Açık Gönderim Teoremi

**Prof. Dr. Sinsi** · 12-19-2012

Karmaşık analizde açık gönderim teoremi, U, karmaşık düzlem C 'nin bağlantılı açık bir altkümesiyse ve f : U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyonsa, o zaman f 'nin açık gönderim olduğunu ifade eder (yani U 'nun açık altkümelerini C 'nin açık altkümelerine gönderir)

Açık gönderim teoremi, holomorfi ve gerçel türevlenebilirlik arasındaki keskin farkı ortaya koyar

Mesela, gerçel sayılar üzerinde, f(x) = x2 türevlenebilir fonksiyonu açık bir gönderim değildir çünkü (-1,1) açık aralığının görüntüsü [0,1) yarıaçık aralığıdır

Teorem, örneğin, sabit olmayan bir holomorf fonksiyonun açık bir diski bir doğrunun parçasına örten bir şekilde gönderemeyeceğini gösterir

Kanıt

f:U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyon olsun ve U karmaşık düzlemin bağlantılı bir açık altkümesi olsun

f(U)'daki her noktanın f(U)'nun bir iç noktası olduğunu göstermeliyiz; yani f(U) içindeki her noktanın f(U) içinde yer alan bir diskin içinde olduğunu göstermeliyiz

U içinde rastgele bir z0 noktasını alalım

U açık olduğu için, bir d > 0 bulabiliriz öyle ki z0 etrafında, d yarıçaplı B kapalı diski tamamen U içinde yer alır

U bağlantılı olduğu ve f, U üzerinde sabit olmadığı için, f 'nin B üzerinde sabit olmadığını biliyoruz

Görüntü noktası w0 = f(z0) 'ı ele alalım

f(z0) − w0 = 0 olur ve z0, g(z) = f(z) − w0 fonksiyonunun kökü olur

g(z) 'nin sabit olmadığını biliyoruz ve d yi daha da azaltarak g(z) 'nin B içinde tek bir kökü olmasını sağlayabiliriz

(Sabit olmayan holomorf fonksiyonların kökleri izoledir

) e, B 'nin sınırındaki z değerleri için |g(z)| 'nin minimum değeri olsun (pozitif sayı)

(B 'nin sınırı çemberdir ve bu yüzden tıkız kümedir

|(g(z)| sürekli fonksiyondur

Böylece, ekstremum değer teoremi bu minimumun varlığını kanıtlar

) w0 etrafındaki e yarıçaplı diski D ile gösterelim

Rouché teoremi, w0 'a uzaklığı e 'den az olan her w için g(z) = f(z) − w0 ve f(z) − w 'nin B içinde aynı sayıda köke sahip olacağını ifade eder

Bu yüzden, D içindeki her w için, B 'de f(z1) = w olacak şekilde sadece bir tane z1 vardır

Bu da, D diskinin f(U) 'nun altkümesi olan f(B) 'de yer aldığı anlamına gelir

Mavi noktalar g(z) 'nin sıfırlarını göstermektedir Sivri siyah şekiller kutupları temsil etmektedir U açık kümesinin sınırı kesik çigilerle gösterilmektedir Burada bütün kutuplar açık kümenin dışındadır Daha küçük olan kırmızı çember kanıtta kurulan B kümesidir

12-19-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Açık Gönderim Teoremi Karmaşık analizde açık gönderim teoremi, U, karmaşık düzlem C 'nin bağlantılı açık bir altkümesiyse ve f : U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyonsa, o zaman f 'nin açık gönderim olduğunu ifade eder (yani U 'nun açık altkümelerini C 'nin açık altkümelerine gönderir) Açık gönderim teoremi, holomorfi ve gerçel türevlenebilirlik arasındaki keskin farkı ortaya koyar Mesela, gerçel sayılar üzerinde, f(x) = x2 türevlenebilir fonksiyonu açık bir gönderim değildir çünkü (-1,1) açık aralığının görüntüsü [0,1) yarıaçık aralığıdır Teorem, örneğin, sabit olmayan bir holomorf fonksiyonun açık bir diski bir doğrunun parçasına örten bir şekilde gönderemeyeceğini gösterir Kanıt f:U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyon olsun ve U karmaşık düzlemin bağlantılı bir açık altkümesi olsun f(U)'daki her noktanın f(U)'nun bir iç noktası olduğunu göstermeliyiz; yani f(U) içindeki her noktanın f(U) içinde yer alan bir diskin içinde olduğunu göstermeliyiz U içinde rastgele bir z0 noktasını alalım U açık olduğu için, bir d > 0 bulabiliriz öyle ki z0 etrafında, d yarıçaplı B kapalı diski tamamen U içinde yer alır U bağlantılı olduğu ve f, U üzerinde sabit olmadığı için, f 'nin B üzerinde sabit olmadığını biliyoruz Görüntü noktası w0 = f(z0) 'ı ele alalım f(z0) − w0 = 0 olur ve z0, g(z) = f(z) − w0 fonksiyonunun kökü olur g(z) 'nin sabit olmadığını biliyoruz ve d yi daha da azaltarak g(z) 'nin B içinde tek bir kökü olmasını sağlayabiliriz (Sabit olmayan holomorf fonksiyonların kökleri izoledir) e, B 'nin sınırındaki z değerleri için \|g(z)\| 'nin minimum değeri olsun (pozitif sayı) (B 'nin sınırı çemberdir ve bu yüzden tıkız kümedir \|(g(z)\| sürekli fonksiyondur Böylece, ekstremum değer teoremi bu minimumun varlığını kanıtlar) w0 etrafındaki e yarıçaplı diski D ile gösterelim Rouché teoremi, w0 'a uzaklığı e 'den az olan her w için g(z) = f(z) − w0 ve f(z) − w 'nin B içinde aynı sayıda köke sahip olacağını ifade eder Bu yüzden, D içindeki her w için, B 'de f(z1) = w olacak şekilde sadece bir tane z1 vardır Bu da, D diskinin f(U) 'nun altkümesi olan f(B) 'de yer aldığı anlamına gelir Mavi noktalar g(z) 'nin sıfırlarını göstermektedir Sivri siyah şekiller kutupları temsil etmektedir U açık kümesinin sınırı kesik çigilerle gösterilmektedir Burada bütün kutuplar açık kümenin dışındadır Daha küçük olan kırmızı çember kanıtta kurulan B kümesidir