Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar

Eğer Word Halinde İndirmek İstiyorsanız Ekte Dosyası mevcuttur

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:

a0, a1, a2, an-1, an  R ve n  N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n?inci dereceden bir polinom denir

1 an xn, an-1 xn-1, , ak xk, , ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir
2 an, an-1, , ak, , ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir
3 P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir
4 Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir
5 P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,
P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır
6 Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma ?Reel Katsayılı Polinom? denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R
ile gösterilir

Örnek:
P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n  N kaç olmalıdır?

Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3?ün bölenleri olmalıdır
3?ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2  0 den n  2 olması gerekir O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2x4 + x + 4 dür

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) = x3y2 ? 2x4 y3 + xy + x ? y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir
Bu polinomların derecesi x ve y?nin dereceler toplamının en büyüğüdür
der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir
Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y?nin dereceler toplamıdır
Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir

Örnek
P(x, y) = 2x2y4 ? 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:
2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir O halde, der P(x, y) = 8 dir

Örnek
P(x) = x3 ? 3x2 + 4x ? 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:
P(2) = 23 ? 322 + 42 ? 2
= 8 ? 12 + 8 ? 2 = 2 bulunur
P(0) = 03 ? 302 + 40 ? 2 = - 2 bulunur
P(1) = 13 ? 312 + 41 ? 2
= 1 ? 3 + 4 ? 2 = 0 bulunur

SIFIR POLİNOMU

P(X) = anxn + an-1xn-1 + + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,
an = an-1 = = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir

Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n ? 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim

Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0, n ? 5 = 0, t = 0 ;
m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır

SABİT POLİNOM

P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = = a1 = 0 ve a0  0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir

0xn + 0xn-1 + + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir
x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır

Örnek P(x) = (a ? 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim

Çözüm
P(x) = A ? 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ? 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir

n dereceden,
A(x) = anxn + an-1xn-1 + + a2x2 + a1x + a0 ve
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + + b2x2 + b1x + b0 polinomları için;
A(x) = B(x)  an = bn, an-1 = bn-1, , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır

Örnek
A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d,
B(x) = (b - 1)x3 ? 3x2 ? (2c ? 3) x + polinomları veriliyor A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım

Çözüm
A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d = 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) = (b ? 1)x3 - 3x2 ? (2c ? 3)x + olduğundan;
A(x) = B(x)  5 = b ? 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c ? 3), d =
b = 6, a = -4, c = , d = dir

POLİNOM FONKSİYONLARI
P : R  R
x  P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir

P : R  R
x  P(x) = 5x3 + 2x2 ? 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur

Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz

Çözüm
P(x-1)?i bulmak için P(x)?de x yerine x-1?i yazalım
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 ? 2x + 1 + 2x ? 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur

II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1?i yazalım
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur

Örnek
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 ? 2x2 + 4 eşitliği veriliyor Buna göre P(x) polinomunu bulunuz

Çözüm
P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde
H = x + 2  h ?2 = x?i yerine yazalım
P(h ? 2 + 2) = (h ? 2)3 ? 2(h ? 2)2 + 4
P(h) = (h ? 2)3 ? 2(h ? 2)2 + 4
P(x) = (x ? 2)3 ? 2(x ? 2)2 + 4 bulunur

POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa
P(1) = an + an-1 + + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur

Örnek
P(x) = 2x4 + 5x3 ? 3x2 + x ? 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz

Çözüm
P(x) de x = 1 ?i yerine yazalım
P(1) = 214 + 513 ? 312 + 1-1
= 2 + 5 ? 3 + 1 ? 1 = 4 bulunur

POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir
A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

Örnek
P(x) = x3 + 2x2 ? 3x + 1, Q(x) = 3x2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz

Çözüm
P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + = x3 + 5x2 + (3-3) x + 5 dir

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır

1 Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır
2 Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır
3 Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır
4 Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır
5 Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır

İki Polinomun Farkı

P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) ? Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir
P(x) ? Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir

Örnek
A(x) = 5x4 + x3 ? 3x2 + x + 2 ve

B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 + polinomları için, A(x) ? B(x) farkını bulalım

Çözüm
B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 + ise, -B(x) = 5x4 - x3 ? 2x2 - dir
A(x) ? B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5x4 + x3 ? 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 ?2x2 - )
= (5 + 5)x4 + ( - )x3 + (-3 ?2)x2 + x + (2 - )
= 10x4 ? x3 ? 5x2 + x - olur
Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur
Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) ? B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır

Polinomlarda Çarpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ?in her terimi B(x)?in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur
anxn ile bkxk teriminin çarpımı
anxn bkxk = (an bk) xn+k dir
Yani (5x3) (-2x4) = 5 (-2) x3+4 = -10x7
Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz
Der [A(x) B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

Örnek
A(x) = 3x4 + 1, B(x) = x2 + x
C(x) = x2 ? x + 1 polinomları veriliyor
a) A(x) B(x)
b) B(x) C(x) çarpımlarını bulunuz

Çözüm
a) A(x) B(x) = (3x4 + 1) (x2 + x)
= 3x4 x2 + 3x4 x + x2 + x
= 3x6 + 3x5 + x2 + x

b) B(x) C(x) = (x2 + x) (x2 ? x + 1)
= x2 x2 ? x2 x + x2 1 + x x2 ? x x + x 1
= x4 ? x3 + x2 + x3 ? x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur