Üçgenlerde Uzunluk

Üçgenlerde Uzunluk
DİK ÜÇGEN

Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs diğer kenarlara dik kenar adı verilir Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır şekilde m(A) = 90° [BC] kenarı hipotenüs [AB] ve [AC] kenarları dik kenarlardır

PİSAGOR BAĞINTISI
Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir ABC üçgeninde m(A) = 90°
a2=b2+c2


ÖZEL DİK ÜÇGENLER
1 (3 - 4 - 5) Üçgeni
Kenar uzunlukları (3 - 4 - 5) sayıları veya bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir (6 - 8 - 10) (9 - 12 - 15) gibi



2 (5 - 12 - 13) Üçgeni
Kenar uzunlukları (5 - 12 - 13) sayıları ve bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir (10 - 24 - 26) (15 - 36 - 39) gibi



Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir



Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir



3 İkizkenar dik üçgen
ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a |AC| = aÖ2 m(A) = m(C) = 45° İkizkenar dik üçgende hipotenüs dik kenarların Ö2 katıdır

4 (30° �60° �90°) Üçgeni
ABC eşkenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündüğünde ABH ve ACH (30° - 60° - 90°) üçgenleri elde edilir |AB| = |AC| = a
|BH| = |HC| = pisagordan



(30° - 60° - 90°) dik üçgeninde; 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir 60° nin karşısındaki kenar 30° nin karşısındaki kenarın Ö3 katıdır



5 (30° - 30° - 120°) Üçgeni (30° - 30° - 120°) üçgeninde 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar aÖ3 olur



6 (15° - 75° - 90°) Üçgeni (15° - 75° - 90°) üçgeninde hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek hipotenüs |BC| = 4h olur Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört katıdır


ÖKLİT BAĞINTILARI
Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır



1 Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir

h2 = pk2b2 = kac2 = pa3 ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde ah =bc
Yukarıda anlatılan öklit bağıntıları kullanılarak elde edilir

Genellikle bu öklit bağıntısını kullanmak yerine yukarıdaki öklit bağıntıları ve pisagor bağıntısını kullanarak çözüme gideriz

İKİZKENAR ÜÇGEN
İkizkenar üçgenin tepe açısından tabanına çizilen yükseklik hem açıortay hem de kenarortaydır



1 Bir üçgende açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir |AB| = |AC|
|BH| = |HC|
m(B) = m(C)



2 Bir üçgende açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir |AB| = |AC|
[size="2"][AH] ^
m(B) = m(C)



3 Bir üçgende yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir |AB| = |AC|
m(BAH) = m(HAC)
m(B) = m(C)



İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı olması birçok yerde karşımıza çıktığından çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir

4 İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur



5 İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir



6 İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler



7 İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı ikizkenarlara ait yüksekliği verir
|AB| = |AC| |LC| = |HP| + |KP|



8 İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı ikiz kenarların uzunluğuna eşittir





EŞKENAR ÜÇGEN
1 Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc



2 Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yük seklik Bu durumda eşkenar üçgenin alanı




yükseklik cinsinden alan değeri
Alan(ABC) =

3 Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;





4 Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir



Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninde