Diferansiyel Denklemleri - Diferansiyel Denklemlerin Tarihsel Gelişimi Hakkında

Diferansiyel Denklemleri - Diferansiyel Denklemlerin Tarihsel Gelişimi Hakkında
Diferansiyel Denklemleri - Diferansiyel Denklemlerin Tarihsel Gelişimi Hakkında
Diferansiyel Denklemlerin Tarihsel Gelişimi

Diferansiyel denklemler konusunda yapılan ilk çalışmalar, 17 yüzyılın ikinci yarısında, diferansiyel ve integral hesabın keşfinden (ortaya çıkmasından) hemen sonra, İngiliz matematikçi Newton (1642-1727) ve Alman matematikçi Leibniz (1641-1716) ile başlar

Daha sonraları, matematik tarihinde büyük isim yapmış olan, İsviçreli matematikçilerden Bernouilli kardeşlerin, 18 yüzyılda da, Euler, Clairaut, Lagrance, D'Alembert Charbit, Monge, Laplace ile 19 yüzyılda da, Chrystal, Cauchy, Jacobi, Ampere, Darboux, Picard , Fusch ve FG Frobenius, diferansiyel denklemler teorisini, bugünkü ileri seviyeye getiren matematikçilerdir

Belli tip diferansiyel denklemlerin, belli şartlar altında bir çözümlerinin mevcut olmasının ispatı, diferansiyel denklemler teorisinde varlık teoremi konusunu teşkil etmekte olup, bu da, ilk olarak 1820 ile 1830 yılları arasında, Fransız matematikçi AL Cauchy tarafından tesis edilmiş ve daha sonra gelenler tarafından geliştirilmiştir

Newton ve Diferansiyel Denklem
İngiliz matematikçi Newton (1642-1727), diferansiyel denklemler üzerindeki çalışmalarına 1665 yılında başlamıştır 1671 yılında yayınladığı bir makale ile, diferansiyel denklemleri 3 ayrı sınıfta göstermiştir Bunlar:

Birinci Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları, dy/dx tipinde olanlardır Burada y, x'in bir fonksiyonudur veya bunun tersi de söz konusudur

İkinci Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları, (dy/dx) = f(x,y) tipinde olanlardır

Üçüncü Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıftaki diferansiyel denklemler ise, kısmi diferansiyel tipinde olanlardır

Leibniz ve Diferansiyel Denklem
Alman filozof ve matematikçi Leibniz (1646-1716), diferansiyel denklemler üzerine çalışmalarına 1673 yılında başlamıştır Bu konudaki çalışmalarını, 1684 ile 1686 yılları arasında yazdığı Aklaerudilorum adında bir eseri ile ortaya koymuştur

Leibniz'in bu eseri, yayınlandığı yıllarda Almanya'da gereken ilgiyi görmemiştir Fakat, İsviçre'de, Jaques ve Jean Bernouilli kardeşler tarafından, ilgiyle incelenmiştir 1690 yılında, Jaques Bernouilli bu konuda önemli bir eser yayınlanmıştır Yine aynı yıllarda; Leibniz ve Bernouilli kardeşler tarafından, diferansiyel üzerinde önemli araştırmalar yapmışlardır Yeni çözüm yolları geliştirmişlerdir Leibniz 1691 yılında; f (x,y) = f (xg (y)) şeklinde olan diferansiyel denklemin çözümünü yapmıştır

Euler ve Diferansiyel Denklem
Alman matematikçi Leonard Euler (1707-1783), 1728 yılında, diferansiyel denklemler üzerinde geniş çalışmalar yapmıştır Diferansiyel denklemlerin derecesini düşürme yöntemlerini geliştirmiştir Seri çözümleri:

(1-x4)-1/2dx + (1-y4)1/2dy = 0

şeklinde olan Abel'in teoreminin cebirsel çözümünü bulmuştur Bu çözüm, eliptik fonksiyonlarda önemli rol oynamıştır

Euler'in Denklemi
ai ler sabit olmak üzere, denklemin genel şekli:

a0xnyn + a1xn-1yn-1 + + an-1 xy + an = q(x)

olan bu denklem, y'ye ve türevlerine göre lineerdir, fakat katsayılar değişkendir