Compton Saçılması

Arthur Compton 1923 yılında yaptığı deneyle ışığın tanecikli yapıya sahip olduğunu ve fotonların momentumlarının varlığını doğrulamıştır Einstein'ın kütle-enerji bağıntısına göre, enerjisi $E$ olan bir foton $m=E/c^2$ kadar kütlesi varmış gibi davranır Compton olayı, şekildeki gibi yüksek enerjili bir X ışını fotonunun, karbon atomunun serbest elektronuna çarparak onu bir doğrultuda fırlatırken kendisinin de herhangi bir doğrultuda saçılması olayıdır Verdikleri şekli Wikimedia'dan bulduğum bir resim üzerinde paint yardımıyla oynarayarak çizmeye çalıştım:

Yani foton geliyor, ve durmakta olan elektrona çarpıyor Çarpışma sonucu elektron bir yere, foton bir yere gidiyor Bu işlem sırasında foton, enerjisinin bir kısmını elektrona veriyor Bize öğretilen; gelen fotonun enerjisinin, momentumunun ve frekansının saçılanınkinden büyük, dalgaboyununsa saçılanınkinden küçük olduğu Biraz araştırma yaparak ne kadar büyük/küçük olduğu konusunda bazı denklemlere ulaştım, zevkli kısmı da burası zaten:
$E_f$ gelen fotonun enerjisi, $E_(f')$ saçılan fotonun enerjisi, $E_e$ elektronun çarpışmadan önceki enerjisi, $E_(e')$ elektronun çarpışmadan sonraki enerjisi, $p_f$ gelen fotonun momentumu, $p_(f')$ saçılan fotonun momentumu, $p_e$ elektronun çarpışmadan önceki momentumu, $p_(e')$ elektronun çarpışmadan sonraki momentumu, $lambda$ gelen fotonun dalgaboyu, $lambda'$ saçılan fotonun dalgaboyu, $f$ gelen fotonun frekansı, $f'$ saçılan fotonun frekansı, $m$ elektronun kütlesi olmak üzere,
Momentumun korunumundan dolayı yazabiliriz ki: $p_f+p_e=p_(f')+p_(e')$
Elektron çarpışmadan önce durgun halde olduğundan momentumu sıfırdır

$p_(e')=p_f-p_(f')$ Her iki tarafın karesini alalım
$p_(e')^2=p_f^2-2p_f*p_(f')+p_(f')^2$ Bunu da biraz daha açık yazalım
$p_(e')*p_(e')=p_f*p_f-2p_f*p_(f')+p_(f')*p_(f')$ İç çarpımdan dolayı,
$p_(e')*p_(e')*cos(0)=p_f*p_f*cos(0)-2p_f*p_(f')*cos( heta)+p_(f')*p_(f')*cos(0)$ Bu denklemde $p_f$ yerine $(hf)/c$ ve $p_(f')$ yerine $(hf')/c$ yazarsak,
$p_(e')^2=(h^2f^2)/c^2+(h^2f'^2)/c^2-(2h^2ff'cos heta)/c^2$ bulunur
Enerjinin korunumundan dolayı yazabiliriz ki: $E_f+E_e=E_(f')+E_(e')$
$hf+mc^2=hf'+sqrt((p_(e')c)^2+(mc^2)^2)$ Bu eşitliğin $p_(e')$ için çözümünden,
$p_(e')^2=((hf+mc^2-hf')^2-m^2c^4)/c^2$ bulunur Şimdi momentumun korunumundan ve enerjinin korunumundan yola çıkarak iki formül elde ettik İkisi de $p_(e')^2$ ifadesine eşit Şimdi bunları birbirine eşitleyelim
$((hf+mc^2-hf')^2-m^2c^4)/c^2=(h^2f^2)/c^2+(h^2f'^2)/c^2-(2h^2ff'cos heta)/c^2$ Bu denklemin düzenlenmesinden basitçe aşağıdaki çıkar
$hff'(1-cos heta)=(f-f')mc^2$ Burada $f$ yerine $c/lambda$ ve $f'$ yerine $c/(lambda')$ yazarsak,
$hc/lambda c/(lambda')(1-cos heta)=(c/lambda-c/(lambda'))mc^2$ elde ederiz Yine basit bir düzenlemeyle ulaşmak istediğimize ulaşıyoruz
$lambda'=h/(mc)(1-cos heta)+lambda$
İşte compton saçılmasından sonra fotonun dalgaboyunu veren denklem