Piramit, Koni Ve Kürenin Hakkında; Özellikleri, Alanı Ve Hacim Hesabı Formülü

Piramit, Koni ve Kürenin Hakkında; Özellikleri, Alanı ve Hacim Hesabı Formülü

KÜRE

Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir

O merkezli R yarıçaplı kürede;

Yüzey alanı

1 Küre Dilimi

[KL] çap

m(AOB) = a

şekildeki gibi kesilip çıkarılan küre diliminin hacmi

2 Küre Kapağı

Bir küre merkezinden |OP| uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde kesit alanının daire şeklinde olduğu görülür

Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir Kesitin merkezinden uzaklığına |OP|, kesitin yarıçapına r ve kürenin yarıçapına R dersek

|OP|2 + r2 = R2 eşitliği vardır h = R - |OP| Küre kapağının alanı= 2pRh Yandaki şekildeki gibi olan

Küre parçasının hacmi :

[/COLOR]

Düzgün Sekizyüzlü

Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir

Bir ayrıtına a dersek yan yüz yüksekliği olur

Cismin, ortak tabanlı iki adet kare piramitten oluştuğunudüşünürsek piramitlerin yüksekliği;olur

Piramitin hacmi olduğundan;

Yüzey şekilleri eşkenar üçgen olduğundan

Düzgün Altıgen Piramit

Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir

Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur

KONİ

Tabanı daire biçiminde olan piramide koni adı verilir

Taban alanı = olduğundan

bulunur Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgen oluşur

KONİ
Tabanı daire biçiminde olan piramite koni adı verilir

Burada;

Taban yarıçapı |OB| = r

Cisim yüksekliği |PO| = h olur

|PA| = |PB| = l uzunluğuna ana doğru denir

POB dik üçgeninde,

h2 + r2 = l2 bağıntısı vardır

Koninin yanal alanı bir daire dilimidir

Daire diliminin alanı, yay uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısıdır Yay uzunluğu taban çevresine eşit olduğundan,

Yanal alan= pr2+prl

Tüm alan bulunurken, taban alanı da ilave edilir

Tüm alan = šr2 + šrl

* Daire diliminin merkez açısına a dersekoranı elde ederiz

* Yükseklikleri ve taban yarıçapları eşit olan iki cismin hacimleri de birbirine eşittir

* Üçgensel şekiller bir kenarı etrafında döndürüldüğünde koni elde edilirşekildeki ABC dik üçgeninin AB kenarı etrafında döndürülmesi ile |BC| yarıçaplı ve yüksekliği |AB| olan koni elde edilir

Kesik piramitlerin hacimleri bulunurken cisim piramide tamamlanır

[O1B] // [O2D] olduğundan

benzerliği vardır Küçük koninin büyük koniye benzerlik oranıdir

Alanları oranı benzerlik oranının

karesi olduğundan, alanlaroranı olur Hacimler oranı

ise benzerlik oranının küpüdür r1 yarıçaplı küçük koninin hacmine V1, r2 yarıçaplı büyük koninin hacmine V2 dersek

PİRAMİTLER

Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir

T noktası piramidin tepe noktasıdır Kapalı bölge ise piramidin tabanıdır Piramit; tabanı oluşturan şeklin ismiyle adlandırılır Taban kare ise, kare piramit; taban altıgense altıgen piramit gibi

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir

T noktasının taban düzlemi üzerindeki dik izdüşümüne H dersek [TH] piramidin yüksekliği olur

|TH| = h biçiminde yazılır [TA], [TB], [TC]… piramidin yanal ayrıtlarıdır

Piramitlerin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri kadardır

1Kare Piramit

Kare piramidin tabanı kare biçimindedir Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur

İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir

|PH| = h piramidin yüksekliğidir

Yan yüz yüksekliği |PK| dır

Tabanının bir kenarına a dersek

Buradan yan yüz yüksekliği

|PK|2 = h2 + ()2 olur

Tüm alan yan yüz alanları ile taban alanının toplamına eşittir

2 Eşkenar Üçgen Piramit

Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir

Taban

olduğundan
Alanı

3 Düzgün Dörtyüzlü

Dört yüzü de eşkenar üçgenlerden oluşan cisimdir Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner

Bir ayrıtı a olan düzgün dörtyüzlünün

Yarı yüz yüksekliği ve Cisim yüksekliği olur
Buradan