecek olan sonuç, karenin kenarı x=8(2r)/9 olduğuna, alanı x2=64(4r2)/81 olacağına göre, bu alan dairenin alanına eşitlendiğinde, 256r2/81= r2 ya da =256/81=3,16005 olarak karşımıza çıkar Fena bir yaklaştırma değil Öte yandan, söz konusu karenin çevresi, L=4x=64r/9 olur Bunu dairenin çevresine eşitleyecek olursak, L=2r eşitliğinden, 64r/9=2r ya da =32/9=3,55555 elde ederiz Bu yaklaştırma, alanların eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü Eski Mısır'lıların bu hesabı yapıp yapmadıklarını bilmiyoruz, ancak kendimiz bu hesabı yaparsak =256/81 buluyoruz Matematik tarihçileri arasında genel kanı, Eski Mısırlıların, çemberin uzunluğunun çapın uzunluğuna oranını 256/81=3,16049 olarak kabul ettikleri biçimindedir Bu sayı, bugün 54 milyar basamağa kadar hesaplanmış olan Pi sayısının ilk 5 basamağının 3,14159 olduğunu hatırlarsak, Pi sayısının değerinin hesaplanmasındaki hata oranının, daha MÖ 1650'lerde yüzde 1'in altına düşmüş olduğu anlamına geliyor Eski Grek'ler döneminde, Anaksagoras (MÖ 500-428) ile başlayıp Antiphon ile Bryson’la devam eden çalışmalarda, bir çemberin içine çizilen eşit kenarlı çokgenlerin alanıyla sayısının hesaplanması çalışmaları başladı Açalım:



Şekil'de yarıçapı r olan bir dairenin içine bir kare oturtulmuş Bu kareyi, daireye bir yaklaştırma olarak düşünüyoruz ABC üçgeni ikizkenar olduğundan, karenin yarım kenar uzunluğu a=r/2'dir Bu durumda karenin çevresi L=8a=42r, alanı A=(2a)²=(2r)²=2r² olur Karenin çevresini, dairenin çemberine eşitlersek, L=2r eşitliğinden, 42r=2r veya =22 elde ederiz Bu yaklaştırma bize, =2,828427 verir Halbuki, karenin alanını dairenin alanına eşitlediğimizde, A= r² eşitliğinden, 2r²= r², yani =2 elde ederiz Bu yaklaştırma, çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü 

Şimdi yaklaştırmamızı bir adım daha ileri götürmek üzere, bu sefer dairenin içine, bir kare yerine, eşkenarlı bir sekizgen oturtalım Alttaki 2 numaralı şekilde bu durum görülüyor Eşkenarlı sekizgenin kareye göre fazlalık alanları sarı renkle tonlandırılmış AD uzunluğu r'ye eşit ve a=r/2 olduğuna göre; BCD üçgeninin yüksekliğinin b=r-r/2 olması gerekir BC kenarının uzunluğu a=r/2 olduğuna göre, BD kenarının uzunluğunun karesi a²+b² = r²/2+ (r²+ r²/2- 2r²/2)=2r²-2r²=(2-2)r² olur O halde BD'nin uzunluğu |BD|=(2-2)½ r'dir Sekizgenin çevresi bunun 8 katı, yani L=8(2-2)½ r'ye eşittir Bunu dairenin çevresine eşitlersek, L= L=2r eşitliğinden, 8(2-2)½ r = 2r veya =4(2-2)½ elde ederiz Bu yaklaştırma bize, =3,06146 verir Bir önceki yaklaştırmadan daha iyi

Öte yandan, BCD üçgeninin alanı ab/2= (r/2)(r-r/2)/2=r²/22- r²/4 olur Sekizgenin alanını elde etmek için, karenin alanına bu üçgenlerden sekizinin alanını eklemek gerekir: A=(2a)²+8(r²/22- r²/4)= 2r²+22r²- 2r²=22r² Bu alanı dairenin alanına eşitlersek, A= r² eşitliğinden, 22r²= r², yani =22=2,828427 elde ederiz Görüldüğü gibi, bu yaklaştırma, çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü, ama kare ile elde edilen yaklaştırmalardan daha iyi bir sonuç Demek ki, herhangi bir eşkenar çokgenle yaklaştırmada, çevrelerin eşitlenmesi, alanların eşitlenmesinden daha iyi sonuç veriyor gibi Böyle bir genelleme yapmak mümkün Bunun nedeni, çokgenlerin çevresinin dairenin çevresine, çokgenlerin alanlarının dairenin alanına yaklaştığından daha hızlı yaklaşıyor olması Asıl ilginç olanı, sekizgenle yaklaştırmada alanların eşitlenmesiyle elde edilen sonuç, kare ile yaklaştırmada çevrelerin eşitlenmesiyle elde edilen sonucun aynısı Bunun nedenini de siz düşünüp bulun



Bir sonraki yaklaştırma aşamasına, dairenin içindeki eşkenar sekizgen, bir eşkenar onaltıgene genişletilerek geçilebilir
Ancak Eski Greklerin yaptığı buna benzer çalışmalarda söz konusu sabite, sayısı adı verilmiş değildi; yazılarda, çap ile çember uzunluğu arasında çarpan olan "o sabit sayı"dan bahsediliyordu Düzgün çokgenlerle, köşe sayısını her adımda ikiye katlayarak, hızla daireye doğru yaklaşılabileceği ve düzgün çokgenin alanı hesaplanıp çapa bölünerek sayısının giderek daha da yüksek duyarlılıkla hesaplanabileceği yukarıdaki örneklerden de görüleceği üzere, açıktır Ancak unutulmamalı ki, MÖ 4 Yüzyıldan söz ediyoruz : Modern hesap araçlarının yokluğunu bir yana bırakın, büyük hesaplama kolaylığı getirmiş olan 10'lu Hind-Arap sayı sistemi de henüz ortalıkta yok 

 Eklenecek tek şey, sıra kendisine geldiğinde Arşimed'in, alanları hesaplamak yerine çevreyi kullanarak Pi 'yi hesaplama yöntemini seçmiş olmasıdır 



Sözü uzatmamak için şunu söyleyelim: Sizin sorduğunuz 3,14159 hassasiyetine ulaşanlar Çin'li Tsu Ch'ung-chih ile oğlu Tsu Keng-chih'dir Çemberin içine tam 24 526 köşeli bir çokgen çizip hesabı yaparak Pi 'nin değerini 355/113 olduğunu buldular Belli ki, düzgün bir altıgenle başlayıp köşe sayısını art arda 12 kez ikiye katlamış olmalılar Hesaplamadaki yaklaşımın duyarlılık düzeyini görüyorsunuz



Evet örnekse, bir konserve kutusu alarak çevresi ile çapını ölçüp oranlarsak, Pi 'ye yakın bir sayı buluruz Tarihsel yöntem bu idi Ancak günümüzde Pi 'nin değeri çok sayıda farklı yöntem ile hesaplanmakta olup, daha öncede belirttiğimiz gibi 54 milyar basamaktan daha büyük bir duyarlılıkla hesaplanmış durumda
--------------------------------------------------