Polinomlar İle İlgili Çözümlü Sorular

Polinomlar İle İlgili Çözümlü Sorular
Polinomlar İle İlgili Çözümlü Sorular
polinomlar lise örnek ve çözümlü sorular
Polinomlar Sorular ve Çözümleri
polinomlar soru ve cevaplar

ao, a1, a2 an R ve n - N olmak üzere

P(x) = an xn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + + a1x + ao biçimindeki çok terimlilere polinom denir
3x3 + 2x2 – 5x + 3 bir polinomdur
2 x4 – 3x2 – 6x + 3 bir polinomdur
–3 x2 + 5x – 1 polinom değildir
x3 – x–2 + x + 4 polinom değildir
Bir polinomun derecesi en büyük dereceli terimin derecesidir
Örneğin x3 – 3x2 + 4 üçüncü dereceden bir polinomdur
P(x,y) = x5 + x2y2+ x4y2 + y3 – x gibi iki bilinmeyenlerin üsleri toplamıdır
Örneğin yukarıdaki polinomda x4y2 teriminin derecesi 4+2 = 6 dır
Bir P(x) polinomunun derecesini d ( P(x) ) biçiminde göstereceğiz
Örneğin, x4 – 2x3 + 5x2 + x + 3 ise
d ( P(x) ) = 4 dür

İki polinomun eşitliği (denkliği):

O iki polinomun derecelerinin aynı ve aynı dereceden terimlerinin katsayılarının eşitliği ile tanımlanır
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Q(x) = 2x2 – 3x + 4
iken,
P(x) = Q(x) ise:
ax3 + bx2 + cx + d = 2x2 – 3x + 4 den
a = 0, b = 2, c = –2 ve d = 9 bulunur

POLİNOMLARDA TOPLAMA – ÇIKARMA

Toplama ve çıkarma aynı dereceden terimlerin toplama veya çıkarılması ile yapılır

ÖRNEK :
P(x) = 2x3 + 3x2 – 5x + 4
Q(x) = 5x2 + 6x2 + 5
ise P(x) + Q(x) ve P(x) – Q(x) ifadelerinin eşitlerini bulunuz?

Çözüm :
P(x)+Q(x) = (2x3 + 3x2 –5x + 4) + 5x3+6x2+5
= 7x3 + 9x2 – 5x + 9
P(x)-Q(x) = (2x3 = 3x2 – 5x+4) – (5x3+6x2+ 5)
= 2x3 + 3x2 – 5x + 4 – 5x3 – 6x2 – 5
= –3x3 – 3x2 – 5x – 1

POLİNOMLARDA ÇARPMA

a) Tek terimli bir polinomun çok terimli bir polinomla çarpımını yapmak için çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği uygulanır
Örneğin;
3x2(2x3 – 3x2 + 5x – 3) = 6x5 – 9x4 + 15x3 – 9x2 dir

b) Çok terimlilerin çarpımında, birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimi ile ayrı ayrı çarpılır Bunların toplamı alınır
Polinomların çarpımında, çarpımın derecesi, çarpanların dereceleri toplamına eşittir
d(P(x) Q(x)) = d(P(x) + d(Q(x) ) dır

ÖRNEK :
P(x) = x2 – 2x + 1
Q(x) = x3 – 3x2 ise P(x) Q(x) = ?

Çözüm :
P(x) Q(x) = (x2 – 2x + 1) (x3 – 3x2)
= x5 – 3x4 – 2x4 + 6x3 + x3– 3x2
= x5 – 5x4 = 7x3 , 3x2

ÖRNEK :
P(x) = x3 – 7x
Q(x) = x3 + 7x ise P(x) Q(x) = ?

Çözüm :
P(x) Q(x) = (x3 – 7x) (x3 + 7x)
= x6 + 7x4 – 7x4 – 49x2
= x6 – 49x2

ÖRNEK :
P(x) = x12 + x3 + x2 + 2x + 1
Q(x) = xn + xn–1 + x
( P(x) Q(x) ) ın derecesi 15 ise n kaçtır?

Çözüm :
d ( P(x) Q(x) = d ( P(x) ) + d(Q(x)) olduğu için
15 = 12 + n  n = 3 tür

ÖRNEK :

polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm :
n + 24 ve 8n doğal sayı olmalıdır Buradan n = 2 ise
2+24 = 1 ve 82 = 4 bulunur
O halde polinom
P(x) = 3x + 2x4 = 3x2 + 4 biçimindedir Azalan kuvvetlere göre sıralanırsa
P(x) = 2x4 + 3x2 = 3x + 4 dür
P(x) in derecesi 4 olarak bulunur

Polinomlarda bazı özel çarpımlar vardır Bunlara özdeşlikler de denir Bu çarpımları ezbere bilmek gerekir Bunları tersinden kullanarak çarpanlara ayırmaları yaparız

ÖZDEŞLİKLER :

1) (x – y) (x + y) = x2 – y2
2) (x – y) (x2 + xy + y + y2
3) (x – y) (x3 + x2y + xy2 + y4) = x4 – y4
4) Genel olarak
(x–y) (xn–1 + xn–2y + xn–2 y2 ++ xyn–2 + yn–1)=xn–yn dir
5) x + y ≠ 0 koşulu ile
(x + y)0 = 1
(x + y)1 = x + y
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(iki terimli toplamın karesi: birincinin karesi + birinci ile ikincinin çarpımının iki katı + ikincinin karesidir)
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(İki terimin toplamının küpünü siz yukarıdaki gibi ifade edin
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 dür
Terimlerde xin üzeri bir azalırken y nin üzeri bir artarak sıra ile yazıldığına dikkat ediniz Kat sayıları paskal üçgeninden bulunur
Paskal üçgeni:

Örneğin (x + y)5 in açılımı istense 5 derece (6 sıra) karşısında bulunan sayılar sıra ile katsayı olarak alınırlar ve,
(x+y)5 = x5 + 5xy4 + 10x3Y2 + 10x2y3 = 5xy4 + y5 olarak bulunur
6) x – y ≠ 0 için
(x – y)0 = 1
(x – y)1 = x – y
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

alıntı