Bir Doğal Sayının Doğal Sayı Kuvvetini Bulma

Bir Doğal Sayının Doğal Sayı Kuvvetini Bulma
Bir Doğal Sayının Doğal Sayı Kuvvetini Bulma

DOÐAL SAYILAR
Sayma sayýlarý kümesine {1,2,3,…} sýfýrý da katarsak doðal sayýlar oluþur Doðal sayýlar ‘N’ harfi ile gösterilir:
N={0,1,2,3,…10,…100,…}

SAYI DOÐRUSU
Doðal sayýlarýn sýfýrdan baþlayarak eþit aralýklarla iþaretlendiði doðruya sayý doðrusu denir
Her doðal sayý:
●Solundaki sayýdan büyük,
●Saðýndaki sayýdan küçüktür

ARDIÞIK SAYILAR
Kendisinden önce ve sonra gelen sayýlara bir kural ile baðlý olan sayýlara ardýþýk sayýlar denir
Ardýþýk doðal sayýlar:
1 fazla 1 fazla 1 fazla

0 1 2 3
Ardýþýk çift doðal sayýlar:
2 fazla 2 fazla 2 fazla

0 2 4 6
Ardýþýk tek doðal sayýlar:
2 fazla 2 fazla 2 fazla

1 3 5 7
DOÐAL SAYILARDA SIRALAMA
●Basamak sayýsý diðerinden büyük olan sayý diðerinden büyüktür
108>87
●Basamak sayýlarý ayný ise ; en büyük basamaktan baþlanarak sýrayla ayný adlý basamaklar karþýlaþtýrýlýrAyný basamaktaki sayýlardan hangisi büyükse o sayý büyüktür
685>392

ÝKÝ DOÐAL SAYI ARSINDAKÝ SAYILARIN SAYISINI BULMA
Ýki doðal sayý arasýndaki sayýlarýn sayýsý þu formülle bulunur:
-1
ÖRNEK 1: 5 ile 15 arasýnda kaç doðal sayý vardýr?
ÇÖZÜM: 15-5=10 10-1=9 tane doðal sayý vardýr
ÖRNEK 2: 305 ile 601 arasýnda kaç doðal sayý vardýr?
ÇÖZÜM: 601-305= 296 296-1=295 tane doðal sayý vardýr
ÖRNEK 3: 447 ile 567 arasýnda kaç doðal sayý vardýr?
ÇÖZÜM : 567-447=120 120-1=119 tane doðal sayý vardýr

BASAMAK DEÐERÝ
Rakamlarýn sayýda bulunduðu basamaða göre aldýðý deðere basamak deðeri denir
4 5 2 3 Basamak deðeri
3 = 31
20 = 210
500 = 5100
4000 = 41000
Görüldüðü gibi rakamlarýn basamak deðeri,sayý deðeri ile bulunduðu basamaðýn çarpýmýna eþittir
Ek Bilgi
*Bir sayýnýn
Birler basamaðý 1 artar veya eksilirse sayý 1 artar veya eksilir
Onlar basamaðý 1 artar veya eksilirse sayý 10 artar veya eksilir
Yüzler basamaðý 1 artar veya eksilirse sayý 100 artar veya eksilir
ÖRNEK 1: 4758 sayýsýnýn yüzler,onlar ve birler basamaklarýný 1’er artýrýrsak sayý kaç artmýþ olur?
ÇÖZÜM: Birler basamaðý: 1 artar
Onlar basamaðý: 10 artar
+ Yüzler basamaðý: 100 artar
O halde sayý : 111 artar
ÖRNEK 2: 2396 sayýsýnýn birler basamaðýný 3,onlar basamaðýný 4,yüzler basamaðýný 2 eksiltirsek sayý kaç eksilir?
ÇÖZÜM : Birler basamaðý: 3 eksilir
Onlar basamaðý: 40 eksilir
+ Yüzler basamaðý: 200 eksilir
O halde sayý : 243 eksilir
ÖRNEK 3: abc üç basamaklý bir sayýdýr Rakamlarýnýn her birinin sayý deðerleri üç artarsa sayý kaç artar?
ÇÖZÜM: Birler basamaðý: 3 artar
Onlar basamaðý: 30 artar
+ Yüzler basamaðý: 300 artar
O halde sayý : 333 artar

SAYI DEÐERÝ
Rakamlarýn sayýda bulunduðu basamaða baðlý olmadan gösterdiði deðere sayý deðeri denir
4 5 2 3 Sayý deðeri
3
2
5 4
Ek Bilgi
*Bir basamaklý sayýlarýn rakamlarýnýn basamak deðerleri ile sayý deðerleri aynýdýr
*Ýki ve daha çok basamaklý sayýlarýn rakamlarýnýn sayý deðerleri toplamý sayýnýn kendisine eþit deðildir
ÖRNEK 1: 3948 sayýsýnda 9 rakamýnýn basamak deðeri ile sayý deðerinin farký nedir?
ÇÖZÜM : 3948
Basamak deðeri : 900
Sayý deðeri : 9
O halde fark : 891
ÇÝFT DOÐAL SAYILAR
Birler basamaðýnda 0,2,4,6,8 rakamlarýndan biri bulunan doðal sayýlara çift doðal sayýlar denir
Çift doðal sayýlar kümesi:
Ç:
Ek Bilgi
* sýfýr çift doðal sayýdýr
*Çift doðal sayýlar iki ile kalansýz bölünürler
*n N ise , 2n daima çift doðal sayýdýr
TEK DOÐAL SAYILAR
Birler basamaðýnda 1,3,5,7,9 rakamlarýndan biri bulunan doðal sayýlara tek doðal sayýlar denir
Tek doðal sayýlar kümesi:
T:
Ek Bilgi
*En küçük tek doðal sayý 1’dir
*Tek doðal sayýlar 2 ile bölündüðünde 1 kalanýný verir
*n N ise, 2n+1 daima tek doðal sayýdýr

Ek Bilgi
*Ç + Ç = Ç *Ç Ç = Ç
*Ç + T = T *T Ç = Ç
*T + T = Ç *T T = T
ÖRNEK 1: 2n + 4 sayýsý tek doðal sayýmýdýr?
ÇÖZÜM : 2 n + 4

Ç + Ç = Ç
2n + 4 çift doðal sayýdýr
ÖRNEK 2:x tek sayý ise 3x + 4 sayýsý tek doðal sayýmýdýr?
ÇÖZÜM : 3 x + 3
↓ ↓ ↓
T T + T

T + T = Ç
3x + 3 çift doðal sayýdýr
ÖRNEK 3: x çift y tek doðal sayý ise ,
x2 +y2 çift doðal sayýmýdýr?
ÇÖZÜM : x2 + y2
↓ ↓
x x + y y
↓ ↓ ↓ ↓
Ç Ç + T T

Ç + T = T
x2 + y2 tek doðal sayýdýr
ÝKÝ TEK DOÐAL SAYI ARASINDA KAÇ TEK DOÐAL SAYI VARDIR?
ÖRNEK : 7 ile 29 tek doðal sayýlarý arasýnda kaç tek doðal sayý vardýr?
Uyarý
Ýki sayý arasýndaki farkýn yarýsýnýn bir eksiði alýnýr
Büyük sayý - Küçük sayý 1
2
ÇÖZÜM : 29 – 7 = 22 22 : 2 = 11
11 – 1 = 10
ÝKÝ ÇÝFT DOÐAL SAYI ARASINDA KAÇ ÇÝFT DOÐAL SAYI VARDIR?
ÖRNEK : 8 ile 40 doðal sayýlarý arasýnda kaç doðal sayý vardýr?
Uyarý
Ýki sayý arasýndaki farkýn yarýsýnýn bir eksiði alýnýr
Büyük sayý - Küçük sayý
2
ÇÖZÜM : 40 – 8 = 32 32 : 2 = 16
16 – 1 = 15

ÜSLÜ DOÐAL SAYILAR
23, 45, 56, þeklindeki sayýlara üslü doðal sayýlar denir
Üslü Sayýlarýn Özellikleri
1-Bir sayýda üs yazýlmamýþsa üs 1 dir
2 = 21 5 = 51 24 = 241
2-Üssü 0 olan sayma sayýlarý 1 e eþittir
20= 1 50 = 1 00 ≠ 1
3-Üssü bir olan sayýlar tabana eþittir
21= 2 51= 5 01= 1
4-1 sayýsýnýn bütün kuvvetleri 1 dir
10= 1 16= 1 1567 =1
5-Tabanlarý ayný olan üslü sayýlar çarpýlýrken ortak taban yazýlýr, sonra üsler toplanýp üs olarak yazýlýr
Bir Doðal Sayýyý Üslü Biçimde Yazma
ÖRNEK : 5 5 = 25

1çarpan 2çarpan çarpým
Bu örneði incelediðimizde birinci ve ikinci çarpanlarýn eþit olduðunu görüyoruzO halde ; 25 sayýsý , 5 in kendisi ile çarpýmý (karesi) demektirBu çarpma iþlemi ‘52 = 5 5 = 25 ’ þeklinde yazýlýr‘5 in karesi 25 tir ’ diye okunurBu çarpma iþleminde ; 5 e taban , 2 ye üs , 25 e çarpým denir
Üslü Sayýlarda Sýralama
ÖRNEK 1 : 20,21,22,23,24,25 sayýlarýný sýralayýnýz
ÇÖZÜM: 20= 1 , 21= 2 , 22= 4 , 23=8 ,24= 16 , 25= 32 dir 1<2<4<8<16<32 ve 25>24>23>22>21<20
Örnekte görüldüðü gibi tabanlarý eþit olan üslü doðal sayýlardan, üssü büyük olan doðal sayýlar daha büyüktür
ÖRNEK 2: 03,13,23,33,43,53 sayýlarýný sýralayýnýz
ÇÖZÜM: 03= 0 , 13= 1 , 23= 8 , 33=27 , 43= 64 , 53= 125 tir
0<8<27<64<125 ve 53>43>33>23>13>03
Örnekte görüldüðü gibi üsleri eþit olan üslü doðal sayýlardan, tabaný büyük olan doðal sayýlar daha büyüktür
ONLUK SÝSTEMDE ÇÖZÜMLEME
Bir doðal sayýnýn rakamlarýnýn basamak deðerlerinin toplanmasý þeklinde yazýlmasýna çözümleme denir
ÖRNEK:567 sayýsýný çözümleyiniz
ÇÖZÜM:567=(5100)+(610)+(71)
2Yol :567=(5102)+(6101)+(7100)
DOÐAL SAYILARDA TOPLAMA ÝÞLEMÝ
Eleman sayýlarý bilinen ayrýk iki kümenin birleþim kümesinin eleman sayýsýný bulmak için yapýlan iþleme toplama iþlemi denir
Toplama iþlemi aþaðýdaki biçimlerde gösterilir
3 + 4 = 7 3 toplanan
+ 4 toplanan toplanan toplanan toplam
(terim) (terim) 7 toplam

Toplama Ýþleminin Özellikleri
Kapalýlýk Özelliði
N = kümesinde ;
3 N ve 3 + 8 = 11 N
Örnekte görüldüðü gibi iki veya daha fazla doðal sayýnýn toplamý daima doðal sayýdýrBuna doðal sayýlar kümesinin toplama iþlemine görü kapalýlýk özelliði denir
Deðiþme Özelliði
5 + 7 = 12

ise 5 + 7 = 7 + 5

7 + 5 = 12
Toplama iþleminde terimlerin yerleri deðiþirse toplam deðiþmez Buna toplama iþleminin deðiþme özelliði denir
Birleþme Özelliði
7,8,10 deðiþik biçimde gruplandýrarak toplamlarýný bulalým
(7 + 8) + 10 = 15 + 10 =25
7 + (8 + 10) = 7 + 18 = 25

Ýki iþlemin sonucu aynýdýr

(7 + 8) + 10 = 7 + (8 + 10) olur

Bir toplama iþleminde terimler ikiþer ikiþer ya da daha fazla deðiþik biçimde gruplandýrýlýrsa toplam deðiþmezBuna toplama iþleminin deðiþme özelliði denir
Uyarý
Toplama iþleminde deðiþme ve birleþme özellikleri bilinmeyen terimin bulunuþunu ve iþlemi kolaylaþtýrýr

ÖRNEK : 67 + (47+33) toplamýný bulunuz
ÇÖZÜM: 67 + (47+33)= ?

67 + (33 + 47) (Deðiþme özelliði)
(67 + 33) + 47 (Birleþme özelliði)

100 + 47 = 147
Etkisiz Eleman
0 + 8 = 8 + 0 =8
Yukarýda görüldüðü gibi sýfýr ile bir doðal sayýnýn toplamý sayýnýn kendisine eþittir
Doðal sayýlar kümesinde etkisiz eleman sýfýr (0) dýr
ÖRNEK: 10 + n = 10 ise n sayýsý kaçtýr?
ÇÖZÜM:10 ile n nin toplamý yine 10 olduðuna göre 10 sayýsýna n sayýsýnýn bir etkisi olmamýþtýrO halde n = 0
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
ÖRNEK 1:a < 18 + 14 eþitsizliðini saðlayan en büyük a doðal sayýsý kaçtýr?
ÇÖZÜM:a < 18 + 14
a < 32 (32 den küçük olmalýdýr)
a (31,30,29,,0 )
↓
en büyük
a = 31
ÖRNEK 2:a < 17 + 14 eþitsizliðini saðlayan en küçük a doðal sayýsý kaçtýr?
ÇÖZÜM:a < 17 + 14
a < 31
a (32,33,34,…………………)
↓
en büyük
a = 32
ÖRNEK 3:B B B B
B B B
B B
+ B
4 6
ÇÖZÜM: B = 4 olursa ;
4 + 4 + 4 + 4 =16 dýr
O halde : 4 4 4 4
4 4 4
4 4
+ 4
4 9 3 6
B = 4

DOÐAL SAYILARDA ÇIKARMA ÝÞLEMÝ
Eleman sayýlarý bilinen iki ayrýk kümenin farklarýný bulurken yapýlan iþleme çýkarma iþlemi denir
Çýkarma iþlemi aþaðýdaki gibi gösterilir
6 - 4 = 2 6 eksilen
4 çýkan
eksilen çýkan fark 2 fark

Çýkarma Ýþleminin Özellikleri
Kapalýlýk Özelliði
Doðal sayýlar kümesinde kapalýlýk özelliði yoktur Çünkü her çýkarma iþleminin sonucu doðal sayý deðildir
6 – 2 = 4 N
2 – 6 = Doðal sayý deðildir
Deðiþme Özelliði
Doðal sayýlar kümesinde çýkarma iþleminin deðiþme özelliði yoktur
10 – 6 = 4

dur

6 - 10 = 4 deðil
Birleþme Özelliði
Doðal sayýlar kümesinde çýkarma iþleminin birleþme özelliði yoktur
( 9 – 4 ) – 3 9 – ( 4 – 3 )

5 - 3 9 - 1

2 8

olur

Etkisiz Eleman
Doðal sayýlar kümesinde çýkarma iþleminin etkisiz eleman özelliði yoktur
8 – 0 = 8 N
8 – 0 ≠ 0 – 8
0 – 8 = 8 deðil

8 – 1 = 7 N
8 – 1 ≠ 1 – 8
1 – 8 = 7 deðil

ÇÖZÜMLÜ SORULAR
ÖRNEK 1 :Bir çýkarma iþleminde eksilenle çýkanýn toplamý 140 dýr”
Fark 110 olduðuna göre eksilen kaçtýr?
Ek Bilgi
*Çýkan + fark = eksilen
*Çýkan + fark + eksilen = 2 eksilen
ÇÖZÜM:
eksilen + çýkan + fark = 140 + 110 = 250

eksilen + eksilen = 250
2 eksilen = 250
eksilen = 125
ÖRNEK 2 : Bir çýkarma iþleminde eksilen ile farkýn toplamý 101 dirÇýkan 25 olduðuna göre fark kaçtýr?
ÇÖZÜM :
eksilen
eksilen + fark = 101

fark çýkan = 25
101 – 25 = 76 ( farkýn 2 katý )
76 : 2 = 38 fark
ÖRNEK 3 : AB
AB
+ AB
CB5
ÇÖZÜM :
B = 5 olursa , 5 + 5 + 5 = 15 (elde 1 var)
A = 8 olursa , 8 + 8 + 8 =24
24 + 1 ( elde ) = 25 B = 5 olup onlar basamaðýna yazýlýrElde iki de C olur
DOÐAL SAYILARDA ÇARPMA ÝÞLEMÝ
Terimleri eþit olan toplama iþleminin kýsa yoldan yapýlýþýna çarpma denir
Çarpma iþlemi aþaðýdaki gibi gösterilir
3 4 = 12 3 çarpan
4 çarpan
çarpan çarpan çarpým 12 çarpým
Çarpma Ýþleminin Özellikleri
Kapalýlýk Özelliði
4 N 5 N için 4 5 = 20 N
Örnekte görüldüðü gibi iki doðal sayýnýn çarpýmý yine bir doðal sayýdýr
Bu özelliðe,doðal sayýlar kümesinde çarpma iþlemine göre kapalýdýr denir

Deðiþme Özelliði
6 8 = 48

8 6 = 48
Çarpma iþleminde çarpanlarýn yeri deðiþtirilirse çarpým deðiþmez Bu özelliðe çarpma iþleminin deðiþme özelliði denir
Birleþme Özelliði
3 N
4 N için 3 4 10 çarpýmýný iki
10 N deðiþik biçimde yaparsak:
( 3 4 ) 10 3 ( 4 10 )

12 10 3 40

120 120
Sonuçlar eþit olur
Çarpma iþleminde terimler ikiþer gruplandýrýlarak çarpýlýrsa , çarpým deðiþmez Bu özelliðe çarpma iþleminin deðiþme özelliði denir
Ek Bilgi
*Çarpma iþleminde deðiþme ve birleþme özellikleri bilinmeyen terimin bulunuþu
ve iþlemin yapýlýþýný kolaylaþtýrýr
ÖRNEK : ( 4 97 ) 25 çarpýmýný bulalým
ÇÖZÜM :
( 4 97 ) 25

( 97 4 ) 25 ( Deðiþme özelliði )
97 ( 4 25 ) ( Birleþme özelliði )

97 100 = 9700 olur
Etkisiz Eleman
1 8 = 8 1 = 8
12 1 = 1 12 = 12
1 100 = 100 1 = 100
Ýþlemlerde görüldüðü gibi , her sayýnýn 1 ile çarpýmý sayýnýn kendisine eþittir 1 sayýsý çarptýðý sayýyý etkilemez 1 sayýsýna çarpma iþleminin etkisiz elemaný denir

Yutan Eleman
7 0 = 0 7 = 0
0 15 = 15 0 = 0
Her sayýnýn sýfýr ile çarpýmý sýfýrdýrSýfýr sayýsýna çarpma iþleminde yutan eleman denir
Çarpmanýn Toplama Üzerine Daðýlma Özelliði
4 ( 3 + 5 ) 4 ( 3 + 5 )
( 4 3 ) + ( 4 5 )
4 8
12 + 20
32
32
Sonuçlar eþit olduðundan ;

olur

Bu özelliðe çarpmanýn toplama üzerine daðýlma özelliði denir
Çarpmanýn Çýkarma Üzerine Daðýlma Özelliði
4 ( 8 – 2 ) 4 ( 8 – 2 )
( 4 8 ) – ( 4 2 )
4 6
32 8
24
24 Sonuçlar eþit olduðundan ;

olur

Bu özelliðe çarpmanýn çýkarma üzerine daðýlma özelliði denir
☺ÇARPMADA KOLAYLIKLAR
Doðal sayýlarý 10 , 100 , 1000 , … ile çarpmak için sayýnýn saðýna sýfýr sayýsý kadar sýfýr konur
ÖRNEKLER
• 8 10 = 80
• 34 100 = 3400
• 4 1000 000 = 4000 000
Bir doðal sayýyý 10 un kuvvetleri ile çarparken sayýnýn yanýna üs sayýsý kadar sýfýr konulur
ÖRNEKLER:
● 4 102 = 400 ● 7 100 = 7
● 12 103 = 12000 ● 9 101 = 90
Son basamaklarýnda sýfýr bulunan doðal sayýlar çarpýlýrken önce sýfýrlarýn dýþýnda kalan kýsým çarpýlýr , çarpýmýn sonuna çarpanlarýn sonundaki sýfýrlarýn sayýsý kadar sýfýr yazýlýr
ÖRNEKLER
● 60 ● 140 ● 320
x 5 x 80 x 400
300 11200 128000

6 5 14 8 32 4
Bir çift sayýnýn 5 ile çarpýmýný kýsa yoldan bulmak için o sayýnýn yarýsýný 10 ile çarparýz
ÖRNEKLER
● 6 5 = ( 6 : 2 ) 10 = 3 10 = 30
● 38 5 = ( 38 : 2 ) 10 = 19 10 =190
● 640 5 = (640:2) 10=32010 = 3200
Birler basamaðý 5 olan iki basamaklý bir doðal sayýnýn karesi alýnýrken sayýnýn onlar basamaðý kendisinin 1 fazlasý ile çarpýlýr,çarpýmýn saðýna 25 yazýlýr
ÖRNEKLER
● 35 35 = 1225

3 ( 3 + 1 ) = 12

● 65 65 = 4225

6 ( 6 + 1 ) = 42

● 85 85 = 7225

8 ( 8 + 1 ) = 72
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
ÖRNEK 1: ( 43 – 28 ) ( 47 – 29 ) = ?
ÇÖZÜM 1: Önce paranaaa içindeki iþlemler yapýlýr
( 43 – 28 ) ( 47 – 29 ) =

18 18 = 414
ÖRNEK 2: 1 3 = 10
2 4 = 20 ise
4 5 = 41
6 7 iþleminin sonucu kaçtýr?
ÇÖZÜM 2:Önce sayýlar arsýndaki kural bulunurBuradaki kural her sayýnýn kendisiyle çarpýlýp, sonuçlarýn toplanmasýdýrO halde sonuç:
( 6 6 ) + ( 7 7 ) = 36 + 49 = 85

ÖRNEK 3: b > 85 85 eþitsizliðini saðlayan en büyük b doðal sayýsý kaçtýr ?
ÇÖZÜM 3:
b > 85 85
b > 7225
b { 7226 , 7227 , 7228 ,…}

en küçük
b = 7226
DOÐAL SAYILARDA BÖLME ÝÞLEMÝ
6 = 30 iþleminde ‘ ‘ yerine yazýlacak sayýnýn ‘ 5 ‘ olduðunu biliyoruz
Bu iþlemde 5 i bulmak için yapýlan iþleme bölme iþlemi denir
Kalansýz Bölme
Kalaný sýfýr olan bölmeye kalansýz bölme denir
Bölünen 12 3 Bölen
12 4 Bölüm
0 Kalan
Yukarýdaki bölme iþleminde ;
12 = 3 4
olur
Bölünen = Bölen Bölüm
Kalanlý Bölme
Kalaný sýfýrdan farklý olan bölmeye kalanlý bölme denir
Bölünen 17 5 Bölen
15 3 Bölüm
2 Kalan
Yukarýdaki bölme iþleminde;
17 = ( 5 3 ) + 2

Bölünen = ( Bölen Bölüm) + Kalan
Ek Bilgi
*Kalanlý bölmede kalan daima bölenden küçük bir sayýdýr
*Bölmenin saðlamasý;

Bölünen = ( Bölen Bölüm) + Kalan
Bölme Ýþleminin Özellikleri
Kapalýlýk Özelliði
Doðal sayýlar kümesinde bölme iþleminin kapalýlýk özelliði yokturÇünkü her bölme iþleminin sonucu doðal sayý deðildir
8 : 4 = 2 N
4 : 8 = 0,5 N

Deðiþme Özelliði
Doðal sayýlar kümesinde bölme iþleminin deðiþme özelliði yoktur
6 : 3 = 2
‘ dýr

3 : 6 = 0,5
Birleþme Özelliði
Doðal sayýlar kümesinde bölme iþleminin birleþme özelliði yoktur
( 8 : 4 ) : 2 8 : ( 4 : 2 )

2 : 2 8 : 2

1 4
Sonuçlar farklý olduðundan ;

olur
Etkisiz Eleman
Doðal sayýlar kümesinde bölme iþleminin etkisiz elemaný yoktur
7 : 1 = 7 N
7 : 1 ≠ 1 : 7 ‘dir
1 : 7 = 7 deðil

0 : 5 = 0 deðil
0 : 5 ≠ 5 : 0 ‘ dir
5 : 0 = 0 deðil
‘0’ hariç her doðal sayýnýn kendisine bölümü 1’ e eþittir
● 5 : 5 = 1
● 17 : 17 = 1
● 38 : 38 = 1
Bir doðal sayýnýn ‘1’ e bölümü , sayýnýn kendisine eþittir
● 0 : 1 = 0
● 9 : 1 = 9
● 7490 : 1 = 7490
‘0’ ýn sayma sayýlarýna bölümü sýfýrdýr
● 0 : 5 = 0
● 0 : 7891 = 0
● 0 : 2746 = 0
Bir doðal sayý sýfýra bölünemez
● 0 : 0 = ?
Bölünemez
● 25 : 0 = ?
10 , 100 , 1000 , … ile bölmek;
● 10 ‘ a bölerken bir sýfýr silinir
● 100 ’ e bölerken iki sýfýr silinir
● 1000 ‘ e bölerken üç sýfýr silinir

ÇÖZÜMLÜ SORULAR
ÖRNEK 1: 255 : x = 51 iþleminde x yerine hangi sayý yazýlmalýdýr?
ÇÖZÜM 1:
x yerine yazýlacak sayýyý bölme iþleminin saðlamasý eþitliðinden yararlanarak bulalým
Bölünen = Bölen Bölüm

255 = x 51
Bu eþitlikteki iþlem çarpmadýrÇarpmanýn ters iþlemi bölme olduðundan x yerine yazýlacak sayýyý bulmak için bölme yapýlýr
255 = x 51
x = 255 : 51
x = 51 olur
ÖRNEK 2:Bir bölme iþleminde bölünenle bölenin farký 70 bölüm 6 ‘ dýr Bölen sayý kaçtýr?
ÇÖZÜM 2:
Bölünen = Bölen Bölüm

Bölünen = 6 Bölüm
Bölünen = 6 Bölüm ( Bölünen bölümün
6 katýdýr)

Fark = 70

Bölünen sayý:
Bölen sayý :
Bölen 1 kat ise , bölünen 6 kattýr
6 kat - 1 kat = 5 kat farktýr
5 kat = 70
bölen = 1 kat = 70 : 5
bölen = 14
ÖRNEK 3: Kalansýz bir bölme iþleminde bölünen ile bölenin toplamý 300 , bölüm 5 ise bölen kaçtýr?
ÇÖZÜM 3:
Bölünen + Bölen = 300

Bölüm Bölen + Bölen = 300

5 Bölen + Bölen = 300

6 Bölen = 300
Bölen = 300 : 6
Bölen = 50

ÖRNEK 4: Bir bölme iþleminde bölünen 305 , bölüm 30 , kalan 5 ise bölen kaçtýr?
ÇÖZÜM 4:
Bölünen = ( Bölen Bölüm ) + Kalan

305 = ( Bölen 30 ) + 5
305 – 5 = Bölen 30 ( + ‘nýn
- ‘ dir)
300 = Bölen 30
Bölen = 300 : 30 (çarpmanýn tersi bölme)
Bölen = 10 olur
144 36
12 3
16 ?
ÖRNEK 5:

Yukarýdaki sayý matrisinde sayýlar soldan saða bir kurala ,yukarýdan aþaðýya baþka bir kurala göre sýralanmýþtýrBuna göre ? yerine hangi sayý gelmelidir?
144 36 A
12 3
16 ?
1 sütun 2 sütun 3 sütun
ÇÖZÜM 5:
: 4 : 4

1 Satýr : 144 : 4 = 36
2 Satýr : 12 : 4 = 3
Satýr kuralý : 4’e bölmedir
A = 36 : 4 = 9 olmalýdýr
2 Sütun : 36 : 3 = 12
1 Sütun : 144 : 3 = 48 ve 48 : 3 = 16 ‘ dýr
Sütun kuralý : 3’ e bölmedir
? = 3 : 3 = 1

DOÐAL SAYILARLA ÝLGÝLÝ PROBLEMLER
VE ÇÖZÜMLERÝ

1 -) Üç kardeþin yaþlarý toplamý 52 dirOrtanca küçükten 3 yaþ büyük , büyükten 10 yaþ küçük ise, ortanca kaç yaþýndadýr?
ÇÖZÜM:
3 + 3 + 10 = 16 ( fazlalýklar toplamý)
52 – 16 = 36
36 : 3 = 12 küçüðün yaþý
12 + 3 = 15 ortancanýn yaþý

2 -) Canan ile Nur ‘ un paralarý toplamý 1200000 TL ‘ dirCanan Nur ‘a 200000 TL verirse paralarý eþit oluyor Canan parasý kaç TL ‘ dir ?
ÇÖZÜM:
1200000 : 2 = 600000 (paralarý eþit olsaydý her birine düþen pay)
600000 + 200000 = 800000 Canan’ ýn parasý)

3 -) Bir alýþveriþte, 5 düzine bardak alýnmýþtýrBardaklarýn tanesi 125 TL daha ucuz olsaydý 6 düzine bardak alýnabilecektiBuna göre bardaðýn bir tanesi kaç liraya alýnmýþtýr ?
ÇÖZÜM:
5 düzine = 5 12 = 60 adet
6 düzine = 6 12 = 72 adet
72 – 60 = 12
60 125 = 7500 ( 12 bardak parasý )
7500 : 12 = 625 ( ucuz olsaydý 1 bardaðýn parasý )
625 + 125 = 750 ( 1 bardak parasý )

4 -) A ve B þehirleri arasý 720 km ‘dir
A’ dan B’ ye doðru ayný anda bir kamyon ile bir otobüs hareket ediyorKamyonun saatteki hýzý 60 km , otobüsün saatteki hýzý 90 km’ dirOtobüs B þehrine vardýðýnda kamyonun kaç km yolu vardýr ?
ÇÖZÜM:
720 : 90 = 8 ( otobüsün yolculuðu bittiði zaman)
60 8 = 480 (otobüsün yolculuðu bittiðinde kamyon gittiði yol)
720 – 480 = 240 ( kalan yol )

5 -) Aralarýnda 800 km uzaklýk bulunan iki þehirden karþýlýklý hareket eden iki arabadan birinin saatteki hýzý 70 km , diðerininki ise 90 km ‘ dirBu iki araba kaç saat sonra karþýlaþýrlar ?
ÇÖZÜM:
90 + 70 = 160 ( ikisinin bir saatte kât ettiði yol )
800 : 160 = 5 ( karþýlaþacaklarý zaman )

6 -)Bir sütçü litresi 200000 TL
olan 10 litre süte , 6 litre baþka bir süt katarak 2900000 TL ‘ lik bir karýþým hazýrlýyor Karýþýmdaki 6 litrelik sütün litresi kaç TL ‘ dir ?
ÇÖZÜM:
200000 10 = 2000000 ( 10 litrenin tutarý )
2900000 – 2000000 = 900000 ( 6 litrenin tutarý )
900000 : 6 = 150000 (1 litrenin tutarý )

7 -) Bir þoför radyatörüne her iki litre su için bir litre alkol koymaktadýr18 litrelik bir karýþým için bu þoförün kaç litre alkole ihtiyacý vardýr ?
ÇÖZÜM:
2 litre su + 1 litre alkol = 3 litre karýþým
18 litre karþýmda ; 18 : 3 = 6 adet var
6 1 = 6 ( þoförün ihtiyaç duyduðu alkol miktarý)

8 -) Bir bakkal kilogramý 800000 TL olan nohuttan 6 kg , kilogramý 700000 TL olan nohuttan 4 kg , kg ‘ mý 600000 TL olan nohuttan 10 kg karýþtýrarak bir karýþým yapýyor karýþýmýn kilogramý kaç TL olur ?
ÇÖZÜM:
800000 6 = 4800000
700000 4 = 2800000
600000 10 = 6000000
4800000 + 2800000 +6000000=13600000
10 + 4 + 6 = 20
13600000 : 20 = 680000

9 -) Can , Ercan ve Kayacan ‘ýn yaþlarýnýn aritmetik ortalamasý 16 ‘ dýr Can 15 , Ercan 17 yaþýnda olduðuna göre Kayacan kaç yaþýndadýr ?
ÇÖZÜM:
Üçünün yaþ ortalamasý = 16
Üçünün yaþlarý toplamý = 16 3 = 48
Can ve Ercan ‘ýn yaþlarý toplamý =
15 + 17 = 32
Kayacan ‘ýn yaþý = 48 – 32=16

10 -) Bir boyacý iki günde 35 m2 duvar boyuyor Çýraðý ise üç günde 30 m2 duvar boyuyorÝkisi birlikte 12 gün çalýþýrlarsa kaç m2 duvar boyarlar ?
ÇÖZÜM:
Usta 12 günde ; 12 : 2 = 6
6 35 = 210 m2 boyar
Çýrak 12 günde ; 12 : 3 = 4
4 30 = 120 m2 boyar
Ýkisi beraber ; 210 + 120 = 330 m2 boyar

11 -) Mevcudu 42 kiþi olan bir sýnýf , gezi yapmak için bir otobüs kiraladý
Bu geziden 12 kiþi vazgeçince ;
geziye katýlanlarýn her biri , payýna düþenden 3200000 TL fazla ödedi Buna göre otobüs kaç TL ‘ye kiralanmýþtýr ?
ÇÖZÜM:
Geziye katýlacaklardan 12 kiþi ayrýldýðýnda , 42 – 12 = 32 kiþi kalýyor Her biri 3200000 TL fazlalýðý , 12 kiþinin ödemesi gereken para olarak ödüyor
30 3200000 = 96000000
96000000 : 12 = 8000000 ( Ayrýlan olmasaydý herkesin ödeyeceði para )
Otobüsün toplam kirasý =
42 8000000 = 336000000 TL veya
8000000 + 3200000 = 11200000 TL
( Ayrýlmayan kiþilerin ödeyeceði para)
11200000 30 = 336000000 TL ‘ dir

12 -) 34 = y + 40 ise y ‘nin deðeri kaçtýr?
ÇÖZÜM:
34 = 3 3 3 3 = 81 ‘ dir
81 = y + 40 ise
y = 81 – 40
y = 41 olur

13 -) 160 tane ceviz üç kardeþ arasýnda paylaþýlýyorBüyük kardeþ , küçük kardeþten 30 fazla alýyor Ortanca kardeþ ise , büyük kardeþten 10 ceviz az alýyor Buna göre , her birinin payýna düþen cevizi bulunuz
ÇÖZÜM:
120 cevizin paylaþýmý ;

Küçük kardeþ :
Ortanca kardeþ:
Büyük kardeþ :

30 ceviz
Büyük kardeþ ortancadan 20 tane ceviz,
küçükten 30 tane ceviz fazla alýrsa ;
ortanca kardeþ , küçükten 30 – 20 = 10
ceviz fazla alýr Fazlalýklarýn toplamýný
bütünden çýkarýrsak , paylar eþitlenir
30 + 10 = 40 ( fazlalýklar)
160 – 40 = 120
120 : 3 = 40 ( küçük kardeþin payý)
40 + 10 = 50 ( ortanca kardeþin payý)
50 + 20 = 70 ( büyük kardeþin payý)

14 -) Saatteki hýzlarý ortalama 70 km / sa
ve 80 km / sa olan iki otobüs ayný þehirden , ayný anda , zýt yönde , farklý þehirlere gitmek üzere hareket ediyorlar 5 saat sonra , aralarýndaki uzaklýk kaç km olur ?
ÇÖZÜM:
70 + 80 = 150 ( ikisinin 1 saatte aldýðý yol )
150 5 = 750 ( 5 saat sonunda aralarýndaki uzaklýk)

15 -) 98 ile 263 sayýlarý arasýnda kaç tana doðal sayý vardýr ?
ÇÖZÜM:
( Büyük sayý – Küçük sayý ) – 1
( 263 - 98 ) – 1

263 – 98 = 165
165 – 1 = 164