Klein-Gordon Denklemi

**Prof. Dr. Sinsi** · 10-28-2012

Klein-Gordon denklemi

Klein-Gordon Denklemi, (bazı kaynaklarda Klein-Fock-Gordon Eşitliği olarak da ifade edilir) Schrödinger denkleminin bağıl/göreli (relativistik) olan versiyonudur ve atomaltı fizikte kendi ekseni etrafında dönmeyen parçacıkları tanımlamada kullanılır

Oskar Klein ve Walter Gordon tarafından bulunmuştur

Matematiksel Açılım

Serbest bir parçacık için Schrödinger denklemi aşağıdaki gibidir

burada

momentum operatörü, ise del operatörüdür

Schrödinger denklemi Einstein'ın Özel Görelilik Kuramı'nı hesaba katmadığı için özellikle atomaltı parçacık hesaplamalarında yetersiz kalır

Özel Görelilik Kuramı'ndan enerjinin tanımını ihraç edip

sonra, bu formüle kuvantum mekanik momentum operatörünü eklediğimizde,

sonucunu alırız

Ancak bu eşitlik karekökten dolayı gayrilokal ve düzensiz bir yapıdadır ve bu yüzden Klein ve Gordon eşitliğin daha objektif bir versiyonunu tümdengelmişlerdir

burada

ve

olur

Bu yeni operatöre d'Alembert operatörü denir ve günümüzde skaler (sıfır rotasyonlu) parçacıklar için alan denklemi olarak kullanılmaktadır

**Prof. Dr. Sinsi** · 10-28-2012

Göreli serbest parçacık çözümü

Serbest bir parçacığın Klein-Gordon denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir

Yukarıdaki ifadenin gayrigöreli versiyonu ise bu şekilde ifade edilebilir:

Ancak elbette bu durumda,

engeli oluşacaktır

Gayrigöreli parcçacıklarda olduğu gibi, aynı ifadenin enerji ve momentum için olan versiyonları,

ve

şeklinde formüle edilir

Bu noktada eşitliği k ve ***969; bilinmeyenleri için çözüp yukarıda değindiğimiz engel denklemine ihraç ettiğimizde m>0 kütleli parçacıkların enerji ve momentum değerleri arasındaki bağlantıyı formüle etmiş oluruz

Kütlesiz parçacıklar için, yukarıdaki denklemde m`i 0 olarak alabiliriz

Bu durumda kütlesiz parçacığın enerji ve momentumu arasında,

ilişkisine ulaşırız

Aksiyom

Klein-Gordon denklemi aşağıdaki aksiyom kullanılarak tümdengelinebilir

burada Fi Klein-Gordon alanını, m ise kütleyi ifade etmektedir

10-28-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Klein-Gordon Denklemi Klein-Gordon denklemi Klein-Gordon Denklemi, (bazı kaynaklarda Klein-Fock-Gordon Eşitliği olarak da ifade edilir) Schrödinger denkleminin bağıl/göreli (relativistik) olan versiyonudur ve atomaltı fizikte kendi ekseni etrafında dönmeyen parçacıkları tanımlamada kullanılır Oskar Klein ve Walter Gordon tarafından bulunmuştur Matematiksel Açılım Serbest bir parçacık için Schrödinger denklemi aşağıdaki gibidir burada momentum operatörü, ise del operatörüdür Schrödinger denklemi Einstein'ın Özel Görelilik Kuramı'nı hesaba katmadığı için özellikle atomaltı parçacık hesaplamalarında yetersiz kalır Özel Görelilik Kuramı'ndan enerjinin tanımını ihraç edip sonra, bu formüle kuvantum mekanik momentum operatörünü eklediğimizde, sonucunu alırız Ancak bu eşitlik karekökten dolayı gayrilokal ve düzensiz bir yapıdadır ve bu yüzden Klein ve Gordon eşitliğin daha objektif bir versiyonunu tümdengelmişlerdir burada ve olur Bu yeni operatöre d'Alembert operatörü denir ve günümüzde skaler (sıfır rotasyonlu) parçacıklar için alan denklemi olarak kullanılmaktadır

10-28-2012	#2
Prof. Dr. Sinsi	Klein-Gordon Denklemi Göreli serbest parçacık çözümü Serbest bir parçacığın Klein-Gordon denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir Yukarıdaki ifadenin gayrigöreli versiyonu ise bu şekilde ifade edilebilir: Ancak elbette bu durumda, engeli oluşacaktır Gayrigöreli parcçacıklarda olduğu gibi, aynı ifadenin enerji ve momentum için olan versiyonları, ve şeklinde formüle edilir Bu noktada eşitliği k ve ***969; bilinmeyenleri için çözüp yukarıda değindiğimiz engel denklemine ihraç ettiğimizde m>0 kütleli parçacıkların enerji ve momentum değerleri arasındaki bağlantıyı formüle etmiş oluruz Kütlesiz parçacıklar için, yukarıdaki denklemde m`i 0 olarak alabiliriz Bu durumda kütlesiz parçacığın enerji ve momentumu arasında, ilişkisine ulaşırız Aksiyom Klein-Gordon denklemi aşağıdaki aksiyom kullanılarak tümdengelinebilir burada Fi Klein-Gordon alanını, m ise kütleyi ifade etmektedir