Diferansiyel Kalkülüs

Diferansiyel kalkülüs

Diferansiyel kalkülüs, fonksiyonların girdileri değiştikçe nasıl değiştiklerini konu alan bir matematik alanıdır Diferansiyel kalkülüsteki ana inceleme nesnesi türevdir Oldukça yakından ilişkili diğer bir nosyon da türetke yani diferansiyeldir Bir fonksiyonun, seçilmiş belirli bir girdi değerindeki türevi, fonksiyonun o girdi değeri yakınındaki davranışını tanımlar Genel olarak, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevi, fonksiyona o noktadaki en iyi lineer yaklaşımı belirler Türev bulma işlemine "türev almak" (İngilizce: diferansiyasyon) denir Analizin temel teoremi (bazen kalkülüsün temel teoremi olarak da anılır) gereğince, türev alma işlemi integral alma işleminin tersidir

Türevin ve doğal olarak diferansiyel kalkülüsün tüm sayısal disiplinlerde uygulamalarını görmek mümkündür Örneğin, fizikte hareket halindeki bir cismin yerdeğişiminin, zamana göre türevi, hız; hızın zamana göre türevi ise ivmedir

Türevler bir fonksiyonun maksimum ve minimumlarını bulmakta da kullanılırlar Türev barındıran denklemlere diferansiyel denklemler denir ve bu denklemler doğal fenomenlerin tanımlanması açısından temel bir öneme sahiptirler Türevler ve bunların genelleştirmeleri matematiğin her alanında görülebilir; karmaşık analizden, fonksiyonel analize, diferansiyel geometriden soyut cebire kadar

TÜREV ALMA KURALLARI

Yukarıdada değinildiği gibi Türev alma, integralin tersidir ve aşşağıdaki matematiksel kurallar geçerlidir

Sabit Fonksiyonların türevi sıfırdır

ör: f(x) = 3 , f'(x) = 0

Üslü sayıların türevi aşşağıdaki şekilde alınır

(f(x) ^ n)' = n f(x) ^ (n-1) ör: (f^3)' = 3·f²

Herhangi bir sabit sayı ile çarpma türevi değiştirmez

ör: (a · f(x))' = a·f'(x)

Toplama ve çıkarma işlemi türevi değiştirmez

ör: ( f(x) ± h(x) )' = f'(x) ± h'(x)

iki fonksiyonun çarpımının türevi aşşağıdaki şekilde alınır:

(f·g)' = f'·g + f·g'

ör: f(x) = m² ve g(x) = 3x

(f·g) = 6·x·m + 3·m²

iki fonksiyonun bölümünün türevi aşşağıdaki şekilde alınır:

(f/g)' = (f'·g - g'·f)/(g²)

ör: f(x) = m² ve g(x) = 3x için

(f/g)' = (f'·g - g'·f)/(g²) = ( 6·m·x - 3·m²) / (9·x²)

Zincir Kuralı

(f o g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)

ör: f(x) = 3x ve g(x) = x²

(f o g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x) = 3·x² ·2x = 6·x³

Ters fonksiyonun türevini alma metodu şu şekildedir

f(x) = y olsun Eğer f, x noktasında tersi alınabılen bir foksiyon ise ve f'(x) ≠ 0 ise o zaman aşşağıdaki kural geçerlidir

(f^(-1))' (y) = 1 / f'(x)

ör: f(x) = 3x ise (f^(-1))(y) = f(x) / 3 olur

(f^(-1))' (y) = 1 / f'(x) = 1/3 tür