Liouville Teoremi (Karmaşık Analiz)

Karmaşık analizde, Joseph Liouville'in ismine atfedilen Liouville teoremi, sınırlı her tam fonksiyonun sabit olmak zorunda olduğunu ifade eder Yani, C 'deki her z için |f(z)| ≤ M olan pozitif bir M varsa ve f holomorfsa, f sabittir

Teorem, büyük ölçüde, en az iki karmaşık sayıyı almayan her tam fonksiyonun sabit olacağını söyleyen Picard'ın küçük teoremi ile iyileştirilmiştir

Teorem, "holomorf fonksiyonlar analitiktir" gerçeğinden elde edilir f, tam olduğu için, 0 etrafında Taylor serisi ile temsil edilebilir; yani

Buradaki ak terimi ise (Cauchy integral formülü yardımıyla)

olarak yazılır (Cr, 0 merkezli, r yarıçaplı bir çemberdir) Doğrudan

tahmini yapılabilir (İkinci eşitsizlikte varsayımdaki her z için |f(z)| ≤ M eşitsizliği kullanılmıştır) Yol integralinde kullanılan r sayısının seçimi ise keyfidir Bu yüzden, r sonsuza götürülürse, her k ≥ 1 için ak = 0 elde edilir Böylelikle, f(z) = a0 olur ve teorem kanıtlanmış olur

Sonuçlar

Cebirin temel teoremi

Cebirin temel teoreminin Liouville teoremine dayanan kısa bir kanıtı vardır

Hiçbir tam fonksiyon bir diğer tam fonksiyona baskınlık kuramaz

Teoremin bir sonucu da "gerçekte farklı" fonksiyonların birbirine baskınlık kuramayacağıdır, yani f ve g tamsa ve her yerde |f| ≤ |g| ise , o zaman bir α sayısı için f = αg olur Bunu göstermek içinse

fonksiyonunu ele alalım h 'nin tam bir fonksiyona uzatılabilmesi yetecektir ve böylece Liouville teoremi sonucu verecektir h 'nin holomorf olması g-1(0) haricindeki noktalarda açıktır Şimdi g(a) = 0 ise f(a) = 0 ifadesi de vardır Analitiklik sayesinde, h sürekli, ve bu yüzden de holomorf olarak a üzerine uzatılabilir Bu yüzden, h, g-1(0) üzerinde tam bir fonksiyona uzatılabilir

Sabit olmayan eliptik fonksiyonlar C 'de tanımlanamaz

Teorem aynı zamanda sabit olmayan eliptik bir f fonksiyonunun tanım kümesinin C 'de olamayacağını göstermekte de kullanılabilir Olduğunu varsayalım O zaman, a ve b, f 'nin a/b gerçel olmayacak şekilde iki periyodu ise, köşeleri 0, a, b ve a + b olan P paralelkenarını ele alalım O zaman, f 'nin görüntüsü f(P) 'ye eşit olacaktır f sürekli olduğu ve P tıkız olduğu için, f(P) de tıkız olacaktır ve bu yüzden sınırlı olacaktır Böylece, f sabit olacaktır

"Sabit olmayan eliptik fonksiyonlar C 'de tanımlanamaz" gerçeği aslında Liouville'in 1847'de eliptik fonksiyonlar kuramını kullanarak kanıtladığı ifadedir Aslında Liouville teoremini kanıtlayan Cauchy'dir

Tam fonksiyonların genelde yoğun görüntüleri vardır

f sabit olmayan tam bir fonksiyonsa, o zaman görüntüsü C içinde yoğundur Bu ifade Liouville teoreminden daha güçlü bir sonuç olarak güzükse de aslında teoremin kolay bir sonucudur f 'nin görüntüsü yoğun olmasaydı, o zaman bir w karmaşık sayısı ve r > 0 gerçel sayısı olurdu öyle ki w merkezli, r yarıçaplı açık disk, f 'nin görüntüsünden bir eleman içermezdi g(z) = 1/(f(z) - w) fonksiyonunu tanımlayalım

olduğu için, g sınırlı, tam bir fonksiyon olurdu Böylece, g sabit olurdu Ancak, bu saçma olur Bu yüzden, f 'nin görüntüsü yoğundur

Notlar

{∞} ∪ C , C 'nin bir nokta tıkızlaştırılması olsun C 'deki bölgelerde tanımlı holomorf fonksiyonlar yerine, {∞} ∪ C içindeki bölgeler düşünülebilir Bu şekilde görüldüğünde, C ⊂ {∞} ∪ C 'de tanımlı tam fonksiyonlar için olası tek tekillik ∞ noktasıdır f, ∞'un bir komşuluğunda sınırlı ise, o zaman ∞, f 'nin kaldırılabilir tekilliğidir; yani f, ∞'da birden patlayamaz veya hatalı davranamaz Kuvvet serileri açılımı bağlamında, Liouville teoreminin tutması pek de sürpriz değildir

Benzer bir şekilde, tam bir fonksiyonun ∞'da kutup noktaları varsa, yani ∞'un açık bir aralığında zn gibi patlıyorsa, o zaman f polinomdur Liouville teoreminin bu uzatılmış versiyonu daha kesin bir dille ifade edilebilir: Yeteri kadar büyük z ler için |f(z)| ≤ M|zn| ise, o zaman f, derecesi en fazla n olan bir polinomdur Bu, şu şekilde kanıtlanabilir Yine, f 'nin Taylor serisini ele alalım:

Teoremin kanıtında kullanılan tartışma

eşitsizliğini verir Böylece, k > n ise

olur Bu yüzden, ak = 0 elde edilir