Matematik Paradoksları

Doğru Parçası Paradoksu:

Önce doğru parçasının tarifini yapalım:

Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan oluşan doğru Pekiyi nokta nedir?

Nokta: Kalemin kağıda bıraktığı en küçük iz veya belirtiMalûmdur ki noktanın boyutu yoktur O halde dikkat Paradoks başlıyor:

Noktanın boyutu olmadığına göre iki noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez 100 nokta veya 1 milyar nokta da yan yana geldiğinde herhangi bir şekil oluşturmaz( Çünkü şekil oluşturması için gerekli olan boyut özelliğini sağlamıyor) Bu şuna benzer ki; sıfır ile sıfırın toplamı yine sıfırdır Milyarlarca sıfırı toplasak 'yarım' dahi etmez O halde doğrunun tanımında bir hata var Çünkü sonsuz adet noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez! Noktanın çok çok az da olsa boyutu olduğunu kabul etmemiz gerekir Bu sefer de noktanın tarifi hatalı olur

Noktayı boyutlu kabul edelim Karşımıza bir paradoks daha çıkar; doğru parçasında sonsuz adet nokta olduğuna göre doğru parçasının da uzunluğu sonsuz olmalıdır Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir şeyden sonsuz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur

2+2=5 ¿?

X = Y ol sun

X² = XYeş i tli ğin her iki tarafını 'X' ile çarptık

X² - Y² = XY - Y²her iki taraftan 'Y²' çıkardık

(X + Y)(X - Y) = Y( X-Y )sol tarafı çarpanlara ayırdık, sağ tarafı 'Y' parantezine aldık

( X + Y ) = Y( X - Y )'ler sadeleşti

X + X = XX = Y olduğundan,

2X = X'X' leri topladık

2 = 1 'X ' ler sadeleşti

3 + 2 = 1 + 3her iki tarafa '3' ilâve ettik

5 = 4 buradan,

5 = 2 + 2'4'ü, '2+2' şeklinde yazdık HATA NEREDE?

Cantor Paradoksu:

George Cantor'a göre bir kümenin alt kümelerinin eleman sayısı, asıl kümeden daha fazladır Ancak bu kaide, "Bütün kümelerin kümesi" için de geçerli midir?

"Bütün kümelerin kümesi", X olsun Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanıdır X'in "Alt kümeleri kümesi" de X'in alt kümesidir Yani:

2ª Ì X (2 üzeri a, alt küme X) dir Buradan şunu yazabiliriz:

card(2ª) card(a)1

Çünkü alt kümelerin kardinali asıl kümelerden küçüktür veya eşittir Ancak Cantor Teoremine göre:

card(2ª) > card(a)2

olmalıdır 1 ve 2 çelişmektedir

Karışım Paradoksu:
Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz İyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz Şimdi sorumuz geliyor:
Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladır?
Cevap şaşırtıcı gelebilir ama karışım oranları eşittir İşte ispatı:
Kabul edelim ki karışımımız homojen olmasın Meselâ kahveye kattığımız süt, tamamen dibe çöksün Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten aldığımıza eşit olacaktır Veya:
İlk karışımdan sonra kaşığımızın yarısı süt, yarısı da kahve olsun Bu sefer yine sütte yarım kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacaktır Veya:
İlk karışım homojen olsun Aldığımız bir kaşık karışımın % 90 ını kahve, % 10 unu süt kabul edelim Sütün % 90 ı kahvede kalmıştır Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracağından karışım oranları eşit olur

Bütün Sayılar Eşittir Paradoksu:

a ve b birbirinden farklı herhangi iki tamsayı ve c de bunların farkı olsun:
a-b=c

(a-b)(a-b)=c(a-b)her iki tarafı (a-b) ile çarptık

a²-2ab+b²=ac-bcparantezleri açtık
a²-2ab+b²-ac=-bcac yi sol tarafa attık
a²-2ab-ac=-bc-b²b² yi sağ tarafa attık
a²-ab-ac=ab-bc-b²2ab nin birini sağ tarafa geçirdik
a(a-b-c)=b(a-b-c)a ve b parantezine aldık

a=b (a-b-c) ler sadeleşti (2+2=5 Paradoksunun benzeri)

Karışık Bir Hesap:

İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardır Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; diğeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir İlki 30 kalemden 100 TL, diğeri de 150 TL kazanır ( Toplam 250 TL) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çıkarlar Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki:

-"Gel seninle ortak olalım 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalım Kazandığımız parayı da paylaşırız Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar Yani:

5 Kalem20 TL ise

60 Kalemx TL'dir Buradan;

x=(6020)/5= 240 TL

Çocuklar, ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı Beraber sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler?

1 kg = 1 ton ¿?

1 kg = 1000 gr(1)

2 kg = 2000 gr(2)

(1) ve (2) çarpılırsa:

2 kg = 2000000 gr

2 kg = 2000 kg(2000000 gr = 2000 kg)

2 kg = 2 ton(2000 kg = 2 ton) Dolayısı ile,

1 kg = 1 ton

Hempel Paradoksu:

Carl Hempel'e göre "Bütün kuzgunlar siyahtır!"

Bu önermeyi iki şekilde ispatlayabiliriz:

a) Çok sayıda kuzgun görüp, hepsinin de siyah olduğunu tesbit ederek,

b) Siyah olmayan şeylerin, aynı zamanda kuzgun da olmadığını görerek

Bilinen şu ki çok sayıda siyah kuzgun ve yine çok sayıda siyah olmayan, aynı zamanda kuzgun da olmayan cisim vardır Siyah olmayan tüm cisimler incelenmeden bu fikre varamayız Kırmızı cisimler için bu uygulama yapılmamışsa "bazı kuzgunlar kırmızı " da olabilir Bu sebeplerden Hempel paradoksu, "Tümevarım" ın itibarını sarsmıştır

Arnauld Paradoksu:

Herkes bilir ki;

(Büyük Sayı / Küçük Sayı) ¹ (Küçük Sayı / Büyük Sayı) dır

(5 / 2)
¹ (2 / 5) gibi
Ancak negatif sayılar bu kuralı bozar:

(3 / -3) = (-3 / 3)

Ayrıca;
(Büyük Sayı / Küçük Sayı) > 1 dir

(4 / 3) > 1 gibi
Yine negatif sayılar için kural ihlâl edilir:

(3 / -1) < 1

Bu durum, matematikçi Arnauld'a mantıksız geldiği için negatif sayıların olmadığına hükmetti

Galileo Paradoksu:

Sonsuzlukla ilgili bir paradoks:

Euplides (Kum Yığını) Paradoksu:

Euplides, hiçbir zaman bir "kum yığını" oluşturulamayacağını iddia etmiştir Çünkü bir kum tanesi, "yığın" değildir Yanına bir tane daha koyarsak yine yığın oluşmaz "Kum yığını" olmayan bir şeyin yanına (veya üzerine) kum tanesi koymakla yığın elde edemeyeceğimize göre Hiçbir zaman "kum yığını" oluşturamayız
Daha açık bir deyişle: Kabul edelim ki birer birer kum tanelerini biraraya getirelim Hangi merhaleden sonra kumlar "yığın" oluşturur? Diyelim ki 'bir milyon' adet kum tanesi, bir yığın oluştursun Dokuzyüz doksandokuzbin dokuzyüz doksandokuzu "kum yığını" kabul edilmeyecek mi? Edersek "1" eksiği de yığın olmaz mı? Yani hangi aşama bizim için "yığın" anlamına gelir?

-1=1 ¿?

Berber Paradoksu:

Klasik paradokslardan biri daha:
Russel Paradoksu:
1970 yılında 98 yaşında ölen Bertrand RUSSEL'ın çok bilinen paradoksu:
"Bir odada papa ve ben varım Odada kaç kişiyiz?" Cevap:
"Bir kişiyiz Çünkü ben, aynı zamanda papayım"
Russel'ın "Kümeler" Paradoksu:
Russel'a göre iki çeşit küme var:
a) Kendisinin elemanı olan(ihtiva eden) kümeler
b) Kendisinin elemanı olmayan kümeler
Şimdi, "Kendisinin elemanı olmayan kümeler"in kümesine 'X' diyelim X, kendisinin elemanı mıdır?

Kaynak : ÜYELİK >>>