Pi Sayısının Tarihsel Gelişimi

Pi Sayısı Hakkında

Pi Sayısının Tarihsel Gelişimi

Eski Mısırlılar ve Pi Sayısı

Mezopotamyalılar ve Pi Sayısı

Eski Yunanlılar ve Pi Sayısı

Türk-İslam Dünyası ve Pi Sayısı

Pi Sayısının İrrasyonelliği

Pi Sayısının Üstelliği

Pi Sayısının ilk 1000 basamağı

Pi Sayısının kronolojik Gelişimi



Pi Sayısı Hakkında

π sembolü, Yunan alfabesinin 16 harfidir Bu harf, aynı zamanda, Yunanca çevre (çember) anlamına gelen "perimetier" kelimesinin de ilk harfidir İsviçreli matematikçi Leonard Euler, 1737 yılında yayınladığı eserinde, daire çevresinin çapına oranı söz konusu olduğunda, bu sembolü kullandı Leonard Euler'den önce gelen bazı matematikçiler tarafından da, bu sembol kullanılmıştır Ancak, Leonard Euler'den sonra gelen, tüm matematikçiler bu sembolü benimseyip kullandılar

Ayrıca, doğal logaritmanın tabanı olan 2, 71828π sayısı için, L Euler'in kullandığı e harfi, sembol olarak bütün matematikçiler tarafından kullanılmaya başlanmış, benimsenmiştir Gene, karekök içinde -1 imajineri için de, L Euler ile birlikte i sembolü kullanılmaya başlanmış ve genelleşmiştir

İnsanoğlu; daire dediğimiz, kendine özgü düzgün yuvarlak şeklin farkına, tekerleğin icadından çok önceki tarihlerde varmıştır Bu şekli, diğer insan ve hayvanların gözbebekleri ile gökyüzündeki Güneş ve Ayda görüyordu Derken, elindeki sopa ile, kum gibi düzgün yüzeylere daire çizdi Sonra düşündü; bazı daireler küçük, bazıları ise büyük Görüyordu ki (sezinliyordu ki), dairenin bir ucundan öteki ucuna olan uzaklığı (çapı), büyürse, çevresi de o kadar büyüyordu Sonra gene düşündü, cilalı taş devri insanı, artık soyutlamasını yapmıştı Dairenin; çevresinin uzunluğu ile çapının uzunluğu orantılıydı Çevrenin çapa oranı, daireden daireye değişmiyor, sabit kalıyordu Demek ki; bugünkü gösterim şekliyle, bu sabit orana dersek; Çevre/Çap = sabit Şeklinde yazılabiliyordu

Bu oranın sabitliği anlaşıldıktan sonra, sabit oran değerinin, sayı olarak belirlenmesi gerekiyordu

Pi Sayısının Tarihsel Gelişimi

Kaynaklar,π sayısı için, gerçek değerin ilk kez Archimides (MÖ 287-212) tarafından kullanıldığını belirtir Ancak, Archimides'ten önce, Eski Mısırlılar'da ve Mezopotamya Babil devrinde, Archimiden'den sonra da, 15 yüzyıl Türk-İslam Dünyasının ünlü matematikçisi Gıyasüddin Cemşid (?-Semerkant 1429 ?) tarafından, sayısı için yaklaşık bazı değerler kullanılmıştır

Eski Mısırlılar ve Pi Sayısı

π sayısına ait ilk bilgilerin Eski Mısırlılar'da mevcut olduğunu görüyoruz Mısırlılar, yüzey ve hacım hesapları yaparken, sayısına ait yaklaşık değer kullanmışlardır

Eski Mısırlılar'dan kalma, bazı papirüslerin, özellikle, Rhind Papirüsünün değerlendirilmesi sonucu, daire alanı için, bugünkü gösterim şekliyle :

A = [1-(1/9)]2 R2 (1)

Formülünü kullandıkları anlaşılmaktadır (Burada R yarı çapı göstermektedir)

Bu formül, yarıçapı cinsinden düşünüldüğünde, bugünkü gösterim ve düşünce şekline göre :

r2 = (8/9)2 R2 (2)

Şeklinde yazılabilir Burada, 1 birim yarıçaplı çember düşünerek, r ve R için bilinen değerleri yazarsak :

= 4(8/9)2 = (16/9)2 (3)

Sonucu Elde edilir Bu durumda; Eski Mısırlılar'ın, için, 4(8/9)2 değerini kullanmış oldukları anlaşılmaktadır

(3) değerini, ondalık kesir şeklinde düşündüğümüzde :

= 4(8/9)2 = 4(64/81) = 3,1604 (4)

Elde edilir Fakat, için bazen kısaca 3 değeriyle de yetinildiği oluyordu

Bu durumda; bugünkü gösterim şekliyle düşünüldüğünde, Eski Mısırlıların, sayısı kavramını bildikleri ve değeri için 3,160 değerini Archimides'ten 2700 yıl kadar önce kullanmış oldukları anlaşılmaktadır

Burada akla şöyle bir soru gelmektedir; Acaba, Eski Mısırlılar, sayısının bu değerini hangi düşünceler, ya da ihtiyaçlar sonucu elde edebilmişlerdir? Bu sorunun cevabı hakkında kesin bir yargıya varmak çok güçtür Ancak bazı hipotezler (varsayımlar) ileri sürülmektedir Bunlar :

1) 9 birim değerine eşit bir çapla çizilmiş bir daire ile 8 birim uzunluktaki bir karenin yüzölçümleri arasındaki pratik (amprik) karşılaştırmanın bu konuda esas olarak alınacağı farz edilmiştir

Bugünkü notasyonla ; k bir katsayıyı, R daire çapını, a kare kenarını göstermek üzere yazılırsa ;

k(R/2)2 a2

yazılabilir Buna göre a = 8 birim, R = 9 birim kabul edilirse, sayısını temsil eden değer :

k(9/2)2 = 82

k = 82 (2/9)2

k = 64(4/81) ise k = (256/81) = 3,1604

elde edilir

Mezopotamyalılar ve Pi Sayısı

π sayısı üzerinde, Babilliler'in çok eski zamanlardan beri kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır Genel olarak = 3 değerini kullanıyorlardı Bazı tabletlerde nin yani = 3,125 değerine de rastlanılmıştır

Aydın Sayılı, adı geçen eserinde, "Mezopatamyalılar'da, idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum açıkça mevcuttur" der Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken için, 3 değerinin kullanılmış olduğunu belirtir

Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman = 3,125 değerini uygularlardı

Ancak nin, Mısırlılar'ınkinden ve Susa Tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, İlk önce Archimides tarafından bulunmuştur

Kaynaklar; Mezopotamyalılar'ın, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve için de 3 değerini kullandıklarını belirtir Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa'da bulunmuş olan tabletlerde için kabul edilen değerin yani 3,125 olduğu anlaşılmaktadır

Eski Yunanlılar ve Pi Sayısı

Kaynaklar π sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimides tarafından kullanıldığını belirtir Archimides;π sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve değerini 3 tam 1/7 ile 3 tam 10/71 arasında tespit etmiştir Bu iki kesrin ondalık sayı olarak karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir Bu iki değer,π sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir

Ancak, Archimides'in gençlik yıllarında Mısır'da İskenderiye'de uzun bir süre öğrenim gördüğü bilinmekte Bu öğrenim sırasında, Cona ve Erotostanes adlı iki samimi arkadaş edinmiş olur

Türk-İslam Dünyası ve Pi Sayısı

15 yüzyıl Türk-İslam Dünyası ünlü matematik ve astronomi alimi, Giyasüddin Cemşid, sayısının değerini, 16 ondalılığına kadar ve doğru olarak ilk hesaplamıştır Gıyasüddin Cemşid'in, Risaletül fi Muhitü'l Daire adlı eserinde,π sayısı için verdiği değer :

= 3,14159 26535 89873 2 dir

15 yüzyılda,π sayısının, ancak 6 ondalığa kadar olan değeri bilinmiş olduğuna, 16 ondalığa kadar doğru değerin de, Batı bilim dünyasında, Hollandalı matematikçi Adriaen van Rooman tarafından, doğru olarak hesaplandığına göre, Giyasüddin Cemşid'in bu konuda da, zamanının matematiğinden 200 yıl ilerde olduğu ortaya çıkmaktadır

Pi Sayısının İrrasyonelliği

π Nasıl bir sayısı? Örneğin : m ve n birer tam sayı olmak üzere, nin değeri m/n şeklinde yazılabilir mi? yani π nin değeri rasyonel bir sayı mıdır?

Başlangıcta, matematikçiler bu yönde ümitliydiler nin bu kadar çok ondalık kısmının hesaplanmasının nedenlerinden biri de, buydu herhalde Matematikçiler bekliyorlardı ki, bir yerden sonra, basamaklar önceki değerlerini tekrar etsin, yani devirli bir ondalık sayı halinde yazılabilsin Ama bu olmadı, Sonunda, 1761 yılında, İsviçre'li matematikçi Lambert, nin irrasyonel olduğunu, yani dairenin çevresi ile çapının bir ortak ölçüsü olmadığını ispatladı

Pi Sayısının Üstelliği

π sayısına ait değerin, gittikçe daha fazla basamağını hesaplama tutkusunun yanısıra, matematikçilerin rüyalarına giren başka bir problemi de, daireyi kare yapma problemiydi Bu uğraşıya, kendilerini kaptıranların önderi Anaksagoras'tır (MÖ 500-428) Bir ara Atina'da, zındıklıkla suçlanıp hapse atılan Anaksagoras, burada can sıkıntısından, daireyi kare yapmanın yollarını aramaya başlar Kendisinin çözdüğünü sandığı, bazı yaklaşık sonuçlar elde edler Daha sonra, Kilyos'lu Hippokrates (MÖ 5 yüzyıllın ikinci yarısı) , aşağıdaki şekilde

taranmış ACBA alanının, AOB üçgenin alanına eşit olduğunu gösterir Buna benzer başka örnekler gösterir ki, belli eğrilerle sınırlanmış, bazı bölgelerin alanlarına eşit alanda kareler çizilebilir

18 yüzyılın sonlarından başlayarak, dairenin kare yapılmasının imkansız olduğu fikri, matematikçilere hakim oldu Bu kuşku o kadar büyük ki, 1775 te, Paris Bilimler Akademisi, devr-i daim makinesi projeleri, açıyı pergel ve cetvel kullanarak üç eşit parçaya bölme yöntemlerinin yanısıra daireyi kare yapma yöntemlerini de, artık inceleme kararı aldı

1775 te Euler, 1794 te Legendra, nin belki de, cebirsel bir sayı olmadığına, üstel bir sayı olması gerektiğine ilişkin inançlarını belirtirler Fakat nin üstel olduğunun kanıtlanması için, 100 yıl beklendi Sonunda, 1882 yılında, Alman matematikçi Lindermann, nin üstel olduğunu ispatladı

Pi Sayısının İlk 1000 Basamağı

Aşağıda π sayısının ilk 1000 basamağı verilmiştir Sonsuza uzanan bu yolculuktaki çok çok ufak sayılabilecek bu 1000 basamak bile sayısının muhteşem güzelliğini gözler önüne sermeye yetmiyor mu, ne dersiniz?

3,141592653589793238462643383279502884197169399375 10 58209749445923078164062862089986280348253421170679 82148086513282306647093844609550582231725359408128 48111745028410270193852110555964462294895493038196 44288109756659334461284756482337867831652712019091 45648566923460348610454326648213393607260249141273 72458700660631558817488152092096282925409171536436 78925903600113305305488204665213841469519415116094 33057270365759591953092186117381932611793105118548 07446237996274956735188575272489122793818301194912 98336733624406566430860213949463952247371907021798 60943702770539217176293176752384674818467669405132 00056812714526356082778577134275778960917363717872 14684409012249534301465495853710507922796892589235 42019956112129021960864034418159813629774771309960 51870721134999999837297804995105973173281609631859 50244594553469083026425223082533446850352619311881 71010003137838752886587533208381420617177669147303 59825349042875546873115956286388235378759375195778 18577805321712268066130019278766111959092164201989

Pi Sayısının Kronolojik Gelişimi

MÖ 2000 : Eski Mısırlılar = (16/9)2 = 31605 değerini kullanıyorlar

MÖ 2000 : Mezopotamyalılar Babil devrinde = değerini kullanıyorlar

MÖ 1200 : Çinliler = 3 değerini kullanıyorlar

MÖ 550 : Kutsal Kitapta (I Krallar 7 : 23) , = 3 anlamına geliyor

MÔ 434 : Anaksagoras daireyi kare yapmaya girişir

MÔ 300 : Yılları, Archimides < < olduğunu buluyor Bundan başka yaklaşık olarak =211875/67441 kesrini de buluyor

MS 200 : Yıllarında, Batlamyos = (377/120) = 314166 değerini kullanıyor

MS 300 : Yılları, Çüng Hing = = 3166 değerini kullanıyor

MS 300 : Yılları, Vang Fau = (142/45) = 3155 değerini kullanıyor

MS 300 : Yılları, Liu Hui = (471/150) = 314 değerini kullanıyor

MS 500 : Yılları, Zu Çung-Çi 31415926<< 31415927 olduğunu buluyor

MS 600 : Yılları Hintli Aryabhatta = (62832/2000) = 31416 değerini kullanıyor

MS 620 : Hintli Brahmagupta = (m/10) değerini kullanıyor Bazı kaynaklarda da Brahmagupta'nın için değerini kullandığı belirtilir

MS 1200 : İtalyan Fibonacci = 3141818

MS 1436 : Semankant Türkü Giyasüddin Cemşid el Kaşi, 'yi 14 basamağa kadar elde ediyor Bu değer bugünkü kabul

edilen değere göre doğrudur

MS 1573 : Valentinus Otho = (355/113) = 31415929 olduğunu buluyor

MS 1593 : Hollanda'lı Adriaen van Rooman 'yi 15 basamağa kadar hesaplıyor

MS 1596 : Hollandalı Lodolph ve Cevlen 'yi 35 basamağa kadar hesaplıyor (Bu nedenle Almanya'da sayısı, Lodolph sayısı diye de bilinir)

MS 1705 : Abraham Sharp yi 72 basamağa kadar hesaplıyor

MS 1706 : John Machin yi 100 basamağa kadar hesaplıyor

MS 1719 : Fransız De Lagny yi 127 basamağa kadar hesaplıyor

MS 1737 : Leonard Euler'in benimsemesiyle sembolü evrensellik kazanıyor

MS 1761 : lsviçreli Johaun Heinrich Lambert nin irrasyonelliğini kanıtlıyor

MS 1775 : İsviçre'li matematikçi, L Euler nin üstel olabileceğine işaret ediyor

MS 1794 : Fransız Adrien-Marie Legendre nin ve 2 nin irrasyonelliğini kanıtlıyor

MS 1794 : Vega yi 140 basamağa kadar hesaplıyor

MS 1844 : Avusturyalı Schulz von Strassnigtzky yi 200 basamağa kadar hesaplıyor

MS 1855 : Richter yi 500 basamağa kadar hesaplıyor

MS 1874 : lngiliz W Shanks yi 707 basamağa kadar hesaplıyor

MS 1882 : Alman Ferdinan Lindemann nin üstel bir sayı olduğunu kanıtlıyor

MS 1947 : İlk bilgisayar ENİAC yi 2035 basamağa kadar hesaplıyor

MS 1958 : F Genuys tarafından, Chiffers I de yayınlanan makalede, sayısının değeri 10000 nci ondalık basamağa kadar hesaplanmıştır