Polinomlar İle İlgili Sorular Ve Çözümleri

Polinomlar ile ilgili Sorular ve Çözümleri

ao, a1, a2 an R ve n - N olmak üzere

P(x) = an xn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + + a1x + ao biçimindeki çok terimlilere polinom denir

3x3 + 2x2 – 5x + 3 bir polinomdur

2 x4 – 3x2 – 6x + 3 bir polinomdur

–3 x2 + 5x – 1 polinom değildir

x3 – x–2 + x + 4 polinom değildir

Bir polinomun derecesi en büyük dereceli terimin derecesidir

Örneğin x3 – 3x2 + 4 üçüncü dereceden bir polinomdur

P(x,y) = x5 + x2y2+ x4y2 + y3 – x gibi iki bilinmeyenlerin üsleri toplamıdır

Örneğin yukarıdaki polinomda x4y2 teriminin derecesi 4+2 = 6 dır

Bir P(x) polinomunun derecesini d ( P(x) ) biçiminde göstereceğiz

Örneğin, x4 – 2x3 + 5x2 + x + 3 ise

d ( P(x) ) = 4 dür

İki polinomun eşitliği (denkliği):

O iki polinomun derecelerinin aynı ve aynı dereceden terimlerinin katsayılarının eşitliği ile tanımlanır

P(x) = ax3 + bx2 + cx + d

Q(x) = 2x2 – 3x + 4

iken,

P(x) = Q(x) ise:

ax3 + bx2 + cx + d = 2x2 – 3x + 4 den

a = 0, b = 2, c = –2 ve d = 9 bulunur

POLİNOMLARDA TOPLAMA – ÇIKARMA

Toplama ve çıkarma aynı dereceden terimlerin toplama veya çıkarılması ile yapılır

ÖRNEK :

P(x) = 2x3 + 3x2 – 5x + 4

Q(x) = 5x2 + 6x2 + 5

ise P(x) + Q(x) ve P(x) – Q(x) ifadelerinin eşitlerini bulunuz?

Çözüm :

P(x)+Q(x) = (2x3 + 3x2 –5x + 4) + 5x3+6x2+5

= 7x3 + 9x2 – 5x + 9

P(x)-Q(x) = (2x3 = 3x2 – 5x+4) – (5x3+6x2+ 5)

= 2x3 + 3x2 – 5x + 4 – 5x3 – 6x2 – 5

= –3x3 – 3x2 – 5x – 1

POLİNOMLARDA ÇARPMA

a) Tek terimli bir polinomun çok terimli bir polinomla çarpımını yapmak için çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği uygulanır

Örneğin;

3x2(2x3 – 3x2 + 5x – 3) = 6x5 – 9x4 + 15x3 – 9x2 dir

b) Çok terimlilerin çarpımında, birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimi ile ayrı ayrı çarpılır Bunların toplamı alınır

Polinomların çarpımında, çarpımın derecesi, çarpanların dereceleri toplamına eşittir

d(P(x) Q(x)) = d(P(x) + d(Q(x) ) dır

ÖRNEK :

P(x) = x2 – 2x + 1

Q(x) = x3 – 3x2 ise P(x) Q(x) = ?

Çözüm :

P(x) Q(x) = (x2 – 2x + 1) (x3 – 3x2)

= x5 – 3x4 – 2x4 + 6x3 + x3– 3x2

= x5 – 5x4 = 7x3 , 3x2

ÖRNEK :

P(x) = x3 – 7x

Q(x) = x3 + 7x ise P(x) Q(x) = ?

Çözüm :

P(x) Q(x) = (x3 – 7x) (x3 + 7x)

= x6 + 7x4 – 7x4 – 49x2

= x6 – 49x2

ÖRNEK :

P(x) = x12 + x3 + x2 + 2x + 1

Q(x) = xn + xn–1 + x

( P(x) Q(x) ) ın derecesi 15 ise n kaçtır?

Çözüm :

d ( P(x) Q(x) = d ( P(x) ) + d(Q(x)) olduğu için

15 = 12 + n  n = 3 tür

ÖRNEK :

polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm :

n + 24 ve 8n doğal sayı olmalıdır Buradan n = 2 ise

2+24 = 1 ve 82 = 4 bulunur

O halde polinom

P(x) = 3x + 2x4 = 3x2 + 4 biçimindedir Azalan kuvvetlere göre sıralanırsa

P(x) = 2x4 + 3x2 = 3x + 4 dür

P(x) in derecesi 4 olarak bulunur

Polinomlarda bazı özel çarpımlar vardır Bunlara özdeşlikler de denir Bu çarpımları ezbere bilmek gerekir Bunları tersinden kullanarak çarpanlara ayırmaları yaparız

ÖZDEŞLİKLER :

1) (x – y) (x + y) = x2 – y2

2) (x – y) (x2 + xy + y + y2

3) (x – y) (x3 + x2y + xy2 + y4) = x4 – y4

4) Genel olarak

(x–y) (xn–1 + xn–2y + xn–2 y2 ++ xyn–2 + yn–1)=xn–yn dir

5) x + y ≠ 0 koşulu ile

(x + y)0 = 1

(x + y)1 = x + y

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(iki terimli toplamın karesi: birincinin karesi + birinci ile ikincinin çarpımının iki katı + ikincinin karesidir)

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(İki terimin toplamının küpünü siz yukarıdaki gibi ifade edin

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 dür

Terimlerde xin üzeri bir azalırken y nin üzeri bir artarak sıra ile yazıldığına dikkat ediniz Kat sayıları paskal üçgeninden bulunur

Paskal üçgeni:

Örneğin (x + y)5 in açılımı istense 5 derece (6 sıra) karşısında bulunan sayılar sıra ile katsayı olarak alınırlar ve,

(x+y)5 = x5 + 5xy4 + 10x3Y2 + 10x2y3 = 5xy4 + y5 olarak bulunur

6) x – y ≠ 0 için

(x – y)0 = 1

(x – y)1 = x – y

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2

(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

----------------------------------------------------------------------------------------

2 Kaynak

POLİNOMLAR

TANIM

n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, , an – 1, an birer gerçel sayı olmak üzere,

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + + an – 1xn – 1+anxn

biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n dereceden polinom (çok terimli) denir

TEMEL KAVRAMLAR

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + + an – 1xn – 1+anxn

olmak üzere,

Ü a0, a1, a2, , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir

Ü a0, a1x, a2x2, , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun terimleri denir

Ü Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir

Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve

der [p(x)] ile gösterilir

Ü Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir

Ü a0 = a1 = a2 = = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır

Ü a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir Sabit polinomunun derecesi sıfırdır

Her polinom bir fonksiyondur Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir

Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR

P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir

POLİNOMLARDA EŞİTLİK

Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir

Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir

Ü P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır

Herhangi bir polinomda; kat sayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır

P(ax + b) polinomunun; kat sayıları toplamı

P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir

Ü P(x) polinomunun;

Çift dereceli terimlerinin kat sayıları toplamı:'dır

Tek dereceli terimlerinin kat sayıları toplamı:'dır

POLİNOMLARDA İŞLEMLER

1 Toplama ve Çıkarma

P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 +

Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 +

olmak üzere,

P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 +

P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 +

olur

2 Çarpma

İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir

3 Bölme

der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere,

P(x) : Bölünen polinom

Q(x) : Bölen polinom

B(x) : Bölüm polinom

K(x) : Kalan polinomdur

Ü P(x) = Q(x) B(x) + K(x)

Ü der [K(x)] < der [Q(x)]

Ü K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür

Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]

Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır

Bunun için;

1) Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır

2) Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür

3) Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır

4) Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır

5) Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir

KALAN POLİNOMUN BULUNMASI

Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz

1 Bölen Birinci Dereceden İse

Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine yazılır

P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir

• P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan

Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa

Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur

P(x) polinomunun a(x – b) (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise,

P(x) = a(x – b) (x – c) Q(x) + mx + n olur

P(b) = mb + n (1)

P(c) = mc + n (2)

(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur

Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir

3 Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa

Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur

1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur

2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır

• P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölümünden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır

4 P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+, n > 1)

P'(x) : P(x) polinomunun 1 türevidir)

P(x) = axn + bxm + d ise,

Pı(x) = a nxn–1 + b mxm–1 + 0

Pıı(x) = a n (n – 1)xn–2 + b m(m –1)xm–2 dir

P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise,

P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan

K(x) = (x – a) k2 + k1 olur

G BASİT KESİRLERE AYIRMA

a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur

eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur

Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen de yazılır

Aynı işlemler B için de yapılır Buna göre,

DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER

m > n olmak üzere,

der[P(x)] = m

der[Q(x)] = n olsun

Buna göre,

1) der[P(x) ± Q(x)] = m dir

2) der[P(x) Q(x)] = m + n dir

3) P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm polinomu B(x) ise, der[B(x)] = m – n dir

4) k Î N+ için der[Pk(x)] = k m dir

5) der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır