Aritmetik Ve Geometrik Diziler Seriler

ARİTMETİK ve GEOMETRİK DİZİLER, SERİLER


ARİTMETİK DİZİ

A TANIM

Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere N+ için, an+1 – an = d olacak Î n "aritmetik dizi denir Diğer bir ifadeyle R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da ortak fark Îşekilde bir d denir

ÖRNEK

(an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz Ortak farkını bulunuz

an+1 – an = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (an), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir

B GENEL TERİM

Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı d = 1 olan bir aritmetik dizidir

5

a1 = a1

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d = a1 + 3d



an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir

Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir

ÖRNEK

İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?

a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n – 1) d

an = 8 + (n – 1) 2

an = 2n + 6'dır

C ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark : d = ap – ak dir

p - k

ÖRNEK

39 terimi 19 ve 45 terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 – a39)/(45 – 39)

d = (22 – 19)/6

d = ½' dir

a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı :

d = b – a dır

n + 1

ÖRNEK

- 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4

Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse,

Sn = n [2a1 + (n – 1)d] ya da

2

Sn = n (a1 + an) olur

2

Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir Diğer bir ifadeyle k p iken,

ap = ap – k +ap + k dır

2

ÖRNEK

19 terimi 42 ve 33 terimi 88 olan aritmetik dizinin 26 terimi kaçtır?

a19 = 42 ve a33 = 88 ve (19 + 33)/2 = 26 olduğu için,

a26 = (a19+a33)/2

a26 = (42+88)/2

a26 = 65'tir

GEOMETRİK DİZİ

A TANIM

Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir Diğer bir ifadeyle

R varsa (an) dizisine Î N+ için, an + 1 = r olacak şekilde bir r Î n " geometrik dizi, r sayısına ortak

an

çarpan veya ortak oran denir

ÖRNEK

(an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz Dizinin ortak çarpanını bulunuz

(an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir

B GENEL TERİM

Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun Bu durumda,

a1 = a1

a2 = ra1

a3 = ra2 = r2a1

a4 = ra3 = r3a1

Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn – 1a1 veya an = rn – pap dir

ÖRNEK

İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir?

a1 = 4 ve r = ½ an = rn – 1 a1

an = (1/2)n – 1 4

an = 23 - n

C GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak çarpan : rp – k = ap eşitliğinde bulunur

ak

ÖRNEK

2 terimi 3/5 ve 5 terimi 75 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir?

a2 = 3/5 ve a5 = 75 r5 – 2 = a5/a2

r3 = 75/3/5

r3 = 125

r = 5 tir

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse Sn = a11 – rn olur

1 – r

ÖRNEK

İlk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplamı 42 olan geometrik dizinin 3 terimi nedir?

a1 = 6 ve S3 = 42 ise S3 = a1 (1 – r3)/(1 – r)

Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir Diğer bir ifadeyle k p iken, ap = dır

ÖRNEK

3 terimi 3 ve 5 terimi 6 olan geometrik dizinin 7 terimi nedir?

a3 = ve a5 = (a3 a7)1/2 6 = (3 a7)1/2 36 = 3 a7 a7 = 12'dir

SONUÇ:

Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir

ÖRNEK:

Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak çarpanı 6, n terimi y'dir Bu dizinin, ilk n teriminin toplamının x ve y'ye bağlı ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

a1 = x, r = 6 ve an = y olduğuna göre, an = a1rn – 1 y = x6n – 1 6n = 6y/x (*)

Sn = a1(1 – rn)/(1 – r) = x (1 – 6n)/(1 – 6) = x (1 – 6y/x)/(-5) = (6y – x)/5 dir

SERİLER

A TANIM

• (an) reel terimli bir dizi olsun

= a1+a2+a3+ +an + sonsuz toplamına seri denir

• an'e serinin genel terimi denir

• Serinin ilk n teriminin toplamından oluşan Sn = a1+a2+a3+ +an toplamına serinin n kısmi toplamı denir

• (Sn) = (S1,,S2,,S3,,Sn,) dizisine kısmi toplamlar dizisi denir

• a) (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır ve serinin toplamı = lim Sn' dir

b) (Sn) dizisi ıraksak ise seriside ıraksaktır

• serisi yakınsak ise lim an = 0'dır Bu ifadenin tersi doğru değildirYani, lim an = 0 iken serisi yakınsak olmayabilir

ise serisi ıraksaktır 0 ¹• lim an

ÖRNEK

2n/5-n serisi veriliyor Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz

an = 2n/5-n = 0 olduğuna göre seri ¹ dur lim an ¥2n5n = 10n dir lim an = lim 10n = ıraksaktır

B ARİTMETİK VE GEOMETRİK SERİLER

1 Aritmetik Seriler

(an) dizisi bir aritmetik dizi ise serisine aritmetik seri denir Aritmetik serinin kısmi toplamı Sn = n (a1+a2)'dir Aritmetik seri ıraksaktır

2

ÖRNEK

(n – 10)/20 serisi veriliyor Serinin, aritmetik seri olduğunu gösteriniz Serinin kısmi toplamını bulunuz Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz

N+ için d = an +1 – an =(n+1-10)/20 – (n-10)/20 = Î n " 1/20 olduğu için seri aritmetik seridir

a1 = -9/20 ve an = (n – 10)/20 olduğuna göre, Sn =n/2(a1+an) = n/2[-9/20 + (n –10)/20]

¥=n(n – 19)/40 =

olduğuna göre (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksak olduğu için sorulan seri ıraksaktır

2 Geometrik Seriler

(an) dizisi bir geometrik dizi ise serisine geometrik seri denir Geometrik serinin kısmi toplamı Sn = a11-rn'dir

1-r

a) |r| 1 ise seri yakınsaktır ve serinin toplamı: = a1'dir

1-r

ise seri 1 ³b) |r| ıraksaktır

ÖRNEK

31-n serisi veriliyor

Serinin, geometrik seri olduğunu gösteriniz, serinin kısmi toplamını bulunuz, serinin yakınsak olduğunu gösteriniz, serinin toplamını bulunuz