Taylor Serisi

Taylor Serisi

Taylor serisi matematikte, bir fonksiyonun, o fonksiyonun terimlerinin tek bir noktadaki türev değerlerinden hesaplanan sonsuz toplamı şeklinde yazılması şeklindeki gösterimi/açılımıdır Adını İngiliz matematikçi Brook Taylor'dan almıştır Eğer seri sıfır merkezli ise (a = 0), Taylor serisi daha basit bir biçime girer ve bu özel seriye İskoç matematikçi Colin Maclaurin'e istinaden Maclaurin serisi denir Bir serinin terimlerinden sonlu bir sayı kadarını kullanmak, bu seriyi bir fonksiyona yakınsamak için genel bir yöntemdir Taylor serisi, Taylor polinomunun limiti olarak da görülebilir



Taylor çokterimlisinin derecesi arttıkça, doğru fonksiyona gittikçe yaklaşır Bu çizim, sinx (sinüs fonksiyonunu, siyah ile) ve çeşitli derecelerden Taylor açılımlarını (1, 3, 5, 7, 9, 11 ve 13) gösteriyor



Üstel fonksiyon (maviyle gösterilen) ve bu fonksiyonun a=0 değerindeki Taylor serisinin ilk n+1 teriminin toplamı (kırmızıyla gösterilen)

Her dereceden türevli, gerçel ya da karmaşık bir f(x) fonksiyonunun a gerçel ya da karmaşık bir sayı olmak üzere (a − r,a + r) aralığındaki Taylor serisi şu şekilde tanımlanmıştır:

Daha düzenli bir gösterim olan Sigma gösterimiyle ise şu şekilde yazılır:

Burada n!, n faktöriyeli; ƒ (n)(a) ise f fonksiyonunun n dereceden türevinin a noktasındaki değerini belirtmektedir f fonksiyonunun sıfırıncı dereceden türevi f' in kendisiyle tanımlanmıştır ve (x − a)0 ve 0!, 1'e eşit olarak kabul edilmiştir

Maclaurin serisi

a=0 özel durumunda seri, Maclaurin serisi olarak adlandırılır:

Örnekler

Herhangi bir çokterimlinin Maclaurin serisi, kendisidir

x-1 için Maclaurin serisi,

geometrik serisidir

x-1 fonksiyonunun a=1 değerindeki Taylor serisi de,

dir

Yukarıdaki Maclaurin serisinin integralini alarak −ln(1 − x) fonksiyonunun Maclaurin serisini buluruz: (burada ln doğal logaritmayı ifade eder)

Ve bu seriye ilişkin ln(x) fonksiyonunun a=1 değerindeki Taylor serisi ise,

dir

a = 0 noktasında ex üstel fonksiyonu için Taylor serisi,

dir

ex'in x'e göre türevi yine ex 'e ve e0 de 1'e eşit olduğundan yukarıdaki açılım sadeleşir Bu sadeleşme sonucunda da sonsuz toplamdaki her terimin payında (x − 0)n terimi, paydasındaysa n! terimi kalır

Yakınsaklık



Pembeyle çizilmiş, orijin merkezli sinüs fonksiyonunun yedinci dereceden Taylor çokterimlisininin bir periyodunun çizimi, maviyle çizilmiş sinüs fonksiyonuna gittikçe yaklaşır



log(1+x) için Taylor çokterimlisi sadece −1 < x ≤ 1 aralığında hassas ve doğru bir şekilde yaklaşır x > 1 için daha yüksek dereceden Taylor çokterimlilerinin daha kötü yaklaşıklıklar vereceğini unutmayınız

Her fonksiyonun Taylor serisi yakınsak olmak zorunda değildir Yakınsak Taylor serili fonksiyonlar kümesi, bir düz fonksiyonların Frechet uzayında bir eksik kümedir Bu fonksiyonların dışında, genelde sözü geçen çoğu fonksiyonun Taylor serisi yakınsamaz

Bir f fonksiyonunun yakınsak Taylor serisinin limiti genelde f(x)'in fonksiyon değerine eşit olmak zorunda olmamasına rağmen pratikte eşittir Örneğin;

fonksiyonu x=0'da sonsuz türevlidir ve bu noktadaki tüm türevleri sıfırdır

Analitik fonksiyonlar



e −1/x²'nin grafiği

Eğer seri belirtilen aralıktaki her x noktasında f(x)'e yakınsıyorsa f(x) analitik bir fonksiyon olarak adlandırılır Her sonsuz türevlenebilir fonksiyon analitik değildir Örneğin, f(x) =e −1/x², x ≠ 0 ve f(0) = 0 fonksiyonunun Taylor serisi sıfıra denktir ancak fonksiyonun kendisi sıfırdan farklıdır

Kullanım Alanları

Taylor serileri, fonksiyonların (ör logaritma) verilen bir noktadaki sayisal değerlerini bulmak için kullanılabilirler Buna ek olarak, türev ya da integral de işlemleri seriye açılıp daha kolay işlem yapılabimektedir