Polinomlar Hakkında Genel Bilgi

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:

a0, a1, a2, …an-1, an Î R ve n Î N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir

1 an xn, an-1 xn-1, …, ak xk, …, ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir

2 an, an-1, …, ak, …, ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir

3 P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir

4 Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir

5 P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır

6 Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R[x] ile gösterilir

Örnek:

P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n Î N kaç olmalıdır?

Çözüm:

5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır

3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 ³ 0 den n ³ 2 olması gerekir O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır Buna göre, P(x) polinomu

P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4

P(x) = 2x4 + x + 4 dür

P(x, y) = x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir

Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür

der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir

Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır

Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir

Örnek

P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:

2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6

-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8

x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5

-y5 teriminin derecesi 5

Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir O halde, der P(x, y) = 8 dir

Örnek

P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise

P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:

P(2) = 23 – 322 + 42 – 2

= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur

P(0) = 03 – 302 + 40 – 2 = – 2 bulunur

P(1) = 13 – 312 + 41 – 2

= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur

P(X) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,

an = an-1 = … = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + … + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir

Örnek

P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim

Çözüm

P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;

m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;

m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = … = a1 = 0 ve a0 ¹ 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir

0xn + 0xn-1 + … + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir

x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır

Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim

Çözüm

P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir

n dereceden,

A(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 ve

B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2x2 + b1x + b0 polinomları için;

A(x) = B(x) Û an = bn, an-1 = bn-1, … , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır

P : R ® R

x ® P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir

P : R ® R

x ® P(x) = 5x3 + 2x2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur

Örnek

P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz

Çözüm

P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım

P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1

= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2

P(x-1) = x2 olarak bulunur

II: Yol:

Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım

P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur

Örnek

P(x) polinomu için,

P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor Buna göre P(x) polinomunu bulunuz

Çözüm

P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliğinde

H = x + 2 Þ h –2 = x’i yerine yazalım

P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4

P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4

P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa

P(1) = an + an-1 + … + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur

P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur

Örnek

P(x) = 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz

Çözüm

P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım

P(1) = 214 + 513 – 312 + 1-1

= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0

B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0

Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir

A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

Örnek

P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1, Q(x) = 3x2 + Ö3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz

Çözüm

P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + Ö3) x + 1 + 4

= x3 + 5x2 + (Ö3-3) x + 5 dir

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır

1 Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır

2 Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır

3 Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır

4 Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır

5 Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır