|
|
Konu Araçları |
anlatımıkompleks, çözümlü, karmaşık, konu, sayılar, örnek |
Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı-Kompleks Sayılar Karmaşık Sayılar Çözümlü Örnek Konu |
12-19-2012 | #1 |
Prof. Dr. Sinsi
|
Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı-Kompleks Sayılar Karmaşık Sayılar Çözümlü Örnek KonuKARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILAR ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur Çünkü,( x² + 1 = 0 x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız A TANIM: a ve b birer reel sayı ve i = -1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir C = { z : z = a + bi ; a, b R ve -1 = i } dir ( i = -1 i² = -1 dir) z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir Örnek: Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = 3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür Z2 = 2 - 3i Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3, Z3 = 3 + i Re(Z3) = 3 ve İm(Z3) = 1, Z4 = 7 Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0, Z5 = 10i Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur Örnek: x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım Çözüm: Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 415 = -16 = 16i² X1,2 = -b ± Δ = -(-2) ± 16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir 2a 21 2 Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir B İ ‘NİN KUVVETLERİ iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır Buna göre , n N olmak üzere,Kaynakwh: KarmaŞik (kompleks) Sayilar i4n = 1 i4n + 1 = i i4n + 2 = -1 i4n + 3 = -i dir Örnek: ( i14 + i15 + 1 )( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım Çözüm: i14 = (i4)3i2 = 13(-1) = -1 i15 = (i4)3i3 = 13(-i) = -i i99 = (i4)24 i 3 = 124(-i) = -i i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için, (i24 + i15 + 1)(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1)(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir C İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir Z1 = a + bi } olsun Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dirKaynakwh: KarmaŞik (kompleks) Sayilar Z2 = c + di } Örnek: Z1 = a + 3 + 2bi + 3i Z 2 = 8 + (a + b)i Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım Çözüm: Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan, a + 3 = 8 a = 5 2b + 3 = a + b 2b + 3 = 5 + b b = 2 dir Örnek: Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i Z2 = 0 Z1 = Z2 olduğuna göre, ab değerini bulalım Çözüm: Z1 = Z2 olduğundan, a – 2 = 0 a =2, a + b + 3 = 0 2 + b + 3 = 0 b = -5 tir O halde, ab = 2(-5) = -10 dur D BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ _ Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir Örnek: _ 1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i, _ 2) Z2 = 2 - 3i sayısının eşleniği Z2 = 2 + 3i, _ 3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i, _ 4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12, _ 5) Z5 = 3 - 2 sayısının eşleniği Z5 = 3 - 2 dir Örnek: Z = a + bi olmak üzere, _ 3 Z – 1 = 2(4 – i) olduğuna göre, a + b toplamını bulalım Çözüm: _ 3 Z – 1 = 2(4 – i) 3 (a – bi) – 1 = 8 – 2i 3a – 1 – 3bi = 8 – 2i olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir 3a – 1 = 8 3a = 9 a = 3 ve -3b = -2 b = 2/3 tür O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3 Not: __ 1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z ) 2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni _ karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır E KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 1) Toplama - Çıkarma Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ) Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di ) Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di ) Örnek: Z1 = 2 – 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre, Z1 + Z2 = ( 2 – 10i) + ( 8 + 3i ) = ( 2 + 8 ) + ( -10 + 3 )i = 10 – 7i Z1 – Z2 = ( 2 – 10i ) – ( 8 + 3i) = ( 2 – 8 ) + ( -10 – 3 )i = -6 – 13i 2) Çarpma: Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun Z1 Z2 = ( a + bi )( c + di) = ac + adi + bic + bdi2 , ( i2 = -1 ) = ac – bd + ( ad + bc )i Z1 Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc )i _ _ Z1 Z1 = ( a + bi)( a – bi ) Z1 Z1 = a2 + b2 dir Örnek: Z1 = 2 – i ve Z2 = 3 + 2i olsun a) Z1 Z2 _ b) Z1 Z1 c) (Z2)2 işlemlerini yapalım Çözüm: a) Z1 Z2 =( 2 – i ) ( 3 + 2i) = 6 + 4i – 3i – 2i2 = 6 – 2( -1 ) + ( 4 – 3)i = 8 + i dir b) Z1 Z1 = ( 2 – i )( 2 + i ) = 22 – i2 = 4 – ( -1) = 5 tir c) ( Z2 )2 = ( 3 + 2i )2 = 32 + 232i + (2i)2 = 9 + 12i – 4 = 5 + 12i dir Örnek: ( -1 – i )2 = ( 1 + i )2 = 12 + 21i + i2 = 2i, ( 1 – i )2 = ( -1 + i )2 = ( -1 )2 + 2( -1 )i + i2 = -2i, ( 1 + i )10 =( ( 1 + i )2 )5 = ( 2i )5 = 25i = 32i, ( 1 – i )20 = ( ( 1 – i )2 )10 = ( -2i )10 = 210i2 = -210 3) Bölme: Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılması ile sonuçlandırılır Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun Z1 a + bi ( a + bi )( c – di ) ( ac + bd ) + ( bc – ad )i = = = Z2 c + di ( c + di )( c – di ) c2 + d2 Örnek: Z1 = 4 – 3i ve Z2 = 1 – 2i olsun Z1 4 – 3i ( 4 – 3i )( 1 + 2i ) 4 + 8i – 3i – 6i2 10 + 5i = = = = = 2 + i dir Z2 1 – 2i ( 1 – 2i )( 1 + 2i ) 12 + 22 5 Not: 1) Z = a + bi sayısının, toplama işlemine göre tersi, -Z = -a – bi, çarpma işlemine göre tersi, 1 1 a – bi = = dir Z a + bi a2 + b2 _ _ 2) Z1 Z2 Z1 Z2 = Z3 z3 Örnek: 3 – 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersinin imajiner ( sanal ) kısmını bulalım Çözüm: 3 – 4i sayısının çarpma işlemine göre tersi, 1 3 + 4i 3 + 4i 3 4 4 ¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾ + ¾ i olduğuna için imajiner kısmı ¾ tir 3 – 4i 32 + 42 25 25 25 25 Örnek: 1 + 2i 1 – 2i ¾¾¾ + ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım 1 – i 1 + i Çözüm: 1 + 2i 1 – 2i ( 1 + 2i )( 1 +i ) ( 1 – 2i )( 1 – i ) ¾¾¾ + ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾¾¾¾ 1 – i 1 + i 12 + 12 12 + 12 ( 1 + i ) ( 1 – i ) 1 + i + 2i + 2i2 1-i –2i + 2i2 1 + 3i – 2 + 1 – 3i - 2 = ¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ 2 2 2 ( 1 – 2 + 1 – 2 ) + ( 3 – 3 )i -2 + 0i = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = -1 dir 2 2 Örnek: 1 – i 40 ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım 1 + i Çözüm: 1 – i ( 1 – i )2 -2i 1 - i 40 ¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾ = -i olduğundan, ¾¾¾ = ( -i )40 = 1 dir 1 + i 12 + 12 2 1 + i F KARMAŞIK DÜZLEM VE BİR KARMAŞIK SAYININ GÖRÜNTÜSÜ 1) İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir 2) Z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktasıdır 3) Z = a + bi karmaşık sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür Örnek: Z = 1 + 2i karmaşık sayısını, 1) Karmaşık düzlemde 2) Vektör uzayında gösterelim Çözüm: 1) imajiner eksen 2) Z = 1 + 2i 2 Z = 1 + 2i 2 M(1,2) 0 ree eksen 0 1 1 G BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ ( MODÜLÜ ) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen y noktanın, başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının b z = a + bi z mutlak değeri ( modülü ) denir ve Z şeklinde gösterilir x a Z = a + bi Z= a2 + b2 dir Örnek: Z = 5 + 12i karmaşık sayısının mutlak değerini bulmak bularak karmaşık düzlemde gösterelim Çözüm: 12 Z = 5 + 12i Z = 5 + 12i Z Z = 52 + 122 = 13 tür 0 5 Örnek: Z = ( a + 2 ) + 3i Z = 5 olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? Çözüm: ____________ Z= 5 ( a + 2 )2 + 32 = 5 ( a + 2 )2 + 32 = 52 ( a + 2 )2 = 16 olduğundan, a + 2 = 4 veya a + 2 = -4 tür a + 2 = 4 a = 2 veya a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + (-6) = -4 tür a + 2 = -4 a = -6 dır H MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER _ _ _ 1) Z= -Z= Z=-Z=iZ=-iZ= 2) Z1Z2= Z1Z2 3) Z1 Z1 ¾¾ = ¾¾ , ( Z2 ≠ 0) Z2 Z2 4) Zn = Zn _ 5) Z Z = Z2 6) Z1 - Z2 < Z1 ± Z2 < Z1 + Z2 Örnek: 3 – 3i Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, Z = ? 1 + i Çözüm: 3 – 3i sayısının mutlak değeri, 32 + 32 = 32 dir 1 + i sayısının mutlak değeri, 12 + 12 = 2 dir O halde, 3 – 3i 32 Z = ¾¾¾ = ¾¾ = 3 tür 1 + i 2 Örnek: i2 = -1 olmak üzere, Z1 = 2 + ni Z2 = 1 + 2i _______ Z1 + Z2 = 5 olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin çarpımı ? Çözüm: Z1 + Z2 = (2 + ni) + (1 + 2i) = 3 + (n + 2)i , ______ Z1 + Z2 = 3 – (n + 2)i dir Z1 + Z2 = 5 32 + (n + 2)2 = 5 32 + (n + 2)2 = 52 (n + 2)2 = 42 olduğundan, n + 2 = 4 n = 2 veya n + 2 = -4 n = -6 dır n nin alacağı değerlerin çarpımı, 2(-6) = -12 dir Örnek: i2 = -1 olmak üzere , 1 - xi Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, Z10=? 1 + xi Çözüm: Z10 = Z10 dur 1 – xi sayısının eşleniği 1 + xi olduğundan 1 - xi = 1 + xi dir Buna göre, 1 - xi Z = ¾¾¾ = 1 ve Z10 =110 = 1 dir 1 + xi 1) Z1 = x1 + y1i ve Z2 = x2 + y2i sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa eşittir Yani, Z1 – Z2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 dir 2) Z – Z0 = r şartını sağlayan Z karmaşık sayılarının kümesi, Z0 sabit noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir Bu küme, merkezi Z0 ve yarıçapı r olan çemberdir Örnek: A = Z : Z – 4 – 3i = 2, Z € C kümesini karmaşık düzlemde gösterelim Çözüm: Z = x + yi olsun, y Z – 4 – 3i = 2 2 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4 3 x + yi – 4 – 3i= 2 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 2 0 x 4 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 22 bulunur Yani, Z karmaşık sayıları merkezi (4,3) noktası ve yarı çapı 2 olan çemberi oluşturan noktaların kümesidir SORULAR 1) i = -1 olmak üzere -2 -8 + 1 ¾¾¾¾¾¾¾ işleminin sonucunu bulun (-3)2 Çözüm: -2 -8 + 1 -1 2 -18 + 1 i 2i22 + 1 4i2 + 1 -4 + 1 ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = -1 dir (-3)2 -3 3 3 3 2) i = -1 olmak üzere, i37 – 2i-5 + i3 soncunu bulun Çözüm: i37 = (i4)9i1 = 19i = i , i-5 = i-5+8 = i3 = -i, i3 = -i olduğundan i37- 2i-5+i3 = i – 2(-i) – i = 2i 3) i2 = -1 olmak üzere, 2x2 – 2x + 2 f(x) = ¾¾¾¾¾¾ olduğuna göre f(i) = ? x3 + 1 Çözüm: 2x2 – 2x + 2 f(x) = ¾¾¾¾¾¾ , x3 + 1 2i2 – 2i + 2 -2 – 2i + 2 -2i ( 1 + i ) -2i ( 1 + i ) f(i) = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = 1 – i dir i3 + 1 1 – i ( 1 - i ) ( 1 + i ) 2 4) i2 = -1 olmak üzere, 1 1 ¾¾ + ¾¾ işleminin sonucunu bulun 2 – i 2 + i Çözüm: 1 1 2 + i + 2 - i 4 ¾¾ + ¾¾ =¾¾¾¾¾ = ¾ tir 2 – i 2 + i 22 + 12 5 ( 2 + i ) (2 – i) 5) x < 0 olmak üzere, Z = -x2 + 2x –1 + -x+ 2x karmaşık sayısının reel kısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır? Çözüm: Z = -x2 + 2x –1 + -x+ 2x Z = -1(x –1)2 - x + 2x, (x < 0) Z = -1 x - 1 + x Z = x + (1 – x)i bulunur Re(Z) = x ve İm(Z) = 1 – x tir Re(Z) + İm(Z) = x + 1 – x = 1 6) i = -1 olmak üzere, Z1 = a + i Z2 = 2 – i ______ Z1 – Z2 = 2 olduğuna göre a = ? Çözüm: Z1 – Z2 = (a + i) – (2 – i) = (a – 2) + 2i ______ Z1 – Z2 = (a – 2) – 2i ______ Z1 – Z2= 2 (a – 2)2 + (-2)2 = 2 (a – 2)2 + (-2)2 = 22 (a – 2) 2 = 0 a = 2 7) i = -1 i + 1 ¾¾¾ = 1 – i olduğuna göre Z2003 nedir? Z Çözüm: i + 1 1 + i 2i ¾¾¾ = 1 – i Z = ¾¾ Z = ¾ Z = i Z 1 - i 2 (1 + i) Z2003 = i2003 = i3 = - i 8) Z = x + yi olmak üzere, _ (i – 1)Z +iZ = 2 – 3i olduğuna göre, Z = ? Çözüm: _ (i – 1)Z +iZ = 2 – 3i (i – 1)(x - yi) + (x + yi) = 2 – 3i xi + y – x + yi + xi – y = 2 –3i -x + (2x + y)i = 2 – 3i -x = 2 x = -2 ve 2x + y = -3 -4 + y = -3 y = 1 Z = -2 + i ve Z = 5 9) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere, _ 2Z Z + Z ¾¾¾¾ = ¾¾¾ olduğuna göre Re(Z) – İm(Z) = ? Z - Z i Çözüm: _ Z = x + yi Z = x – yi _ _ Z + Z = 2x ve Z – Z = 2yi Z2 = ( x2 + y2 )2 = x2 + y2 ve Re(Z) – İm(z) = x – y _ 2Z Z + Z 2Z 2x ¾¾¾¾ = ¾¾¾ ¾¾¾¾ = ¾¾ (x + y)2 = 0 x – y = 0 Z - Z i Z - Z i 10) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere, Z – 3i < Z + 3 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) y < -x B) y < x C) y > x D) y > -x E) 2y > -x Çözüm: Z – 3i < Z + 3 x + yi – 3i < x + yi + 3 x + (y – 3)i < (x + 3) + yi x2 + (y – 3)2 < (x + 3)2 + y2 x2 + (y – 3)2 < (x + 3)2 + y2 x2 + y2 – 6y + 9 < x2 + 6x + 9 + y2 -6y < 6x y > -x |
|