Noktanın Analitik İncelenmesi

1 Analitik Düzlem

Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da adlandırılır Dik koordinat sistemi
Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir Analitik düzlemde her noktaya bir (x, y) sayı ikilisi karşılık gelir Bu sayı ikilisine noktanın koordinatları denir

P(x, y) noktası için, x noktanın apsisi, y de ordinatıdır Apsis ve ordinat değerleri eksenlere çizilen dik doğruların eksenleri kestiği noktalardır

Orijinin koordinatları O(0,0) dır x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır A(a, o) noktası gibi y ekseni üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır B(o, b) noktası gibi

• Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayırırlar

I Bölge: x > 0 y > 0 II Bölge: x < 0 y > 0 III Bölge: x < 0 y < 0 IV Bölge: x > 0 y < 0

2 İki nokta arasındaki uzaklık a Apsisleri veya ordinatları eşit olan noktalar arasındaki uzaklık

• Apsisleri eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın ordinatları farkının mutlak değeridir A(a, c) ve B(a, b) noktaları için |AB| = |c – b|

• Ordinatları eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın apsisleri farkının mutlak değeridir

A(b, a) ve B(c, a) noktaları için |AB| = |c – b|

b Apsisleri ve ordinatları farklı noktalar arasındaki uzaklık
Analitik düzlemde A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktaları arasındaki uzaklık |AB| biçiminde gösterilir A ve B noktalarının analitik düzlemdeki yerleri belirtildiğinde AKB dik üçgeni meydana gelir AKB dik üçgeninde [AB] hipotenüsdür [AK] dik kenar uzunluğu iki noktanın apsisleri farkı (x2 – x1) ve [BK] dik kenar uzunluğu iki noktanın ordinatları farkı (y2 – y1) dir Pisagor teoreminden iki nokta arası uzaklık; eşitliği ile bulunabilir Burada x1 ile x2 nin ve y1 ile y2 nin yer değiştirmesi sonucu değiştirmez

• İki nokta arası uzaklık bulunurken dik üçgenden de yararlanılabilir

İki noktanın ordinatları farkı dik üçgenin bir kenarı, apsisleri farkı ise diğer dik kenarıdır Dik üçgenin hipotenüsü bize iki nokta arası uzaklığı verir

c Bir noktanın orijine uzaklığı P(a,b) noktasının orijine uzaklığı

3Orta Nokta Koordinatları

Yukarıdaki şekilde A(x1, y1) noktası ile B(x2, y2) noktası veriliyor [AB] doğru parçasının ortasındaki nokta K(x0, y0) noktası ise

• Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgenlerde (kare,dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen) karşılıklı köşelerin koordinatları toplamları eşittir

ABCD paralelkenar olduğundan [AC] nin orta noktası, [BD] nin de orta noktasıdır Buradan; x1 + x3 = x2 + x4 y1 + y3 = y2 + y4

4Belli Oranda Bölen Nokta Koordinatları

Belli oranda bölen noktayı bulurken; verilen oranlar ile apsisler farkı ve ordinatlar farkı arasında benzerlikten kaynaklanan bir eşitlik oluşur A(x1,y1) , B(x2,y2) ve C(x3,y3) noktaları için, eşitliği vardır Belli oranda bölen noktayı bulurken yukarıdaki eşitlikten faydalanarak aşağıdaki metod kullanılabilir m uzunluğunda (x2 – x1) kadar değişirse n uzunluğunda (x3 – x2) kadar değişir Değişme miktarı artma yada azalma olabilir Önemli olan noktaların aynı doğrultuda olması ve aynı yönde hareket etmektir Aynı şeyler ordinatlar için de geçerlidir m uzunluğunda (y2 – y1) kadar değişirse n uzunluğunda (y3 – y2) kadar değişir 5 Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları ABC üçgeninin köşe koordinatları A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) ve ağırlık merkezi G(xG,yG) ise ağırlık merkezi koordinatları:
Bu eşitlikler belli oranda bölen nokta özellikleri kullanılarak elde edilebilir 6 Köşe Noktalarının Koordinatları Bilinen Üçgenin Alanı Köşe koordinatları A(x1,y1), B(x2,y2) ve C(x3,y3) olan ABC üçgeni veriliyor

Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanını bulmak için yukarıda olduğu gibi köşe koordinatları alt alta yazılır İlk yazılan en alta ilave edilir ve şekildeki gibi çarpılır Elde edilen sonuç ikiye bölünerek alan değeri bulunur Alan negatif olamayacağından, sonuç negatifte çıksa pozitif kabul edilir (Mutlak değeri alınır) Üç köşesinin koordinatları bilinen bir üçgenin alanı, üçgen analitik düzlemde çizilerek de bulunabilir

• Köşe koordinatlarından herhangi ikisinin apsisleri yada ordinatları eşit ise üçgenin kenarlarından biri eksenlere paralel olur Bu durumda üçgenin alanı çizilerek de bulunabilir
• Bir üçgenin alanının sıfır çıkması, köşe koordinatları olarak verilen üç noktanın doğrusal üç nokta olduğunu gösterir