Üslü Doğal Sayılar

Üslü Doğal Sayılar

İŞLEYİŞ :
81 sayısının 3 x 3 x 3 x 3 biçiminde yazıldığını biliyoruz
3 x 3 x 3 x 3 sayısını okumak,yazmak ve işlem yapmak için Üs kavramını öğrenmemiz gerekir

4 tane olduğu için 34 şeklinde yazılır Üç üssü dört veya Üçün dördüncü kuvveti şeklinde okunur 34

Üs olarak yazılan sayı tabanın kaç kere kendisiyle çarpılacağını gösterir

43 = 4 x 4 x 4 26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 55 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Not: a Î N ise
a2 = a x a biçimde yazılırsa “ a nın karesi “ şeklinde okunur
a3 = a x a x a biçimde yazılırsa “ a nın küpü “ şeklinde okunur
43 = 4 x 4 x 4 = 64 55 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 125
Bir Doğal Sayının üssü 1 ise; 01 = 0 ; 11 = 1 ;21 = 2

Bir doğal sayının 1 kuvveti kendisidir
a Î N ise a1 = a
Bir Doğal Sayının üssü 0 ise; 10 = 1 ; 20 = 1 ; 30 = 1
Bir doğal sayının 0 kuvveti birdir
a Î N ise a0 = 1

Tabanı 1 ise; 10 = 1 ; 11 = 1 ; 12 = 1 ; 13 = 1
1 doğal sayısının bütün kuvvetleri 1’dir
a Î N ise 1a = 1
Örnek: 10 ‘un bazı kuvvetlerini yazıp hesaplayalım

101 = 10 10x10 =102 = 100 10x10x10 = 103 = 1 000 10x10x10x10 = 104 = 10 000

10x10x10x10x10 = 105 = 100 000 10x10x10x10x10x10 = 106 = 1 000 000

10x10x10x10x10x10x10 = 107 = 10 000 000 10x10x10x10x10x10x10x10 = 108 = 100 000 000

10x10x10x10x10x10x10x10x10 = 109 = 1 000 000 000

Üslü Doğal Sayılarda Sıralama:
*Tabanları eşit olan üslü sayılardan üssü büyük olan daha büyüktür
32 ; 33 sayılarından hangisi daha büyüktür?
32 = 3x3 = 9
33 = 3x3x3 =27 ise 9 < 27
32 < 33

Örnek:
62, 65,60,63,61 sayılarını hesaplamadan büyükten küçüğe doğru diziniz?
Çözüm: Tabanlar eşit olduğunda üssü büyük olan doğal sayı daha büyüktür Buna göre;
65 > 63 > 62 > 61 > 60 olur
*Tabanları farklı üssleri aynı ve sıfırdan farklı üslü doğal sayılardan, tabanı büyük olan sayı daha büyüktür
24 , 34 sayılarından hangisi daha büyüktür?
24 = 2x2x2x2 = 16
34 = 3x3x3x3 = 81 ise 34 > 24

Örnek:
25, 65,35,15,55 sayılarını hesaplamadan büyükten küçüğe doğru diziniz?
Çözüm: 65 > 55 > 35 > 25 >15

Örnek: 24 ve 42 sayılarını karşılaştırınız?
Çözüm: 24 = 2x2x2x2 = 16
42 = 4x4 = 16
24 ve 42 sayıları eşit olmasına rağmen üslü sayılarda taban ile üs yer değiştirdiğinde sayının değeri değişir
35 ve 53 sayılarını ele alalım;
35 = 3x3x3x3x3 = 243

53 = 5x5x5 = 125 Görüldüğü gibi farklıdır 35 ¹ 53

Onluk Düzende Verilen Bir Sayıyı Çözümleme:
Bir sayıyı çözümlerken rakamın bulunduğu basamağın değeri dikkate alınır
1 1 1 1 sayısındaki rakamların basamak değerlerini bulalım

1 tane Birlik 1 x 1 = 1
1 tane Onluk 1 x 10 = 10
1 tane Yüzlük 1 x 100 = 100

1 tane Binlik 1 x 1000 = 1000

1 1 1 1 = (1 x 1000) + (1 x 100) + (1 x 10) + (1 x 1)

Örnek: 5897 sayısını çözümleyip üslü biçimde yazınız?
Çözüm: 5897 = (5 x 1000) + (8 x 100) + (9 x 10) + (7 x 1)
= (5 x 103 ) + (8 x 102) + (9 x 101) + (7 x 100)

Örnek: (5 x 103 ) + (8 x 102) + (9 x 101) + (7 x 100) şeklinde çözümlenmiş üslü sayıyı bulalım?
Çözüm: (5 x 103 ) + (8 x 102) + (9 x 101) + (7 x 100) = (5 x 1000) + (8 x 100) + (9 x 10) + (7 x 1)
= 5000 + 800 + 90 + 7 = 5897
Çözümlemede bulunmayan basamak yerine “0” yazılmalıdır

Örnek: (3 x 105 ) + (1 x 103) + (7 x 102) + (7 x 101) şeklinde çözümlenmiş üslü sayıyı bulalım?
Çözüm: (3 x 105 ) + (1 x 103) + (7 x 102) + (7 x 101) = 300 000 + 1 000 + 700 + 70 = 301 770
veya (3 x 105 ) + (0 x 104) + (1 x 103) + (7 x 102) + (7 x 101) + (0 x 100)
3 0 1 7 7 0

Örnek: (7 x 107 ) + (4 x 106) + (2 x 104) + (5 x 102) + (3 x 101) + (3 x 100) şeklinde çözümlenmiş üslü sayıyı bulalım?
Çözüm: (7 x 107 ) + (4 x 106) + (0 x 105) + (2 x 104) + (0 x 103) + (5 x 102) + (3 x 101) + (3 x 100)
7 4 0 2 0 5 3 3

******************

Üstel sayılar, bir doğal sayının kendisi ile çarpımlarının kısa şekilde gösterilmesidir a bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı olmak üzere, ifadesine üslü ifade denir k an ifadesinde k ya kat sayı, a ya taban n ye üs denir

1 den büyük üslü doğal sayılarda sıralama yapılırken, Tabanlar eşitse; üssü küçük olan daha küçüktür Üsler eşitse; tabanı küçük olan daha küçüktür

3 x 3 x 3 x 3 x 3 ifadesini kısaca;
35 şeklinde yazabiliriz
3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 tir
35 sayısı üç üssü beş veya üçün beşinci kuvveti diye okunur Bu sayıda taban 3, üs ise 5 tir

Üslü ifadelerin özellikleri

1 a ≠ 0 ise, a0 = 1 dir
2 00 tanımsızdır
3 n İ R ise, 1n = 1 dir
4 (am)n = (an)m = am n
5 Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir
6 Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir
7 n bir tam sayı ve a bir gerçel (reel) sayı olmak üzere,
a (– a)2n = a2n ifadesi daima pozitiftir
b (– a2n) = – a2n ifadesi daima negatiftir
c (– a)2n + 1 = – a2n + 1 ifadesi a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir