3. Dereceden Denklemler (Üçüncü Dereceden Denklemler) Nedir?

A Tanım
ax³+bx²+cx+d=0

biçimindeki denklemler, 3 dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir
Genelde, çözümünde bu denklemlerin kullanıldığı soruları hazırlayanlar, bu denklemlerin kolay çözülebilmesi için köklerinden birini 1,-1 , 2, -2 gibi kolay bulunabilecek bir sayı olarak ayarlarlar Eğer böyle bir sayı bulunamıyorsa, mevcut bilgilerle bu denklemin çözümü olanaksızdır Bulunan kök a olsun Denklem x-a'ya polinom bölmesi ile bölünür ve bölümde oluşan ikinci derece denklemin kökleri de bulunarak, çözüm kümesi tamamlanır

B Üçüncü dereceden denklemin kökleri ile kat sayıları arasındaki bağıntılar
ax³+bx²+cx+d=0

şeklindeki denklemin kökleri
x1, x2 ve x3

olsun Buna göre,
1) Kökler toplamı: x1+x2+x3= −b/a
2) Kökler çarpımı: x1x2x3= −d/a
3) Köklerin ikişer ikişer çarpımı: x1x2+x1x3+x2x3= c/a

ikinkesir11gif
ikinkesir12gif
ikinkesir13gif

C Kökleri verilen üçüncü dereceden denklemlerin yazılması
Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem
(x ? x1) (x ? x2) (x ? x3) = 0'dır

Bu denklem düzenlenirse,
x3 ? (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x ? x1x2x3 = 0

olur

? ax³+bx²+cx+d denkleminin kökleri x1, x2, x3 olsun

1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,
x1 + x3 = 2x2'dir

2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,
ikinkesir14gif

3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,
x1 = x2 = x3'tür

? n, 1'den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,
anxn + an ? 1xn ? 1 + + a1x + a0 = 0

denkleminin;

Kökleri toplamı= ikinkesir15gif

Kökleri çarpımı= ikinkesir16gif