Açıortay Ve Kenarortay
 

• ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI

1. Açıortay
Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir.
Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir.
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....22%5B1%5D.gif Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir.
AOB bir açı,
[OC açıortay
m(AOC) = m(COB)
|AC| = |CB| AOC ve BOC eş
üçgenler olduğundan
|OA| = |OB|
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....23%5B1%5D.gif 2. İç Açıortay Bağıntısı
ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC üçgenlerinin
[BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....24%5B1%5D.gif olur .....(1) http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....25%5B1%5D.gif ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC üçgeninde [AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir.
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....24%5B1%5D.gif olur .....(2) http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....26%5B1%5D.gif [AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....27%5B1%5D.gif olur ABC üçgeninde [AN] açıortay olmak şartıyla
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...601%5B1%5D.gif Buradan http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....28%5B1%5D.gif ve b.y=c.x eşitlikleri de elde edilir. http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....29%5B1%5D.gif 3. İç Açıortay Uzunluğu
ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay
uzunluğuna nA dersek
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....30%5B1%5D.gif http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....31%5B1%5D.gif 4. Dış Açıortay Bağıntısı
ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır.
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....32%5B1%5D.gif http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....33%5B1%5D.gif 5. Dış Açıortay Uzunluğu
ABC üçgeninde [AD] dış açıortayının uzunluğuna
n'A dersek
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....34%5B1%5D.gif http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....35%5B1%5D.gif 6. İç açıortayla dış açıortay arasındaki açı
m(DAE)=90° http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....36%5B1%5D.gif ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki açı için
2a + 2b = 180°
a + b = 90° dir.
[DA] ^[AE]

• Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir.

P noktasının kenarlara uzaklığı eşittir. Merkezden indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur.

http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....37%5B1%5D.gif

• ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞNTILARI

1. Ağırlık Merkezi
Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler.Kenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.
ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının
kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi
denir.
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....38%5B1%5D.gif a. Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler.
ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların
orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....39%5B1%5D.gif eşitlikleri vardır. http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....40%5B1%5D.gif b. Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir. http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....41%5B1%5D.gif c.ABC üçgeninde[AD] kenarortay ve |AG| = 2|GD| olduğundan G noktası
ağırlık merkezidir.
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....42%5B1%5D.gif d. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....43%5B1%5D.gif e. ABC üçgeninde |AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF|
eşitliğini sağlayan G noktası ABC
üçgeninin ağırlık merkezidir.
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....44%5B1%5D.gif 2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.
ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay
|AG|=|DC|=|BD| http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....45%5B1%5D.gif 3. Kenarortayların Böldüğü Alanlar
a.Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler.
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....46%5B1%5D.gif b.G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür. http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....47%5B1%5D.gif c. G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür. http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....48%5B1%5D.gif 4.ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse |AK| = 3x
|KG| = x
|GD| = 2x eşitlikleri bulunur.
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....49%5B1%5D.gif K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır.
[FE] //[BC] 2[FE]=[BC] a. ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur.
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....50%5B1%5D.gif b.Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür. http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....51%5B1%5D.gif 5. Kenarortay Uzunluğu
ABC üçgeninde A köşesinden çizilen
kenarortayın uzunluğuna Va dersek
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....52%5B1%5D.gif Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir.
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....53%5B1%5D.gif Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....54%5B1%5D.gif
Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....55%5B1%5D.gif
6. Dik Üçgende Kenarortaylar
A açısı 90° olanbir dik üçgende kenarortaylar arasında
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....56%5B1%5D.gif http://www.torpil.com/torpil/oss_oks....57%5B1%5D.gif