Dikdörtgen - Dikdörtgenin Alanı - Dikdörtgenin Çevresi Dikdörtgenin Köşegen Özelliği

dörtgenlerin çevresi ve alanları konusunda bana yardımcı olurmusunuz matematik performans ödevimde lütfennnnnnnnnnnnnnn

Dikdörtgen, Dikdörtgenin Alanı, Dikdörtgenin Çevresi, Dikdörtgenin Köşegen Özellikleri İle İlgili Konu Anlatımlar (Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar)

DİKDÖRTGEN

Tanım: Her bir açısının ölçüsü 900 olan dörtgendir (Şek22)

*Paralel kenarın tüm özelliklerini taşır

*Köşegen uzunlukları birbirine eşittir

*Kenar uzunlukları a ve b köşegen uzunluğu da e ise e=dir

*Bir dikdörtgenin iç bölgesindeki bir nokta P ise [PA]2+[PC]2=[PB]2+[PD]2 (Şek23)

İSPAT: LK // BC çizelim [PL]2=[PC]2-[LC]2 (1) [PL]2=[PD]2-[DL]2 (2)
[PK]2=[PB]2-[KB]2 (3) [PK]2=[PA]2-[AK]2 (4)
(1) ve (2)den [PC]2-[LC]2 = [PD]2-[DL]2
(3) ve (4)ten [PA]2-[AK]2 =[PB]2-[KB]2 taraf tarafa toplanırsa
[PC]2+[PA]2-[LC]2-[AK]2=[PB]2+[PD]2-[DL]2-[KB]2 [KB]=[LC] ve [KA]=[LD] olduğundan
[PA]2+[PC]2=[PB]2+[PD]2 bulunur 1 Dikdörtgen
Karşılıklı kenar uzunlukları eşit ve bütün açıları 90° olan dörtgene dikdörtgen denir


Dikdörtgen paralelkenarın açıları 90° olan halidir Bu nedenle paralelkenarın sahip olduğu bütün özelliklere sahiptir 2 Dikdörtgenin Alanı ve Çevresi
a Dikdörtgenin alanı farklı iki kenarının çarpımına eşittir
A(ABCD) = a b



b Bütün dörtgenlerde olduğu gibi dikdörtgende deköşegen uzunlukları biliniyor ise alanı,



c Dikdörtgenin çevresi

3 Dikdörtgenin Köşegen Özellikleri
a Dikdörtgende köşegen uzunlukları eşittir
Köşegenler birbirlerini ortalar
|AC| = |BD|
|AE| = |EC| = |DE| = |EB|
b Kenar uzunlukları a ve b olan ABCD dikdörtgeninde köşegen uzunlukları
|AC| = |BD| = Öa2 + b2



c ABCD dikdörtgeninin içinde alınan bir P noktası dikdörtgenin köşeleri ile birleştirilirse|AP|2 + |PC|2 = |PD|2 + |PB|2



P noktası dikdörtgenin dışında olduğunda da aynı özellik geçerlidir

MATEMATİK FORMÜLLERİ - Dikdörtgenin Alanı ve Dikdörtgenin Çevresi

MATEMATİK FORMÜLLERİ - Paralelkenarın Alanı ve Paralelkenarın Çevresi

MATEMATİK FORMÜLLERİ - Üçgenin Alanı ve Üçgenin Çevresi



MATEMATİK FORMÜLLERİ - Dörtkenarın Alanı ve Dörtkenarın Çevresi



MATEMATİK FORMÜLLERİ - Çokkenarın Alanı ve Çokkenarın Çevresi

ÖRTGENLER, DÖRTGENLERİN ÇEŞİTLERİ (PARALEL, EŞKENAR), ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)

Tanım: Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktanın dört doğru parçasıyla birleştirilmesinden elde dilen çokgene DÖRTGEN denir

A,B,C,D noktalarına dörtgenin köşeleri [AB],[BC],[CD],[DA] doğru parçalarına ise kenarları denir

ABCD dörtgenin kenar uzunluklarını [AB]=a , [BC]=b , [CD]=c , [DA]=d [AC] köşegen uzunluğunu e , [BD] köşegen uzunluğunu ise f ile göstereceğiz(Şek1)

*Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 3600�dir
m(A)+m(B)+m(C)+m(D)=3600

*Dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 3600�dir
m(A�)+m(B�)+m(C�)+m(D�)=3600

*Bir dörtgenin aynı kenara bitişik iki açının açıortayları arasındaki açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısıdır X= �dir (Şek2)

*Bir dörtgenin karşılıklı iki açısının açıortayları arasındaki açılardan küçüğün ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının yarısıdır X= (Şek3)


*Herhangi bir ABCD dörtgeninde [AC] [DB]= {P} , [AC]=e [BD]=f ise
A(ABCD)= e f sin (Şek4)
*Herhangi bir ABCD dörtgeninde S1S3 = S2S4 tür (Şek5)

*Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir ın köşeleridir (Şek6)



*Bir dörtgende karşılıklı iki açı dik ise, bu açıların bitişik kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir (Şek7)

İspat: ADC üçgeninde [AC]2 =[DA]2 + [DC]2

ABC üçgeninde [AC]2 =[AB]2 + [BC]2

Buradan;
[AB]2 + [BC]2 = [DC]2 + [DA]2 elde edilir

*Köşegenleri birbirine dik olan bir dörtgende karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir (Şek8)

İspat: AOB üçgeninde [AB]2 = [AO]2 + [BO]2 DOC üçgeninde [DC]2 = [DO]2 + [OC]2 taraf tarafa toplanırsa
[AB]2 + [DC]2 = [AO]2 + [DO]2 +[BO]2 +[OC]2 (1)

AOD üçgeninde [AD]2 = [AO]2 + [DO]2 BOC üçgeninde [BC]2 = [BO]2 + [OC]2 taraf tarafa toplarsak
[AD]2 + [BC]2 = [AO]2 +[DO]2 + [BO]2 + [OC]2 (2)

(1) ve (2) eşitliklerinin sağ taraflarının eşit olduğunu görüyoruz Öyleyse;
[AB]2 + [CD]2 = [BC]2 + [DA]2

*Bir dörtgende karşılıklı iki kenar ile köşegenlerin orta noktaları bir paralel kenarın köşeleridir Bu paralel kenarın çevresi, dörtgenin diğer iki kenar uzunluğunun toplamı kadardır (Şek9)

İspat: E,F,G,H sırasıyla [AB],[BD], [CD] ve [AC]�nin orta noktalarıdır

CAB üçgeninde EH // BC CDB üçgeninde GF // BC ise EF // GF (1)

DAC üçgeninde GH // DA DAB üçgeninde EF // DA ise GH // EF (2)

(1) ve (2)�den EFGH paralel kenar olur Bu paralel kenarın çevresi de [AD] + [BC] �dir



*ABCD dışbükey dörtgeninin iç bölgesindeki herhangi bir nokta P ise (Köşegenlerin kesim noktası dışında);
[PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] �dir (Şek10)

İspat: PAC üçgeninde [PA] + [PC] > [AC] ve PBD üçgeninde [PB] + [PD] > [BD] dir Taraf tarafa toplarsak
[PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] bulunur

Not: P noktası köşegenlerin kesim noktası ise bu durumda [PA] + [PB] + [PC] + [PD] = [AC] + [BD] olur

*ABCD dörtgeninin [AC] ve [BD] köşegenlerinin orta noktaları E ve F, [EF]= x ,[BD]= f, [AC]= e ise
�dir (Şek11)

İspat: A ile F� yi; F ile de C� yi birleştirelim[AF]= m,[FC]= n olsun
ABD üçgeninde kenarortay teoremine göre (1)
DBC üçgeninde kenarortay teoremine göre (2)
(1) ve (2)�den
2 (m2+n2)=a2+b2+c2+d2-f2 (3)

FAC üçgeninde kenarortay teoremine göre �dir Buradan 4x2 = 2(m2+n2) -e2 yazılabilir

2(m2+n2) yerine (3)�de bulduğumuz eşitlikle yazarsak 4x2 = a2+b2+c2+d2-f2-e2 olur

Buradan dabulunur



PARALEL KENAR

Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgene paralel kenar denir (Şek12)
[color="#003366"][AB] // [DC] ve [BC] //

Özellikleri:

[color="#003366"]1- Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir [AB]=[DC], [AD]=

2-Karşılıklı açıların ölçüleri eşittir m(A)=m(C), m(B)=m(D)

3-Aynı kenara ait bitişik açılar birbirlerinin bütünleridir
m(A)+m(B)=180, m(B)+m(C)=180, m(C)+m(D)=180, m(D)+m(A)=180

4-Köşegenler birbirlerini ortalar(Şek13) [AO]=[OC], [BO]=[OD]�dir

5-Köşegenler paralel kenarı 4 eş alana ayırırlar
A(OAB)=A(OBC)=A(OCD)=A(ODA)=





*[DC] üzerinde alınan bir P noktasını A ve B ile birleştirdiğimizde elde edilen, PAB�nin alanı ABCD alanının yarısıdır (Şek14)

İspat: P den BC ye bir paralel çizelim PE // AD // BC , PEBC bir paralel kenar olur

A(PEB)=A(PBC) (1) ,

DAEP paralel kenarında A(PAE)=A(DAP) (2)

(1) ve (2)�yi taraf tarafa toplayalım A(PEB)+A(PAE)=A(PBC)+A(DAP) A(PAB)=A(PBC)+A(DAP) Buradan da bulunur

*Herhangi bir ABCD paralel kenarında [AF]=[DF], [BE]=[EC] ise [AK[=[KL]=[LC]�dir (Şek15)

İspat: AKF ile CKB üçgenleri benzerdir (1)
Aynı şekilde CLE ile ALD üçgenleri de benzerdir (2)

[AF]=[CE] idi Buradan AKF ile CLE üçgenleri de benzer olur [AK]=[CL] bulunur Böylece (1) ve (2)�den [AL]=[KC] [AL]=2[AK]=2[CL] den [AK]=[KL]=[LC] elde edilir

*ABCD paralel kenarında köşegen uzunlukları e ve f, kenar uzunlukları a ve b ise
e2+f2 = 2(a2+b2) �dir (Şek16)

İspat: CAB üçgeninde kenarortay teoremini yazalım
�dir ve Buradan da e2+f2 = 2(a2+b2) bulunur


*Bir paralel kenarın kenarlarını aynı yönde hareketle aynı miktarda uzattığımızda elde ettiğimiz dörtgen yine bir paralel kenardır(Şek17)

ABCD bir paralel kenar, [AA�]=[BB�]=[CC�]=[DD�] ise A�B�C�D� bir paralel kenardır

İspat: AA�B� üçgeniyle CC�D� üçgenleri benzerdir(AKA) dan [A�B�]=[C�D�] olur CBB� ile de A�DD� benzerdir Buradan da [A�D�]=[C�B�] karşılıklı kenar uzunlukları eşit olan bir dörtgen elde edilir Bu da paralel kenardır

*ABCD paralel kenarında [EB]=[FC]=[GD]=[HA] ise EFGH dörtgeni bir paralel kenardır(Şek18)

İspat: AEH ile CGF ve EBF ile GDH üçgenleri benzerdir(KAK)

Buradan da [HE]=[FG] ve de [EF]=[GH] elde edilir Bu durum da EFGH bir paralel kenardır

*(Şek19)�da ABCD bir paralel kenar ise [DE]2=[EF][EG]�dir

İspat: DAE ile FCE üçgenleri benzerdir Buradan (1) EAG ile de ECD benzerdir (2)
(1) ve (2)den olur

Buradan da [DE]2=[FE][EG] elde edilir



*Herhangi bir ABCD paralel kenarında [BE]=[EC] ve [DF]=[FC] ise A(AECF)= dir (Şek20)

İspat: A(AEC)= A(ACF)= toplarsak A(ACEF)= bulunur
*Şekil 21 deki gibi bir ABCD paralel kenarında [AE]=[EB] ve [DF]=[AF] ise
A(FEC)= �dir
İspat: A(FAEC)= A(FAE)= taraf tarafa çıkarırsak A(FEC)= bulunur


EŞKENAR DÖRTGEN

Kenar uzunlukları birbirine eş olan dörtgene eşkenar dörtgen denir (Şek22)

*Paralel kenarın tüm özelliklerini taşır

[color="#003366"]*Köşegenler birbirinin dik olarak ortalar ^ [BD] [AO]=[OC] ve [BO]=[OD]�dir

*Köşegen uzunlukları [AC]=e [BD]=f ise A(ABCD)= dir

*Köşegenler açıortaydır

*e2+f2 = 4a2 dir

*Eşkenar dörtgenin alanı yükseklikle bir kenarın çarpımıdır (Şek23)

*Çevresi 4a�dır

*Eşkenar dörtgenin iç bölgesinde alınan bir noktanın tüm kenarlar olan uzaklıkları toplamı 2h kadardır (Şek24)

[KE]+[KG]+[KF]+[KH]= 2h ([HF]=[GE]=h )