Fraktal - Fraktal Çok Özel Ödev - Fraktal Sorusu - Fraktal Ödev Sorusu

Benoit Mandelbrot, IBM laboratuvarlarında çalışmaya başladığında Oyun kuramı, iktisat, emtia fiyatları gibi çeşitli alanlarda çalışan bir mühendisti Bu çalışmalarını tamamladığında veri iletim hatlarındaki gürültü üzerinde çalışmaya başladı Mühendisler, veri aktarımı sırasında oluşan gürültü karşısında çaresiz kalmışlardı Mühendislerin bu soruna bulabildikleri en iyi çare, sinyal gücünü arttırmaktan ileri gidememişti; ama sinyal gücünün arttırılması da tam bir çözüm sağlamamıştı İletişim sırasında gürültüye bağlı hatalar oluşmaktaydı

İletim hatlarındaki gürültü doğası gereği gelişigüzel olmasına rağmen kümeler halinde gelmekteydi İletişim süresi boyunca hatasız periyotlar arasında hatalı periyotlar yer almaktaydı Hatalı periyotların incelenmesi, hata paterninin sanıldığından daha karmaşık olduğunu ortaya koymuştur Mandelbrot, bir günlük veri trafiğini birer saatlik periyotlara ayırdı Daha sonra, hatanın gözlendiği periyotları ele alıp bu periyotlar yirmişer dakikalık parçalara böldü ve yine gördü ki, bu birer saatlik periyotların içinde de yine hatasız bölümler bulunmaktaydı Mandelbrot, hatalı bölümleri daha kısa zaman aralıklarına bölmeye devam etti ve sonunda hatasız periyotların var olduğunu gösterdi Bu arada aykırı bir durum Mandelbrot'un dikkatini çekti fakat: hatalı periyotların hatasız periyotlara oranı periyodun uzunluğundan bağımsız olarak neredeyse sabit kalıyordu

Fraktal (büyütüldü)

Yukarıdaki tanıma uyan dağılım fonksiyonuna sahip bir dizi, 19 yüzyılda yaşamış olan bir matematikçi olan Georg Cantor'un anısına Cantor dizisi olarak bilinir Cantor dizisini oluşturmak için L uzunluğunda bir doğru parçası alınır Doğru parçasının ortadaki üçte birlik kısmı silinir Artık L/3 uzunluğunda 2 adet doğru parçası vardır Bu doğru parçalarının da ortadaki üçte birlik kısımları çıkarılır ve bu işlem sonsuza kadar tekrarlanırsa elde edilen yapının adı Cantor Tozudur Bu tozun koordinatları bir Cantor dizisi oluşturur Cantor Tozu sonsuz adet noktadan oluşur; ama toplam uzunluğu sıfırdır

Mandelbrot, yukarıdaki gürültü dağılımını kullanarak sinyal gücünün arttırılmasının gürültüye bağlı hatalardan kaçınılamayacağını göstermiştir Yapılması gereken hataları engellemek değil, hataları düzeltecek bir mekanizma geliştirmektir

Mandelbrot'nun kendi kendine sorduğu şu soru, daha sonraki çalışmalarını yönlendiren temel işlev olmuştur: "İngiltere kıyılarının uzunluğu nedir?" "Bu sorunun yanıtı kullanmakta olduğunuz ölçüm aracının uzunluğuna bağlıdır" diyordu Mandelbrot Mesela bir metrelik bir pergelin kıyı boyunca yürütüldüğünü düşünün Bulacağınız uzunluk yaklaşık bir değer olacaktır Zira pergel, uzunluğu bir metreden daha kısa olan girinti ve çıkıntıları atlayacaktır Pergeli yarım metreye indirdiğinizde bulacağınız sonuç bir öncekinden daha büyük, daha doğru, ama halen yaklaşık sonuç olacaktır Bu sefer de pergel yarım metreden daha kısa olan girinti çıkıntıları ölçemeyecektir Pergeli daha da küçülttüğünüzde elde edeceğiniz sonuç daha büyük ama halen hatalı bir değerdir Bu zihinsel deneyi sonsuza kadar götürdüğünüzde ilginç ortaya ilginç sonuçlar çıkar Sahil şeridi Öklid geometrisine uygun olsa idi (örneğin çember), pergel küçüldükçe yapılacak ölçüm gerçekten de çemberin çevresine eşit olacaktı Ama sahil şeridi Mandelbrot'un öngördüğü şekilde ise ölçek atom boyutlarına inene kadar bulunan uzunluk sürekli artmaya devam eder, ancak atom ölçeğinde sonlu bir değere gidebilir Dikkat edilirse, Cantor Tozu'nda olduğu gibi burada da ölçü biriminden (bir anlamda gözlem boyutundan) bağımsız olarak hata halen mevcuttur

Fraktal (bir daha büyütüldü)

Mandelbrot'nun bir sonraki sorusu ise şu olmuştur: "Bir iplik yumağının boyutu nedir?" Uzaktan bakıldığında yumak bir noktadan ibarettir, yani boyutu sıfırdır Daha yakından yapılan gözlemlerde yumak yüzeyinde düzensizlikler bulunan bir küre gibidir Boyut sayısı üçe çıkmıştır Daha yakından bakıldığında yumağı oluşturan tek boyutlu iplik ayrık olarak gözlemlenebilir Tek boyutlu ipliğe büyüteçle bakıldığında iplik üç boyutlu sütunlar gibi görülür Mikroskop altında sütunlar tek boyutlu liflere, lifler ise sonunda boyutsuz noktalara dönüşmektedir O halde, yumağın gerçek boyutu nedir?

Mandelbrot, bir birim cinsinden ölçülemez olan cisimlerin bir pütürlülük derecesine sahip olduğunu ve bu pütürlülük derecesini ölçmenin bir yolunu bulmuştur Mandelbrot'ya göre göre ölçek değiştiğinde düzensizlik derecesi sabit kalmaktaydı 1975 yılında Mandelbrot pütürlülük derecesinin ismini de koymuş oldu: Fraktal boyut Pütürlülük özelliği gösteren cisimler de fraktallar adını aldı

Fraktal terimi taşıdığı felsefik anlam sayesinde ve fraktalların psychedelic biçimlere sahip olması gibi özelliklerinden dolayı diğer sanatları da etkilemiş ve özellikle müzik alanında sesin görsel yansıması, fraktal şekillerin sese dönüşümü gibi alt başlıklar altında kendine yer bulmuştur [1] Bu özelliklerinin yanısıra "düzendeki kaos - kaostaki düzen" sloganı ile tanımlanan fraktal kavramı özellikle rock müzik dalında kendisinden etkilenen gruplara adını vermiştir Arjantinli progressive rock grubu "Fraktal" bu grupların en tanınanıdır [2] Ülkemizde de adında Arjantinli meslektaşlarıyla aynı adı taşıyan pyschedelic ve progressive rock grubu "Fraktal" faaliyetlerini sürdürmektedir