Prizmalar Konu Anlatımı

DİK PRİZMALARIN ALAN ve HACİMLERİ
Alt ve üst tabanları paralel eş şekillerden oluşan cisimlere prizma denir Yan yüzeyleri taban düzlemine dik olan prizmalara dik prizma adı verilir

Prizmalarda yan yüzeyleri birleştiren ayrıtlara yanal ayrıt denir
[AA'], [BB'], [CC'], [DD']
yanal ayrıtlardır
Dik prizmalarda yanal ayrıt cismin yüksekliğine eşittir
Cismin yüksekliğine h dersek
h = |AA'| = |BB'| = |CC'| = |DD'| olur

Prizmanın Hacmi

Hacim=Taban Alanı x Yükseklik

Dik prizmanın taban biçimi nasıl olursa olsun, yanal yüzeyi daima bir dikdörtgen olur Yanal yüzü oluşturan dikdörtgenin alt kenarı tabanın çevresi kadardır Diğer kenarı ise h yüksekliği kadar olur
Yanal Alan = Taban çevresi x Yükseklik Bütün dik prizmaların yanal alanı taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır Bütün Alan ise yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır
Tüm Alan = Yanal Alan + 2 Taban Alanı1 Dikdörtgenler Prizması
Dikdörtgenler prizması yan yüzeyleri karşılıklı ikişer ikişer eş olan altı adet dikdörtgenden oluşan prizmadır Burada hacim, taban alanı olan (ab) ile yükseklik olan (c) nin çarpımıdır Alan ise (ab), (bc) ve (ac) yüzey alanlarının ikişer katlarının toplamıdır Dikdörtgenler prizmasında birbirine en uzak iki köşeyi birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denirCisim köşegeni daima prizmanın içinden geçer Yüzeylerinden geçmez Sadece bir yüzeyden geçen köşegene o yüze ait yüzey köşegeni denir Burada köşegenlerin uzunlukları
|AC'| = |A'C| = |BD'| = |B'D| = e (cisim köşegeni)
|BD| = f (Yüzey köşegeni) olsun Bu durumda
Hacim = abc
Alan =2(ab+bc+ac)
Alan = 2 (ab + bc + ac)
Cisim Köşegeni: e =Öa2 + b2 + c2
Yüzey Köşegeni: f = Öa2 + b2
2 Kare Prizma
Tabanı kare olan prizmalara kare prizma denir Yan yüzü dört adet eş dikdörtgenden oluşur

Hacim = a2 hYanal Alan = 4 a h
Alan = 4ah + 2a2Cisim köşegeni : e = Öa2 + a2 + h2
3 Küp
Bütün ayrıtları birbirine eşit olan dik prizmaya küp denir Tüm yüzeyleri kare dir
Hacim = a3
Alan = 6a2
Kübün yüzey köşegenleri birbirine eşittir
Yüzey köşegeni: f = aÖ2
Cisim köşegeni: e = aÖ3
4 Üçgen Prizmalar
Prizmalar tabanlarının şekline göre isim aldıklarından tabanı üçgen olan prizmalara üçgen prizma denir
Üçgen prizmalar tabanını oluşturan üçgene göre isimlenir
a Eşkenar Üçgen Prizma
Eşkenar üçgen prizmanın tabanları eşkenar üçgendir Yan yüzeyleri ise üç tane eş dikdörtgenden oluşurTabanı eşkenar üçgen olduğundan

Tabanı eşkenar üçgen olduğundan
Taban alanıHacimTaban çevresi 3a olduğundan, yanal alan 3ah dır
Buradan tüm alanı
Tüm alanb Dik Üçgen Prizma
Dik üçgen prizmanın tabanı dik üçgendir Yan yüzeyleri ise üç tane dikdörtgenden oluşur

Tabanı dik üçgen olduğundan
Taban alanı =HacimTaban çevresi a + b + c olduğundan,
Yanal alan = (a + b + c) h
Tüm Alan = b c + (a + b + c) h
5 Silindir
Tabanı daire olan prizmalara silindir denir Silindirin yan yüzü dikdörtgen biçimindedir Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik kadar, diğer kenarı ise taban dairesinin çevresi kadardır

Taban alanı= pr2
Hacim= pr2hTaban çevresi 2pr olduğundan yanal alan 2prh olur
Tüm alan = 2prh+ 2prBir dikdörtgen levha bir kenarı etrafında döndürüldüğünde silindir elde edilir

6 Düzgün Çokgen Prizmalar
Tabanı düzgün çokgenlerden oluşan prizmalara düzgün çokgen prizmalar deriz Taban ayrıtları birbirine eşittir Diğer dik prizmalarda olduğu gibi düzgün çokgen prizmalarda da yanal ayrıt aynı zamanda yüksekliktir

• Dik prizmalarda taban şekli ne olursa olsun, hacmin taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ve yanal alanın ise taban çevresi ile yüksekliğin çarpımı olduğunu unutmayalım

EĞİK PRİZMALAR

1 Eğik Kare Prizma

Tabanı, bir kenarı a olan kareden oluşan prizma bir yöne doğru taban düzlemi ile a açısı yapacak kadar eğilirse eğik kare prizma elde edilir
Prizmanın yanal ayrıtlarına l dersek,
Prizmanın yüksekliği h =l sin a olur
Eğik prizmanın yanal ayrıtlarına dik olacak şekilde oluşan kesitine dik kesit denir Eğik kare prizmanın iki yan yüzeyi dikdörtgen, diğer iki yan yüzeyi ise paralelkenardır
Eğik kare prizmanın dik kesitinin bir kenarı taban kenarı a kadar, diğeri ise,
a'=asin a kadardır
Buradan;
Dik Kesit Alanı = Taban Alanı x Sin a
Dik kesit çevresi = 2a +2asin aEğik prizmaların yanal alanlarının toplamı
Yanal alan= Dik kesit çevresi x Yanal Ayrıt bağıntısı ile bulunur Alt ve üst tabanlar ilave edildiğinde tüm alan bulunmuş olur Bütün prizmalarda olduğu gibi eğik prizmalarda da hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ile bulunur

Hacim = Taban Alanı x Yükseklik
Ayrıca dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımı ile de hacim bulunabilir

Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt

2 Eğik Silindir
|AA'| = |BB'| = l
Yanal ayrıtı l olan ve taban düzlemi ile a açısı yapan eğik silindirde yükseklik,
h=lsin a
Dik Kesit Alanı=Taban Alanı x Sin a

Eğik silindirin yan yüz alanı, dik kesit çevresi ile yanal ayrıtının çarpımıdır Bütün eğik prizmalarda olduğu gibi eğik silindir de de hacim, dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımına eşittir
Hacim = Taban Alanı x Yükseklik
Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt

Yanal Alan = Dik Kesit Çevresi x Yanal Ayrıt