Açıortay Ve Kenarortay

• ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI

1 Açıortay
Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir
Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir
Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir
AOB bir açı,
[OC açıortay
m(AOC) = m(COB)
|AC| = |CB| AOC ve BOC eş
üçgenler olduğundan
|OA| = |OB|
2 İç Açıortay Bağıntısı
ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC üçgenlerinin
[BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan
olur (1) ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC üçgeninde [AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir
olur (2) [AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den
olur ABC üçgeninde [AN] açıortay olmak şartıyla
Buradan ve by=cx eşitlikleri de elde edilir 3 İç Açıortay Uzunluğu
ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay
uzunluğuna nA dersek
4 Dış Açıortay Bağıntısı
ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır
5 Dış Açıortay Uzunluğu
ABC üçgeninde [AD] dış açıortayının uzunluğuna
n'A dersek
6 İç açıortayla dış açıortay arasındaki açı
m(DAE)=90° ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki açı için
2a + 2b = 180°
a + b = 90° dir
[DA] ^[AE]

• Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir

P noktasının kenarlara uzaklığı eşittir Merkezden indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur

• ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞNTILARI

1 Ağırlık Merkezi
Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirlerKenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir
ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının
kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi
denir
a Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler
ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların
orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise
eşitlikleri vardır b Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir cABC üçgeninde[AD] kenarortay ve |AG| = 2|GD| olduğundan G noktası
ağırlık merkezidir
d ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir
e ABC üçgeninde |AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF|
eşitliğini sağlayan G noktası ABC
üçgeninin ağırlık merkezidir
2 Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir
ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay
|AG|=|DC|=|BD| 3 Kenarortayların Böldüğü Alanlar
aKenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler
bG ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür c G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür 4ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse |AK| = 3x
|KG| = x
|GD| = 2x eşitlikleri bulunur
K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır
[FE] //[BC] 2[FE]=[BC] a ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur
bKenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür 5 Kenarortay Uzunluğu
ABC üçgeninde A köşesinden çizilen
kenarortayın uzunluğuna Va dersek
Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir
Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa

Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa

6 Dik Üçgende Kenarortaylar
A açısı 90° olanbir dik üçgende kenarortaylar arasında