Delta Metodu

Delta Metodu istatistikte, bir asimtotik normal istatistiki tahmin edicinin fonksiyonu için bu tahmin edicinin sınırlayıcı varyans bilgisi kullanılarak yaklaşık bir olasılık dağılımı türetme metodudur Delta metodu merkezi limit teoreminin genelleştirilmiş hali olarak ele alınabilir

Tek Değişkenli Delta Metodu

Xn dağılımda

koşulunu sağlayan rassal değişkenler dizisi olsun ( Burada θ ve σ2 sonlu değere sahip sabitleri vedağılımda yakınsamayı temsil etmektedir)

Veri bir g fonksiyonu ve belli bir θ değeri için g'(θ)'nın var olduğunu ve sıfıra eşit olmadığını varsayalım O halde dağılımda,olur

Tek Değişkenli Durumda Kanıt

g'(θ) süreklidir varsayımı altında kanıtı gerçekleştirmek oldukça kolaydır Öncelikle ortalama değer kuramı kullanılarak başlanır;

Burada , Xn ve θ arasında bir değer almaktadır ,yı ima ettiğinden ve g'(θ) sürekli olduğundan Slutsky Teoremi'nin uygulanması sonucunda

elde edilir ki burada olasılıkta yakınsamayı ifade etmektedir

İfadeleri düzenler ve ile çarparsak

ifadesini elde ederiz

Varsayım gereği,

olduğundan Slutsky Teoreminden

elde edilir ve kanıt tamamlanır

Çok Değişkenli Delta Metodu

Tanım gereği, istatistikte tutarlı tahmin edici B gerçek değeri olan β'ya yakınsar ve genelde asimtotik normalite elde etmek için merkezi limit teoremi uygulanabilir

burada n gözlem sayısını ve Σ (simetrik pozitif yarı belirli) kovaryans matrisini ifade etmektedir B tahmin edicisinin h fonksiyonuna ait varyansını tahmin etmek istediğimizi varsayalım Taylor serisinin ilk iki terimini ele alır ve gradyan için vektör notasyonu kullanırsak, h(B)'yi

olarak tahmin edebiliriz ki bu h(B)'nin varyansının yaklaşık olarak,



olduğunu ima eder

(Çok değişkenli reel değerli fonksiyonlar için) Ortalama limit teoremi kullanılarak bunun birinci derece yakınlaştırmaya dayanmadığı görülebilir

Dolayısıyla Delta metodu,

veya tek değişken ifadesiyle,

olduğunu ima eder