Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma, Çarpma İşlemleri

Taban Aritmetiği

İki basamaklı bir (ab) sayısı 10a+b şeklinde, üç basamaklı bir (abc) sayısı 100a+10b+c şeklinde, dört basamaklı bir (abcd) sayısı 1000a+100b+10c+d şeklinde çözümlenir ve basamak sayısı arttıkça bu durum benzer şekilde devam eder

Görüldüğü gibi, herhangi bir (abc) sayısının yazılmasında kullanılan rakamla, 10 sayısının kuvvetleri ile çarpılarak değerlendiriliyor

İşte burada bu şekilde bir görev üstlenen 10 sayısına "sayı tabanı" ya da sadece "taban" adı verilir

Dünya genelinde kullanılan sayı sisteminin tabanı 10'dur

(abcde)x sayısında (x taban olmak üzere) x>{a,b,c,d,e} kuralı vardır

Herhangi bir sayı sisteminden Onluk sayı sistemine geçiş

Herhangi bir sayı sisteminden Onluk sayı sistemine geçebilmek için, basamak (hane) çözümlemesi yapılmalıdır n, bir sayı sisteminin tabanını göstermek üzere n >= 2 olacak şekilde bir doğal sayı ise, (abcde)n sayısı onluk sayı sistemine şöyle dönüştürülür

Örnek: (218)9 = ( ? )10 taban dönüşümünü yapalım

81 9 1

( 2 1 8 )9 = 922 + 911 + 908

= 812 + 91 + 18

= 162 + 9 + 8

= 179

Örnek: (305)7 = ( ? )10 taban dönüşümünü yapalım

49 7 1

( 3 0 5)7 = 723 + 710 + 705

= 493 + 70 + 15

= 147 + 0 + 5

= 152

Onluk sayı sİstemİnden Dİğer sayı sİstemlerİne geçİş:

Onluk tabandaki bir sayı diğer tabanlara çevrilirken geçilmesi istenen taban hangi taban ise, onluk tabandaki sayı o sayıya bölünmelidir Bölme işlemi, bölümdeki sayı taban sayısından küçük olana kadar yapılmalıdır Yeni tabandaki sayı, en sondan başlanarak önce bölüm sonra da kalanlar sırasıyla yazılarak elde edilir

Onluk taban dışındakİ bİr tabandan başka bİr tabana geçİş:

Verilen sayı önce Onluk tabana çevrilir Sonra da Onluk tabandaki sayı, geçilmek istenen tabana dönüştürülür Yani, n verilen taban ve m istenen taban ise, dönüşümün mantığı şu şekildedir:

Örnek: (1011)2 = ( ? )7 taban dönüşümünü yapalım

Önce 2 tabanındaki 1011 sayısını Onluk tabana çevirelim

8 4 2 1

( 1 0 1 1 )2 = 231 + 220 + 211 + 201 = 81 + 40 + 21 + 11

= 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Şimdi de Onluk tabandaki 11 sayısını 7 tabanına çevirelim 11 sayısını, 7' ye böldüğümüzde, bölüm 1 ve kalan da 4 olacağından,

(11)10 = (14)7

sonucunu elde ederiz Dolayısıyla, (1011)2 = (14)7 olarak bulunur

Onluk taban dışındakİ tabanlardakİ sayıların teklİğİ veya çİftlİğİ:

Sayının tabanı çift ise, sayının son rakamına (birler basamağındaki rakamına) bakılarak karar verilir Şayet sayının son rakamı çift ise, sayı çifttir Şayet sayının son rakamı tek ise, sayı tektir Örneğin, (12345)8 = Tek, (1236)8 = Çift olur

Sayının tabanı tek ise, sayının rakamları toplamına bakılarak karar verilir Şayet sayının rakamları toplamı çift ise, sayı çifttir Şayet sayının rakamları toplamı tek ise, sayı tektir Örneğin, (234)7 = Tek, (2361)7 = Çift olur

Onluk taban dışındakİ tabanlarda arİtmetİk İşlemler:

Toplama İşlemİ:

Örnek: (101)2 + (11)2 = ( ? )2

( 1 0 1 )2

+ ( 1 1 )2

__________

( 1 0 0 0 )2

İkilik tabanda 1 ile 1' in toplamı 10' dır Dolayısıyla, ilgili basamağa 0 yazılır ve 1 sayısı bir önceki basamağa eklenir

Örnek: (234)5 + (143)5 = ( ? )5

Birler basamağının toplamı, 4 + 3 = 7' dir 7, 5 tabanında 12' dir Dolayısıyla, birler basamağına 2 yazıp, beşler basamağına 1 ekleriz

Beşler basamağının toplamı, 3 + 4 + 1 (birler basamağından eklenen) = 8 olur 8, 5 tabanında 13' tür Dolayısıyla, beşler basamağına 3 yazıp, yirmibeşler basamağına 1 ekleriz

Yirmibeşler basamağının toplamı, 2 + 1 + 1 (beşler basamağından eklenen) = 4 olarak bulunur

Sonuç olarak, toplam (432)5 olur

Çıkarma İşlemİ:

Örnek: (132)5 - (23)5 = ( ? )5

Birler basamağının farkı, 2' den 3 çıkartılamayacağı için, beşler basamağından 1 alınmalıdır (yani, 5 alınmalıdır) Bu durumda, 7' den 3 çıkartılarak 4 bulunur

Beşler basamağından 1 alındığı için, burada 2 kalmıştır Böylece, 2' den 2 çıkartıldığında 0 kalır

Yirmibeşler basamağındaki 1 sayısından birşey çıkartılmadığı için aynen alınır

Sonuç olarak, fark (104)5 bulunur

Çarpma İşlemİ:

Örnek: (144)5 x (23)5 = ( ? )5

(144)5 x (23)5 = (144)5 x (3)5 + (144)5 x (2)5 = ( 1 0 4 2 )5

+ ( 3 4 3 )5

= ( 1 0 0 2 2 )5

Çarpma işleminin mantığı, onluk tabandaki çarpma işlemine çok benzer 5 tabanındaki 144 ile 3' ün çarpımı şöyle yapılır:

Birler basamağı: 4 ile 3' ün çarpımı 12' dir Birler basamağına 2 yazılır ve 10 sayısının içinde 5 sayısı 2 tane olduğu için, beşler basamağına 2 aktarılır

Beşler basamağı: 4 ile 3' ün çarpımı 12' dir ve buna birler basamağından aktarılan 2 sayısı da ilave edilerek 14 elde edilir Beşler basamağına 4 yazılır ve 10 sayısının içinde 5 sayısı 2 tane olduğu için, yirmibeşler basamağına 2 aktarılır

Yirmibeşler basamağı: 1 ile 3' ün çarpımı 3' tür ve beşler basamağından aktarılan 2 sayısı da ilave edilerek 5 elde edilir 5 tabanında 5, 10 olduğu için yirmibeşler basamağına 0 ve yüzyirmibeşler basamağına da 1 yazılır

Örnek: ( 25m0 )6 = ( 642 )10 ise, m = ?

216 36 6 1

( 2 5 m 0 )6 = ( 642 )10

2162 + 365 + 6m + 10 = 642

432 + 180 + 6m + 0 = 642

612 + 6m = 642

6m = 642 - 612

6m = 30

m = 5

Örnek: ( 102 )m + ( 145 )m = ( 251 )m ise, m = ?

m2 m 1 m2 m 1 m2 m 1

( 1 0 2 )m + ( 1 4 5 )m = ( 2 5 1 )m

( m21 + m0 + 12 ) + ( m21 + m4 + 15 ) = m22 + m5 + 11

m2 + 2 + m2 + 4m + 5 = 2m2 + 5m +1

2m2 + 4m + 7 = 2m2 + 5m + 1

4m +7 = 5m + 1

7 - 1 = 5m - 4m

6 = m

Örnek: ( 124 )5 + ( 103 )5 = ( m2n )7 ise, m = ?

( 124 )5 + ( 103 )5 = ( 232 )5 bulunur ( 232 )5 sayısını onluk tabana çevirelim

25 5 1

( 2 3 2 )5 = 252 + 53 + 12 = 50 + 15 + 2 = 67 olur

Şimdi de onluk tabandaki 67 sayısını 7' lik tabana çevirelim

67 : 7 = 79 + 4 olur Bölüm 9 ve kalan 4 dir

9 : 7 = 71 + 2 olur Kalan 2 ve bölüm 1 olur En sondaki bölümle kalanlar tersten yazılarak, ( 67 )10 = ( 124 )7 bulunur

Buradan,

( m2n )7 = ( 124)7

olduğundan, m = 1 bulunur

TABAN ARİTMATİĞİ

Taban Aritmetiği

Sayılar konusunda, iki basamaklı bir ( ab ) sayısının 10a + b şeklinde,

üç basamaklı bir ( abc ) sayısının 100a + 10b + c şeklinde,

dört basamaklı bir ( abcd ) sayısının 1000a + 100b + 10c + d şeklinde

çözümlendiğini ve basamak sayısı arttıkça bu durumun benzer şekilde devam ettiğini öğrenmiştik

Görüldüğü gibi, herhangi bir ( abc ) sayısının yazılmasında kullanılan rakamlar,

10 sayısının kuvvetleri ile çarpılarak değerlendiriliyorlar

İşte burada bu şekilde bir görev üstlenen 10 sayısına sayı tabanı ya da sadece taban adı verilir

Kullandığımız sayı sisteminin tabanı 10 ' dur

Taban olarak 10 sayısının yerine herhangi bir başka sayma sayısı da kullanılabilir

Taban Aritmetiği konusunda, bununla ilgili problemleri inceleyeceğiz

Herhangi bir " p " tabanında yazılmış bir sayının 10 tabanında karşılığını bulmak:

Bir sayının herhangi bir " p " tabanında yazıldığı belirtileceği zaman, ( abc )p yazılışı kullanılır

Bu sayının 10 tabanındaki karşılığını bulmak, bu sayıyı çözümlemek demektir

Bir " p " tabanında yazılmış bir sayının çözümlenmesi işlemi, 10 tabanındaki çözümleme işlemi gibidir Sadece 10 sayısı yerine " p " sayısı kullanılır

İki basamaklı bir ( ab )p sayısı ap + b şeklinde,

üç basamaklı bir ( abc )p sayısı ap2 + bp + c şeklinde,

dört basamaklı bir ( abcd )p sayısı ap3 + bp2 + cp + d şeklinde çözümlenir ve

basamak sayısı arttıkça bu durum benzer şekilde devam eder

( abcd )p = ap3 + bp2 + cp + d

ÖRNEKLER :

1) ( 702 )9 = 792 + 09 + 2 = 781 + 0 + 2 = 567 + 2 = 569

2) ( 702 )8 = 782 + 08 + 2 = 764 + 0 + 2 = 448 + 2 = 450

3) ( 343 )5 = 352 + 45 + 3 = 325 + 20 + 3 = 75 + 23 = 98

4) ( 1011 )2 = 123 + 022 + 12 + 1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

5) ( 1011 )3 = 133 + 032 + 13 + 1 = 27 + 0 + 3 + 1 = 31

6) ( 1000 )7 = 173 + 072 + 07 + 0 = 343 + 0 + 0 + 0 = 343

10 tabanında yazılmış bir sayının bir " p " tabanında yazılışını bulmak :

10 tabanında yazılmış sayı A olsun A sayısının p tabanındaki yazılışını bulmak için, A sayısı p ile bölünür Bu bölmede elde edilen bölüm, p sayısına eşit ya da p sayısından büyükse, bölüm p ile bölünür Bu işleme, elde edilen bölüm p sayısından küçük oluncaya kadar devam edilir Elde edilen bölüm p sayısından küçük olduğu zaman, bu bölüm ve tüm bölme işlemlerindeki kalanlar, sondan başa doğru, ilk bölme işlemindeki kalan birler basamağına gelecek şekilde sıralanır Böylece A sayısının p tabanında yazılışı elde edilmiş olur

Bu yolla 96 sayısının 8 , 7 ve 6 tabanlarındaki yazılışlarını ayrı ayrı bulalım

1) 96 sayısının 8 tabanında yazılışı:

96 sayısı 8 ile bölününce bölüm 12, kalan 0 olur

96 = 8 12+ 0

Bölüm olan 12 sayısı 8' den büyüktür 12, 8 ile bölünür Bu bölme işleminde de bölüm 1, kalan 4 olur

12 = 8 1 + 4

Şimdi bölüm olan 1 sayısı 8' den küçüktür

Son bölüm olan 1 sayısı en başa, ilk kalan olan 0 sayısı en sona gelecek şekilde, 1, 4 ve 0 sayıları yanyana yazılır Böylece 96 sayısının 8 tabanında yazılışı 140 olarak elde edilmiş olur

96 = ( 140 )8

2) 96 sayısının 7 tabanında yazılışı:

96 = 7 13 + 5

13 = 7 1 + 6

96 = ( 165 )7

3) 96 sayısının 6 tabanında yazılışı:

96 = 6 16 + 0

16 = 6 2 + 4

96 = ( 240 )6

Bir bölme işleminde, kalan daima bölenden küçüktür Buna göre, bir sayının bir p tabanındaki yazılışında, kullanılan sayıların hepsi " p " den küçük olmalıdır

( abcd )p yazılışında a, b, c ve d, " p " den küçük sayılar olmalıdır

Örneğin ( 240 )3 yazılışı yanlıştır, çünkü sayı tabanı 3 olduğu halde, sayı yazılırken üçten büyük olan 4 kullanılmıştır

Bunun gibi, ( 2406 )6 yazılışı da yanlıştır, çünkü sayı tabanı 6 olduğu halde, sayı yazılırken de 6 kullanılmıştır

Herhangi bir p tabanında yazılmış ondalık bir sayının 10 tabanında karşılığını bulmak:

10 tabanında yazılmış bir ondalık sayı, örneğin 37,254 sayısı aşağıdaki gibi çözümlenir :

37,254 = 3 10 + 7 + 2 10-1 + 5 10-2 + 4 10-3

Bunun gibi, herhangi bir p tabanında yazılmış ondalık bir sayının 10 tabanındaki karşılığını bulmak, yani bu sayıyı çözümlemek için, taban olan p sayısı, yukarıdaki açılımda 10 sayısının kullanıldığı gibi kullanılır Örneğin ( 37,254 )8 = 3 8 + 7 + 2 8-1 + 5 8-2 + 4 8-3 = 31,3359375 olur

( ab,cde )p = ap + b + cp-1 + dp-2 + ep-3

( ab,cde )p yazılışında da a, b, c, d ve e, " p " den küçük sayılar olmalıdır