|
|
Konu Araçları |
anlatımıdoğal, çözümlü, dersi, doğal, konu, matematik, sayılar, örnekler |
Doğal Sayılar Matematik Dersi Konu Anlatımı-Doğal Sayılar Çözümlü Örnekler Konu |
12-19-2012 | #1 |
Prof. Dr. Sinsi
|
Doğal Sayılar Matematik Dersi Konu Anlatımı-Doğal Sayılar Çözümlü Örnekler KonuDOĞAL SAYILAR 0, 1, 2, 3, , 50, devam eden sayılara doğal sayılar denir Doğal sayılar kümesi D ile gösterilir D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, } İkinin katı olan sayılara çift doğal sayılar, çift doğal sayılardan bir sonra gelen sayılara da tek doğal sayılar denir n bir doğal sayı iken; Çift doğal sayılar : 2 Tek doğal sayılar : 2 + 1 biçiminde gösterilir Sayma Sayıları Sıfır dışındaki doğal sayılara sayma sayıları denir S = {1, 2, 3, 4, 5, } SAYI DOĞRUSU Doğal sayılar kümesinin elemanları sırası bozulmadan, bir doğrunun eşit aralıklardaki bazı noktaları ile bire-bir eşlenirse bu doğruya sayı doğrusu denir[SIZE=4] ONLUK SAYMA DÜZENİ Sayı sistemimiz onluk sayma düzenine göredir Bu düzende çokluklar birlik, onluk, yüzlük, binlik gibi gruplara ayrılır Bir doğal sayıda bu grupların yerleri bellidir Örneğin, 2543 sayısı içinde 3 birlik, 4 onluk, 5 yüzlük, 2 binlik vardır RAKAM Ona kadar olan doğal sayıları gösteren işaretlere rakam denir Rakamlar kümesi : R = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olarak tanımlanır Onluk sistemde on tane rakam kullanılır BASAMAK DEĞERİ Rakamların sayı içinde bulundukları basamağa göre aldıkları değerlere basamak değeri ya da bağıl değer denir Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir SAYI DEĞERİ Rakamların sayı içindeki basamak değerleri gözönüne alınmadan tek başına gösterdiği değere sayı değeri ya da mutlak değeri denir ÇÖZÜMLEME Bir sayının içinde kaç tane birlik, kaç tane onluk, kaç tane yüzlük, kaç tane binlik, varsa bunları ayırarak toplam biçiminde yazmaya çözümleme denir 2345 = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 GRUPLAMA Sayıları basamak değerlerinin toplamı biçimde yazmaya gruplama denir 2345 = 2000 + 300 + 40 + 5 veya = 2 binlik + 3 yüzlük + 4 onluk + 5 birlik SAYILARIN ÜSLÜ BİÇİMDE GÖSTERİLMESİ ÜSLÜ SAYILARIN OKUNUŞU 4 4 üssü 2 (4'ün karesi, 4'ün ikinci kuvveti) 5 5 üssü 3 (5'in kübü, 5'in üçüncü kuvveti) 3 3 üssü 4 (3'ün dördüncü kuvveti) ÜSSÜN ANLAMI Üs tabanın kendisi ile kaç kez çarpılacağını gösterir 10 = 10 x 10 = 100 5 = 5 x 5 x 5 = 125 4 = 4 x 4 x 4 x 4 = 256 3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ Bir sayıda üs yazılmamışsa üs 1 dir 3=3, 7=7, 10=10, 15=15 Üssü 0 olan sayı 1'e eşittir 80=1, 9=1, 160=1, 0=1Kaynakwh: Doğal Sayılar Üssü 1 olan sayı kendisine eşittir 7=7, 1000=1000, 64=64, 1=1 1 sayısının bütün kuvvetleri 1'e eşittir 1=1, 1=1, 1=1 Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken; ortak taban yazılır, üsler toplanıp bir tek üs olarak yazılır ÜSLÜ BİÇİMDE ÇÖZÜMLEME Bir sayı üslü biçimde çözümlenirken basamak değeri 10'un üssü şeklinde yazılır 5679 = (5 x 1000) + (6 x 100) + (7 x 10) + (9 x 1) =(5 x 10) + (6 x 10) + (7 x 10) + (9 x 1) DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA Sayı doğrusu üzerindeki her doğal sayı sağındaki sayıdan küçük solundaki sayıdan büyüktür Doğal sayılar sıralanırken aralarına küçük ( < ) veya büyük ( > ) işareti konur Küçük < Büyük Büyük > Küçük < işaretinin sivri ucuyla gösterdiği sayı diğer taraftaki sayıdan küçüktür DÖRT İŞLEM DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA AB = olmak üzere, (AB) kümesinin eleman sayısına toplama denir A={1,2} ve B={3, 4, 5} ise s(A) + s(B) = s(AB) = 2 + 4 = 6 Toplama işleminde toplanan sayıların herbirine terim denir İşlemin sonucuna da toplam denir Toplama işlemi, ileriye doğru saymanın kısa yoldan yapılışıdır Aynı türden ve birimleri aynı olan çokluklar toplanabilir TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ KAPALILIK ÖZELLİĞİ İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır Buna kapalılık özelliği denir 3D, 4D için 3 + 4 = 7D dir 9D, 13D için 9 + 13 = 22D dir aD, bD için (a + b)D dir DEĞİŞME ÖZELLİĞİ Toplama işleminde terimlerin yerleri değiştirilirse toplam değişmez Buna toplamada değişme özelliği denir 3 + 5 = 8 = 5 + 3 aD, bD ise; a + b=b + a dir BİRLEŞME ÖZELLİĞİ Toplama işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırırsa toplam değişmez Bu özelliğe toplama işleminin birleşme özelliği denir 3 + (4 + 6) = (3 + 4) + 6 3 + 10 = 7 + 6 13 = 13 aD, bD, cD ise (a + b) + c = a + (b + c) dir Çok terimli toplama işlemlerinde terimler kendi aralarında gruplandırılarak işlem kolaylığı sağlanır ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN Sıfır ile bir doğal sayının toplamı o doğal sayıya eşittir 5 + 0 = 5 0 + 6 = 6 Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı 0'dır Kaynakwh: Doğal Sayılar DOĞAL SAYILARDA ÇIKARMA A = {a,b,c,d,e} B = {d,e} s(A) = 5 ve s(B) = 2 dir s(A) - s(B) = s(C) 5 - 2 = 3 olarak gösterilir Burada 5 : eksilen; 2 : çıkan 3 : fark olarak adlandırılır B A ise A - B kümesinin eleman sayısına A ve B kümelerinin eleman sayılarının farkı denir Bu farkı bulmak için yapılan işleme çıkarma işlemi adı verilir Çıkarma geriye doğru saymanın kısa yapılışıdır Sağlaması; a-b=c ise a=b + c olacak şekilde yapılır Çıkarma işlemi toplamanın tersidir ÇIKARMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ Kapalılık özelliği yoktur 5D ve 6D için; 5-6 doğal sayı değildir Değişme özelliği yoktur 6D ve 2D için; 6-2=4D; 2-6 doğal sayı değildir Birleşme özelliği yoktur 7-(5-2) (7-5)-2 7-3 2-2 4 0 Doğal sayılar kümesinde çıkarma işlemine göre etkisiz (birim) eleman yoktur 3-0=3 olmakla beraber 0-3 3'tür DOĞAL SAYILARDA ÇARPMA Elemanlarının sayısı bilinen A ve B kümeleri için s(A)=a, s(B)=b ve s(A ) x s( B)=m ise, m doğal sayısına a ile b'nin çarpımı denir m=a x b biçiminde gösterilir Çarpma işareti ( x ) ya da( )' dır ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ KAPALILIK ÖZELLİĞİ İki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır Bu özelliğe doğal sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır denir DEĞİŞME ÖZELLİĞİ Bir çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmez Bu duruma çarpmanın değişme özelliği denir 4 x 5 = 20 5 x 4 = 20 4 x 5 = 5 x 4'tür aD, bD için; a x b = b x a 'dır BİRLEŞME ÖZELLİĞİ Çarpma işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırılarak çarpılırsa çarpım değişmez Bu özelliğe çarpma işleminin birleşme özelliği denir 4D, 5D, 2D için 4 x (5 x 2) = (4 x 5) x 2 4 x 10=20 x 2; 40=40'tır ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN Bir sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir 1 sayısı çarpma işlemini etkilemez 1 sayısına çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanı denir 1 x 5=5 5 x 1=5 5 x 1=1 x 5=5'dir aD için a x 1=1 x a=a 'dır YUTAN ELEMAN Bir sayının sıfır ile çarpımı sıfıra eşittir Bu nedenle 0 sayısına çarpma işleminde yutan eleman denir 4 x 0=0 0 x 4=0 4 x 0=0 x 4=0 'dır aD için 0 x a=a x 0=0 'dır ÇARPMANIN TOPLAMA VE ÇIKARMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ aD, bD, cD için a x (b + c)=(a x b) + (a x c) ve aD, bD, cD için a x (b-c)=(a x b) - (a x c) 'dir Bu özelliğe, çarpmanın toplama ya da çıkarma üzerine dağılma özelliği denir ÇARPMADA KOLAYLIKLAR Bir sayıyı 10, 100, 1000, ile çarpmak için, sayının sağına bir, iki, üç, sıfır yazılır 14 x 10 = 140 16 x 100 = 1600 22 x 1000 = 22000 7 x 10000 = 70000 Bir sayıyı 25 ile çarpmak için, sayı 100 ile çarpılır Çarpım 4'e bölünür 25 x 36=(36 x 100)/4=900 Bir sayı 50 ile çarpılırken, sayı 100'le çarpılır, çarpım 2'ye bölünür 78 x 50=(78 x 100)/2=7800/2=3200 Bir sayı 5'le çarpılırken, sayı 10'la çarpılır sonra 2'ye bölünür 89 x 5=(89 x 10)/2=890/2=445 Bir sayı 9'la çarpılırken, sayı 10'la çarpılır, çarpımdan sayının kendisi çıkarılır 56 x 9=(56 x 10)-56, 560-56=504 DOĞAL SAYILARDA BÖLME aD, bD ve b0 olmak üzere, a x b=c olarak şekilde bir c doğal sayısı varsa, c sayısına a'nın b'ye bölümü denir a/b=c veya a:b=c olarak gösterilir BÖLMENİN SAĞLAMASI Sağlama işlemi, Bölünen = (bölen x bölüm) + kalan eşitliğiyle yapılır Çarpma ve bölme işlemleri birbirinin tersidir BÖLME İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ Bölme işleminin doğal sayılarda kapalılık özelliği yoktur 4D, 3D için 4/3=doğal sayı değildir Bölme işleminin doğal sayılarda değişme özelliği yoktur 5D, 15D için, 15/5 5/15 Doğal sayılarda bölme işleminin birleşme özelliği yoktur (24/4)/2 24/(4/2) 6/2 24/2 3 12 Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin etkisiz elemanı yoktur 2/1 1/2 2 0,5 Bir doğal sayının 1'e bölümü kendisine eşittir aD için a/1=a dır 1/1=1, 39/1=39, 3/1=3, 101/1=101 Sıfırın (0) bir sayma sayısına bölümü sıfırdır 0/a=0 'dır 0/4=0, 0/100=0, 0/15=0 0 hariç, bir doğal sayının kendisine bölümü 1'e eşittir aD için a/a=1 'dir 6/6=1, 109/109=1, 10/10=1, 88/88=1 Bir doğal sayı sıfıra bölünemez 5/0=tanımsız, 12/0=tanımsız Bir sayıyı 10, 100, 1000 ile bölmek; 10'a bölerken bir sıfır silinir 400/10 = 40 100'e bölerken iki sıfır silinir 200/100 = 2 1000'e bölerken üç sıfır silinir 3000/1000 = 3 |
|