4 Değişkenli Büyük Karnaugh Eşlemleri

4 Değişkenli Büyük Karnaugh Eşlemleri
Gray kosunun nasıl oluşturulacağını bilmek daha büyük haritalar yapmamızı sağlar Gerçekten yapmamız gereken şey, 3-değişkenli haritanın tepesindeki soldan sağa diziye bakmak ve bunu 4-değişkenli haritanın sol köşesinden aşağıya doğru kopyalamaktır Aşağıya bakınız

Sıradaki dört değişkenli Karnaugh haritaları, Boole ifadelerinin Boole cebri ile sadeleştirilmesinin ne denli yorucu olduğunu gösterir Sadeleştirmeler Boole cebri ile yapılabilir fakat özellikle sadeleştirilmesi gereken fazla sayıda mantık varsa, Karnaugh haritası daha hızlı ve kolaydır

Yukarıdaki Boole ifadesi yedi çarpım terimi içermektedir Yukarıdaki K-haritasına yukarıdan aşağıya ve soldan sağa yerleştirilmişlerdir Örnek olarak ilk çarpım terimi A'B'CD ilk satır üçüncü hücredir, haritada karşılık gelen yerleşimi A=0, B=0, C=1, D=1 olur Dİğer çarpım terimleri aynı şekilde yerleştirilir Mümkün olan en büyük grupları kapsayacak şekilde yukarıda dörtlü iki grup gösterilmiştir Yatayda kesikli çizgi ile belirtilen grup sadeleştirilmiş AB terimine karşılık gelir Dikey grup CD Boole ifadesine karşılık gelir İki grup olduğu için, Out=AB+CD işeminin çarpımlar toplamında iki çarpım terimi olacaktır
Dört hücreyi fiziksel olarak komşu yapmak için haritanın köşelerini bir peçete gibi katlayın

Yukarıdaki dört hücre dörtlü bir gruptur çünkü B' ve D' Boole değişkenleri hepsi için ortaktır Diğer bir deyişle, dört hücre için B=0 ve D=0 dır Hücrelerin dört köşesine kıyasla diğer değişkenler (A, B) bazı durumlarda 0 olur, diğer durumlarda 1 olur Sonuçta (A, B) değişkenleri bu dörtlü grupta yer almaz Bu tek grup Out=B'C' sadeleştirilmiş sonucu için bir çarpım terimi olarak haritadan çıkar
Aşağıdaki K-haritası için üstteki ve alttaki köşeleri bir silindir oluşturacak şekilde katlayın ve sekiz komşu hücre oluşturun


B=0 Boole değişkeni yukarıdaki sekizli grup için ortaktır Bu nedenle, bu sekizli grup bir çarpım terimi olan B' tarafından kapsanır Orijinal sekiz terimli Boole ifadesi Out=B' ne sadeleşir
Aşağıdaki Boole ifadesi dokuz çarpım terimi içerir, bunlardan üç tanesi dört tane Boole yerine üç tane Boole ye sahiptir Aradaki fark şudur, dörtlü Boole değişkenine sahip çarpım terimleri bir hücre kapsarken üç Boole ye sahip çarpım terimlerinin her biri bir çift hücre kapsar

Yukarıda dört Boole değişkenine sahip altı adet çarpım terimi normal olarak tek hücre şeklinde eşleştirilir Üç Boole değişkenine sahip terimler (her biri üç adet) aşağıda gösterildiği gibi hücre çiftleri şeklinde eşleşir Çarpım terimlerini K-haritasına eşleştirdiğimize, bu noktada dışarı çıkartmadığımıza dikkat edin
Sadeleştirme için sekizli iki grup oluşturuyoruz Köşelerdeki hücreler her iki grup tarafından paylaşılır Bu iyidir Aslında, bu sekizli bir grup ve hiç bir hücre paylaşmayan dörtlü bir grup oluşturmaktan daha iyi bir çözümdür Nihai çözüm Out=B'+D' dur
Aşağıda sadeleştirilmemiş Boole ifadesini Karnaugh haritasına eşleştiriyoruz

Yukarıdaki hücrelerin üçü iki hücreli gruplar oluşturur "gerçek hayattaki" problemlerde sıkça rastlandığı gibi dördüncü hücre hiç bir şeyle birleştirilemez Bu durumda, sadeleştirme işleminde ABCD Boole çarpım terimi değişmez Sonuç: Out= B'C'D'+A'B'D+ABCD
Çoğu zaman bir sadeleştirme probleminin birden fazla en düşük maliyet çözümü vardır Böyle bir durum aşağıda gösterilmiştir

Yukarıdaki her iki çözüm her bir üç Boole değişkeni içeren dört çarpım terimine sahiptir Her ikisi de geçerli en az maliyet çözümleridir Nihai çözümdeki farklılık yukarıda gösterildiği gibi hücrelerin nasıl gruplandırıldığından kaynaklanmaktadır Bir en az maliyet çözümü en az sayıda girdisi olan en az sayıdaki geçide sahip geçerli bir mantık tasarımıdır
Aşağıda sadeleştirilmemiş Boole denklemini normal şekilde eşleştiriyoruz ve ilk adım olarak dörtlü bir grup oluşturuyoruz Geri kalan hücrelerin seçimi çok açık olmayabilir

Yukarıda ortada bulunan dörtlü bir grup içinden üç tane daha hücre seçin Geride hala iki hücre kalıyor Bunları seçmenin en düşük maliyetli çözüm metodu yukarıda sağda gösterildiği gibi bunları dörtlü gruplar halindeki komşu hücrelerle gruplandırmaktır
Dikkat edilmesi gereken bir nokta üçlü gruplar oluşturmamaktır Gruplandırma 2 nin üssü şeklinde olmalıdır, yani 1, 2, 4, 8
Aşağıda en az maliyetli çözümün iki olası örneği gösterilmiştir Hücreleri eşleştirdikten sonra dörtlü grupların çiftleştirilmesiyle başlayın

İki çözüm geri kalan tek hücrenin birinci veya ikinci dörtlü gruptan hangisiyle gruplandırılacağına ve iki hücreli bir grup oluşturacağına bağlıdır O hücre sizin seçiminize bağlı olarak ABC' veya ABD olarak alınabilir Her iki yolda bu hücre her iki Boole çarpan terimi tarafından kapsanır Nihai sonuçlar yukarıda gösterilmiştir
Aşağıda solda Karnaugh haritası ile sadeleştirilen sağda ise Boole cebri ile sadeleştirilen bir örnek vardır Harita üzerinde C' nü, C=0 adresinin kapsadığı soldaki 8-hücrenin alanı olarak çiziniz Ardından tek ABCD hücresini çiziniz Bu tek hücre gösterildiği gibi 2-hücreli bir grup oluşturur, bu da ABD çarpım terimine indirgenir Sonuç olarak da Çıkış = C' + ABD elde edilir

Yukarıdaki bu örnek, teoremleri hatırlarsanız Boole cebri ile çok zorlanmadan sadeleştirebileceğimiz nadir bir örnektir