Rasyonel Sayılar Genel Tanımlama

Rasyonel sayılar genel tanımlama

A)Rasyonel Sayılar

Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kümeye rasyonel sayı denirRasyonel sayıların meydana getirdiği kümelere rasyonel sayılar kümesi denirRasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir

NOT:Her tam sayı rasyonel sayı olarak yazılabilir

Örneğin,

Yandaki şekilde,bir bütün 4 eş parçaya bölünmüş ve bu eş paçalardan üç tanesi taranmıştır

Taralı bölge,bütünün üç tane parçası(kesri)dirBu parçaları belirten kesir, 3 biçiminde gösterilir

3 kesrinde 3'e pay,4'e payda denir: 3 kesri, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur

NOT

Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir

Pozitif rasyonel sayılar kümesi “Q+”ile gösterilir Negatif rasyonel sayılar kümesi”Q-“ile gösterilir

Q = Q- U {0} U Q+

B) Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (büyüklük ,küçüklük)

1-Paydaları eşit olan rasyonel sayılar

Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda payı büyük olan daha büyük,payı küçük olan daha küçüktür

Örnek:

15 , 7 , 3 3 7 15

20 20 20 20 20 20

Paydaları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidirPayı büyük olan negatif rasyonel sayılar küçük,payı küçük olan negatif rasyonel sayılar büyüktür

Örnek:

15 , 7 , 3 15 7 3

20 20 20 20 20 20

2-Payları eşit olan rasyonel sayılar:

Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda paydası küçük olan daha büyük, paydası büyük olan daha küçüktür

Örnek:

7 , 7 , 7 7 7 7

9 5 3 3 5 9

Payları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidirPaydası büyük olan negatif rasyonel sayılar büyük paydası küçük olan negatif rasyonel sayılar küçüktür

3-Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılar:

Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılarda pay paydaya bölünerek sıralama yapılır

Örnek:

18 , 7 , 48 18:3=6 48 7 18

3 4 57 7:4=1,75 57 4 3

48:57=0,84

Arada olma

İki rasyonel sayı arasına bir yada birkaç rasyonel sayı yerleştirmeye denir

IYOL: 2 4

II:YOL:2 4

IIIYOL: 1 2 4

3 5 3 5 2 3 5

2

1 2 4 1 10 12 1 22 22

2 3 5 2 15 15 2 15 30

Örnek:

5 ile 7 1 5 7 1 15 14

4 6 2 4 6 2 12 12

1 29 29

2 12 24

5 29 7

4 24 6

C-İrrasyonel sayılar

Sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olmasına karşın,rasyonel olmayan

gibi sayılara irrasyonel sayılar denirİrrasyonel sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir

Gerçek (reel) sayılar kümesi

Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayıların birleşim kümesine gerçek (reel) sayılar kümesi denirGerçek

sayılar kümesi ,sayı ekseninin her noktasını doldururSayı doğrusu üzerinde her noktaya bir gerçek sayı her gerçek sayıya da bir nokta karşılık gelir

Gerçek sayılar kümesi,”R” sembolü ile gösterilir

2-RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ

a)Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi

Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken ,rasyonel sayıların paydaları eşit değilse ,paydalar eşitlenirPayların mutlak değerleri toplamı paya yazılırOrtak payda,paydaya yazılırtoplananların ortak işareti,toplama ,işaret olarak verilir

Tam sayılı kesirler toplanırken ,bu kesirler bileşik kesre çevrilerek toplama işlemi yapılır

b)Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi

Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenirpayların mutlak değerleri farkı alınır,paya yazılırOrtak payda ,paydaya yazılırtoplam olan rasyonel sayının işareti ise,mutlak değeri büyük olan rasyonel sayının işaretidir

Örnek:

1 2 1 20 24 15

3 5 4 60 60 60

+20+24+(-15)

60

+44+(-15)

60

29

60

3-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

a)Kapalılık özelliği

İki rasyonel sayının toplamı , yine bir rasyonel sayıdırYani rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır

b)Değişme özelliği

Rasyonel sayılar kümesinde,toplama işleminin değişme özelliği vardır

c)Birleşme özelliği

rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır

d)Etkisiz (birim) eleman özelliği

”0”tam sayısına,rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir

e)Ters eleman özelliği

Toplamları “0”tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir

4-RASYONEL SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ

İki rasyonel sayının farkı bulunurken,eksilen rasyonel sayı,çıkan rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi ile toplanır

Örnek:

+3 +1 +3 -1 +18 -5 +13

5 6 5 6 30 30 30

5-RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ

İki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı paya,paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır

NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının çarpımı pozitif , ters işaretli iki rasyonel sayının çarpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır

Yani:

(+) x (+) = (+)

(-) x (-) = (+)

(-) x (+) = (-)

(+) x (-) = (-)

NOT

Tam sayılı kesir biçminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilirSonra çarpma işlemi yapılır

6-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE ÇARPMA

İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

a)Kapalılık özelliği

İki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayıdırYani rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır

Örnek:

+3 -2 -6

4 3 12

b)Değişme özelliği

Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır

Örnek:

-19 -1 +19

20 3 60

-1 -19 -19

3 20 60

c)Birleşme özelliği

Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır

Örnek:

+3 -2 +1 -6 +1 -6

1 3 5 3 5 15

+3 -2 +1 +3 -2 -6

1 3 5 1 15 15

d)Yutan eleman

Bir rasyonel sayının “0”sayısı ile çarpımı “0”dır”0”sayısına ,çarpma işleminin yutan elemanı denir

e)Etkisiz birim eleman

+1 rasyonel sayısına, çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman denir

f)Ters eleman

Çarpımları +1 olan iki rasyonel sayıya çarpma işlemine göre tersi denir

g)Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği:

Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır

h)Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği:

Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır

7-RASYONEL SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ

İki rasyonel sayının bölme işlemi yapılırken, bölünene rasyonel sayı , bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılırElde edilen çarpım bölümü verir

NOT

Aynı işaretli iki rasyonel sayının bölümü pozitif ters işaretli ki rasyonel sayının bölümü ise negatif bir rasyonel sayıdır

Yani: + x + = +

- x - = +

- x + = -

+ x - = -

Örnek:

-3 +2 -3 +4 -3

4 4 4 2 2

(+1) tam sayısının , bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm,bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersine eşittir

Örnek:

-2 1 -7 -7

7 1 2 2

(-1)tam sayısının, bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersinin ters işaretlisine eşittir

Bir rasyonel sayının,(-1) tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , bölünen rasyonel sayının toplama işlemine göre tersine eşittir

Örnek:

-2 -2 1 -2 1 -2

7 7 1 7 1 7