Kuantum İle İlgili Tüm Ders Konu Fizik Dersi Detaylı Konu Anlatımı İçerik

BÖLÜM 1

KUANTUM FİZİĞİNE

GİRİŞ

BÖLÜM 2

ATOMLARIN

KUANTUMLU YAPISI

BÖLÜM 3

OPERATÖRLER VE

MATRİSLER

BÖLÜM 4

PERTÜRBASYON

TEORİSİ

KUANTUM FİZİĞİ

BÖLÜM 1

KUANTUM FİZİĞİ-1

BÖLÜM-1

KUANTUM FİZİĞİNE GİRİŞ

1)FİZİK TEORİLERİ:a)Klasik Fizik: Klasik fizik maddeyi makroskopik bir yaklaşımla ele alarak

inceler Klasik mekaniğin kanunları Newton kanunlarıdır Klasik elektromanyetizmanın temel

denklemleri ise Maxwell denklemleridir

b)Görelilik teorisi: Özel görelilik ve genel görelilik olmak üzere iki çeşittir Özel görelilik ışık hızına

yakın hızlardaki hareketleri inceler Genel görelilik ise genel kütleçekimi uzayın eğriliğini inceler Özel

görelilik 1905’de, genel görelilik ise 1915’de Einstein tarafından geliştirilmiştir

c)Kuantum teorisi: 1900 yılında Planck tarafından ortaya atılmıştır Molekül, atom, çekirdek, nükleon,

temel parçacıklar ve kuarklar gibi küçük parçacıkları inceler Bu teori olasılıklar üzerine kuruludur

Dirac, Heisenberg, Schrödinger, Pauli,gibi bilim adamları tarafından geliştirilmiştir Kuantum

mekaniğinin temel denklemi Schrödinger denklemi olarak kabul edilmektedir Parçacıkların

elektromanyetik etkileşmelerini inceleyen teoriye de Kuantum elektrodinamik denmektedir 1960’lı

yıllarda Tomanaga, Schwinger ve Feynman tarafından geliştirilmiştir 1980’li yıllarda da kuarklar

arasındaki etkileşmeyi belirleyen Kuantumkromodinamik (kuantum renk dinamiği) geliştirilmiştir

2000’li yıllar da ise sicim teorisi üzerine çalışılmaktadır

2)PLANCK’IN KUANTUM HİPOTEZİ:Bir boyutta  frekansı ile basit harmonik hareket yapan bir

titreşici sistemin kuantum enerjisi En=nh ile belirlidir Burada n=1,2,3 şeklinde kuntum sayıları h ise

Planck sabitidir (6,6210-34Js) Bu durum enerjinin kesikli yani kuantumlu olduğunu belirtmektedir

3)SİYAH CİSİM IŞIMASI:Bir siyah cisim gelen fotonları (ışık taneciklerini) yutar, sonra onları farklı

frekansta yayınlar Bu durum klasik fizikte Rayleigh-Jeans teorisi ile açıklanmaya çalışıldı, ancak yüksek

sıcaklıklarda başarısız oldu Planck, bu durumu Maxwell-Boltzman dağılımını da hesaba katarak açıkladı

Buna göre Planck’ın ışıma formülü; 1

8 ) ( / 3

3



 kT h T e

d

c

h d 

  

  

dir Burada T(), enerji yoğunluğu, 

frekens, T sıcaklık, c ise ışık hızıdır

4)FOTOELEKTRİK OLAY:Metallerin üzerine ışık göndererek elektron sökme olayıdır 1905 yılında

Einstein tarafından formülüze edilmiştir h=h0+

2

max 2

1 mv şeklindedir Yani gelen fotonun enerjisi,

metalin iş fonksiyonu ile sökülen foto-elektronların maksimum kinetik enerjileri toplamına eşittir Oluşan

foto-akımı durdurmak işin gerekli potansiyele kesme potansiyeli denir

5)COMPTON OLAYI:Bu olay da foto-elektrik olay gibi ışığın tanecikli yapısını doğrulayan olaydır

Olay duran bir elektrona bir fotonun çarpıp saçılması olayıdır Foton saçıldığında dalga boyu değişir Bu

olay 1922’de Compton tarafından keşfedilmiştir Fotonun dalga boyundaki değişim

) cos 1 (

0

    

c m

h

dır Burada , fotonun saçılma açısı, h/m0c ise Compton dalga boyudur (0,024 A0)

6)DE BROGLİE HİPOTEZİ:Hareket eden bütün parçacıklara hareketleri süresince bir dalga eşlik eder,

bu dalgalara de Broglie dalgaları denir Bu dalganı dalga boyu =h/P dir Burada P=mV şeklinde

momentumdur Bu dalgalara kuantum mekaniğinde Schrödinger dalgası ya da olasılık dalgası da denir

7)BOHR TÜMLEME İLKESİ:1928 yılında Niels Bohr; elektromanyetik ışınımın dalga ya da parçacık

görünümünün birbirini tümlediğini belirtti Bu durum kuantum mekaniğinde, dalga+tanecik=Dalgataneciği

şeklinde ifade edilmektedir

8)HEİSENBERG’İN BELİRSİZLİK İLKESİ:Klasik fizik ile kuantum fiziğinin en önemli ayrım

notalarından birisidir Klasik fizikte herhangi iki fiziksel büyüklük eş-zamanlı olarak istenilen duyarlıkla

belirlenebilir anlayışı vardır Kuantum fiziğinde ise bu durum belirsizlik ilkesiyle verilmektedir

Belirsizlik ilkesi; koordinat-ilgili momentum, enerji-zaman ve açısal yerdeğiştirme-ilgili açısal

momentum gibi kavramlar çiftinin eş zamanlı olarak istenen duyarlılıkla belirlenemeyeceğini söyler

Örneğin atom çevresinde hareket eden bir elektronun konumundaki belirsizlik azalırsa, momentumundaki

belirsizlik artar Bunların bağıntıları; qP , tE , L şeklindedir

9)KUANTUM MEKANİĞİNİN POSTÜLALARI:Kuantum mekaniğinde hareketli bir parçacığa eşlik

eden dalga fonksiyonu (x,y,z,t) ile gösterilir ’nin tek başına anlamı, ya da boyutu yoktur (x,y,z,t)

2dV ise t anında parçacığın dV=dxdydz hacim elemanında bulunma olasılığını verir Kuantum mekanik

teori üç ana postüla üzerine kuruludur:

a)0<r< iken (r) sürekli olmalı,0<r< aralığında d(r)/dr sürekli olmalı, riken (r)=0

b)Her fiziksel kavram bir operatör O ile temsil edilir Operatör dalga fonksiyonuna O=o şeklinde

uygulanır Burada o, O operatörünün özdeğeridir

c)Bir operatörün beklenen değeri 



 

 

 





dV

dV O

O

şeklindedir  normalize edilmiş ise sadece pay

kısmı alınır Bunun Dirac gösterimi ise <n’l’m’Onlm> şeklindedir

10)MOMENTUM VE ENERJİ OPERATÖRLERİ:Bir parçacığa eşlik ederek yayılan düzlem dalganın

ifadesi

) ( ) , ( t kx i e t x     şeklindedir Burada dalga sayısı k=p/ ,  açısal hızı da E/ dır Buradan

momentum operatörü x i

P





 

, enerji operatörü de t i

H





 

olarak bulunur

11)OLASILIK AKISI:Bir parçacığın olasılık yoğunluğunun uzayda yer değiştirmesine olasılık akısı

denmektedir Bu durum bir boyutta,

0 ) , ( ) , (   



 t x S

t

t x   

şeklinde belirtilir Bu olasılık akısının ve

yoğunluğunun korunduğunu belirtir

12)SCHRÖDİNGER DENKLEMİ:Bir parçacığın toplam mekanik enerjisi

U

m

p E  

2

2

şeklindedir

Momentum operatörü denklemde yerine konur ve H=E den Schrödinger denklemi bulunur

t

i z y x U

m 

 

      

 ) , , (

2

2

2

zamana bağımlı Schrödinger denklemidir

      E z y x U

m

)) , , (

2

( 2

2 

zamandan bağımsız Schrödinger denklemidir Parçacık ışık hızına yakın

hızla hareket ederse toplam enerjisi E2=P2C2+M0

2C4 şeklindedir Bu durumda parçacığın rölativistik

Schrödinger denklemi

  





  2 0

2

2

2

2 ) ( ) 1 (



c m

t c dir

13)POTANSİYELLER:Schrödinger denklemi genelde üç potansiyel durumu için çözülür

a)U=0 serbest parçacık halienklem bir boyutta

  / 2

2

/ 2

1 ) ( x mE i x mE i e N e N x     çözüme sahiptir Bu

Euler açılımı yardımıyla (x)=Acosk0t+Bsink0t olarak da yazılabilir

b)U=U0 sabit potansiyeli: Eğer E>U0 ise denklem,

x ik x ik e N e N x 1 1

2 1 ) (     şeklindedir Burada

) ( 2 0

1

1 U E m k    dır N1 ve N2 sabitleri sınır koşullarından bulunur Eğer E<U0 ise denklem,

x k x k De Ce x 2 2 ) (    

şeklinde çözüme sahiptir Burada ) ( 2 0

1

2 E U m k    dir Böyle potansiyellere

potansiyel basamağı ve potansiyel engeli denmektedir Sonlu bir potansiyel basamağında olasılık akıları

2

, ,

, ,

, , g y i

g y i

g y i A

m

k

S





den bulunur Buna göre basamağın yansıtma katsayısı; R=Sy/Si, geçirgenlik

katsayısı T=Sg/Si ve toplam R+T=1 dir

c)U=U(x) değişen potansiyeller: Değişen potansiyellere örnek; basit harmonik titreştirici ve Coulomb

potansiyelleridir Bunlar bir katıdaki atomların titreşimi ve atomdaki çekirdeğe bağlı elektronların

hareketini kapsar

14)SONSUZ DERİNLİKTE POTANSİYEL KUYUSUNDA PARÇACIK:Bu potansiyel kuyusu için

sınır koşulları; 0<x<a için U(x)=0, x<0 ve x>a için U(x)= dur Parçacık kuyu içerisinde serbesttir ve

parçacığın Schrödinger denklemi

0 2

2 2

2

  





mE

dx

d

dır Bu denklemin çözümü (x)=Asink0x+Bcosk0x

şeklindedir Burada 2 0

2



mE k 

dir Sınır şartlarından k0a=n (n=1,2,3) ve buradan da enerji

2

2 2 2

2ma

n En

 



olarak bulunur Normalize edilmiş dalga fonksiyonu ise a

x n

a

x n



sin 2 ) (  

olarak

bulunur Burada n kuantum sayısıdır

15)HARMONİK TİTREŞİCİ:Bir boyutta basit harmonik hareket yapan bir sistemin hamiltoniyen

operatörü;

2 2

2

2

1

2

x m

m

p H   

şeklindedir Bunun için Schrödinger denkleminde

x m y

2 / 1











 





ve







n

n

E 2 

değişkenleri değiştirilirse,

) ( ) ( 2

2

2

y y y

dy

d

n n n     











 

denklemi elde edilir Enerji için En=

  ) ( 2

1  n , dalga fonksiyonu için de

2 / 2 ) ( ) ( y

n n e y N y    elde edilir Bu fonksiyonun normalize edilmiş

şekli,

2

2 2 / 1 4 / 1 ) ( ) ! 2 ( ) ( ) ( x

m

n

n

n e x m H n m x 

 

 



    

dır Burada Hn(y)’lere Hermite polinomları denir

Bazıları şöyledir: H0(y)=1, H1(y)=2y, H2(y)=4y2-2, H3(y)=8y3-12y,

BÖLÜM-2

ATOMLARIN KUANTUMLU YAPISI

1)BOHR ATOM MODELİ:Atom modelleri tarihsel sırasına göre; Thomson, Rutherford , Bohr modeli

ve modern (kuantum) atom modeli şeklindedir Bohr modelini 1913’de Neiles Bohr, klasik fizikle

kuantum fiziğinin bir bileşimi şeklinde oluşturmuştur Bohr modeli üç postüla (varsayım) üzerine

kuruludur 1)Elektronlar ışıma yapmadan belirli yörüngelerde hareket edebilirler 2)Kararlı seviyelerde

açısal momentum L=n şeklinde kuantumludur 3)Elektronlar, ancak kararlı seviyeler arasında atlamalar

(geçişler) yaparken ışıma yaparlar Yapılan ışımanın frekensı enerji seviyeleri arasındaki farka, =(Ei-Es)/

h şeklinde bağlıdır

Bohr modeli hidrojen ve tek elektronlu atomlara başarıyla uygulanabilmektedir Merkezkaç ve Coulomb

kuvvetinin etkisindeki elektronun hızı Vn=V1/n şeklinde kuantumlanır Burada V1=ke2/  ve n kuantum

sayısıdır Elektronun yörünge yarıçapı da rn=n2r1 şeklinde kuantumlanır Burada r1= 2 2 /mke  =0,529 A0

şeklinde Bohr yarıçapıdır Elektronun toplam enerjisi ise; 2 2

4 2 1

2 n

m e k En 

 

şeklinde kuantumludur

Buradaki sabit terim E1=13,6 eV olup birinci seviyeden (taban durumu) iyonlaşma enerjisidir Burada m

ise m=memp/(me+mp) şeklinde indirgenmiş kütledir Bu durumda iki seviye arasındaki geçiş frekansı ise

) 1 1 ( 2 2

i s

I

n n h

E   

şeklindedir ve hidrojenin spektrumu buradan incelenir Bu bağıntılara rölativistik

düzeltme ve yörünge düzeltmeleri yapılabilmektedir

2)HİDROJEN ATOMUNUN DALGA MEKANİĞİ:1925 yılında Schrödinger dalga teorisi ortaya

çıkınca atomik yapı da bu yeni teori ile açıklanmak istendi Bu amaçla yapılan teorik çalışmalar deneysel

gözlemlerle çok iyi uyum gösterdi Böylece ortaya çıkan yeni atom modeline dalga modeli ya da

kuantum mekaniksel atom modeli dendi Hidrojen atomu en basit atom ve hidrojen atomunun Coulomb

potansiyeli küresel simetrik olduğu için dalga modelinin en basit uygulamasını oluşturur Hidrojen

atomunda elektronun zamandan bağımsız Schrödinger denklemi ;

0 ) , , ( ) ( 2 ) , , (

2

2

2           r

r

ke E m r

 şeklindedir Dik koordinatlar ile küresel koordinatlar arsında

x=rsincos, y=rsinsin, z=rcos ve dV=r2dr sin d d bağıntıları vardır Küresel koordinatlarda

Schrödinger denkleminin açık şekli

0 ) ( 2

sin

1 ) (sin

sin

1 ) ( 1 2

2 2

2

2 2 2

2

2    











r

ke E m

d

d

r d

d

d

d

r dr

d r

dr

d

r    



  dır Bu denklem

değişkenlerine ayırma yöntemi ile çözülebilmektedir  dalga fonksiyonunun değişkenleri (çarpanları), 

(r,,)=R(r )()() şeklindedir Burada değişkenler 0    r ,     0 ve  2 0   r

aralıklarındadır Bu Schrödinger denkleminde yerine konur ve denklem değişkenlere ayrılırsa:

0

2

) 1 ( 2 ) ( 1

2

2 2

2

2

2  









 

   R

mr

l l

r

ke E m

dr

dR r

dr

d

r



 şeklinde yarıçapa bağlı kısım,

0

sin

) 1 ( ) (sin

sin

1

2

2

  











  



 



 

l m l l

d

d

d

d

şeklinde açıya bağlı kısım ve

0 2

2

2

  



l m

d

d

 şeklinde

azimutal açısına bağlı kısım elde edilir Yarıçapa bağlı kısmın çözümü;

) 2 ( ) 2 (

] )! [( 2

)! 1 ( ) 2 ( ) (

0 0

2 / 1

3

3

0

0

na

zr L

na

Z e

l n n

l n

na

Z r R qj

l na

Zr

nl

















 

 

şeklindedir Burada Lqj ,kuantum sayısı

q=0,1,2 ve j q için Asosiye laguerre polinomudur Açıya bağlı kısmın çözümü ;

  ) (cos

)! (

)! (



2

1 2 ) 1 ( ) ( ,

2 / 1

2 /  

l

l l

m l

l

l m m P

m l

m l l



















 

   

şeklindedir Buradaki Pl,ml(cos) Asosiye legendre

polinomudur Azimutal açısına bağlı kısmın çözümü ise





 l im e  

2

1 ) (

şeklindedir Açılara bağlı

çözümlerin bileşimine Ylm(,) küresel harmonikler denir

Burada, n baş kuantum sayısı,  yörünge kuantum sayısı, m manyetik kuantum sayısıdır

n=1,2,3,,,  =0,1,2,,(n-1), m=-  ,0,+ dir

Hidrojen atomunun enerjisi Bohr modelindeki ile aynıdır Fakat yarıçap hem baş kuantum, hem de

yörünge kuantum sayılarına

  ) 1 ( 3

2

2 0    l l n

Z

a

rn şeklinde bağlıdır Bu yarıçapın beklenen değeridir (<rn

>) Burada a0 Bohr yarıçapı, Z atom numarasıdır Schrödinger denkleminden elde edilen çözümler

birleştirilerek genel çözüm zamana da bağlı olarak; ) , , , ( , , t r m n     şeklinde bulunur Örneğin;

0 / 2 / 3

0

100 ) ( 1 a Zr e

a

Z   

 dır

3)OLASILIK DAĞILIM FONKSİYONU:İstatistik fizikte, olasılık yoğunluğuna bağlı bir olasılık

dağılım fonksiyonu Q(r,,)=(r,,)dV=*  dV ile tanımlanır Burada dV=r2dr sind d dir Bu

durumda oalsılık dağılım fonksiyonu Q(r,,)=

  

  

   

0

2

0 0

) ( ) ( ) ( d P d P dr r p

şeklindedir

4)AÇISAL MOMENTUM:Açısal momentum ifadeleri Schrödinger denkleminin Coulomb potansiyeli

ile çözümünde dalga fonksiyonunun sağlaması gereken sınır koşullarından çıkmaktadır Bu kuantum

mekaniksel teoride yörünge açısal momentumudur  ) 1 (   l l L şeklindedir Burada l yörünge açısal

kuantum sayısıdır yörünge açısal momentumun z bileşeni de  l z m L  dır Burada l m yörünge manyetik

kuantum sayısıdır Bir de elektronun kendi etrafında dönmesi ve yönelimiyle ilgili spin açısal

momentumu vardır Bu da yörünge açısal momentuma benzer olarak  ) 1 (   s s S dir Burada s spin

açısal kuantum sayısıdır S’nin z bileşeni  s z m S  dır Burada ms spin manyetik kuantum sayısıdır ve

elektronlar için 1/2 dir Kuantum mekaniğinde bu açısal momentumların yanısıra; elektronun toplam

açısal momentumu J, çekirdeğin spin açısal momentumu I ve atomun toplam açısal momentumu F

tanımlanmıştır Bunların bağıntıları da diğer açısal momentumlara benzerlik gösterir Atomların spektral

serilerinin adlandırması açısal momentum kuantum sayılarına göre yapılır

5)PAULİ SPİN MATRİSLERİ:Pauli, elektron, proton, nötronvb spin kuantum sayısı ½ olan

parçacıklar için spin matrisleri tanımlamıştır Bu matrisler;















0 1

1 0

x 

,











 



0

0

i

i

y 

,

















1 0

0 1

z 

dır Spin açısal momentumları da Sx=(1/2) x   , Sy=(1/2) y   Sz=(1/2) z   dir

Bu parçacıkların uzayı iki boyutludur ve iki tane spin dalga fonksiyonuna (spinör) sahiptirler Spin

uzayını geren















0

1



(spin yukarı),















1

0



(spin aşağı) şeklinde baz vektörleri vardır Kuantum

sisteminin herhangi bir halindeki spin dalga fonksiyonu, a2+b2=1 olmak üzere,













  

b

a

b a s sm   

şeklindedir Hidrojen atomunun dalga fonksiyonu, konum, zaman ve spine bağlı olarak çok daha geniş

şekilde yazılabilir

6)DİPOL MOMENTLER:Her açısal momentuma bir dipol momenti eşlik eder Dipol momenti de açısal

momentum gibi vektörel bir niceliktir

a)Elektronun dipol momenti:r yarıçaplı Bohr yörüngesinde dolanan bir elektron bir i akımı oluşturur

Bu akım halkasının dipol momenti =iA=(-ev/2r)r2 dir Bu bağıntı L=mvr=  ) 1 (  l l ile

birleştirildiğinde,

) 1 (

2

   l l

m

e

l

 

şeklinde yörünge dipol momenti bağıntısı elde edilir Burada

m

e

B 2

  

Bohr manyetonudur Yörünge dipol momenti, yörünge açısal momentum(L) ve yörünge

Lande çarpanı (g) nı içerecek şekilde

L g B l

l





 

 

olarak da yazılabilir Burada

1 ) / /( ) / (    

  L g B l l   dir Yörünge dipol momentin yörünge açısal momentuma oranına ise yörünge

jiromanyetik oran denir ve  ile gösterilir

Yörünge dipol momentine benzer olarak spin dipol momenti

S g B s

s





 

 

şeklindedir Burada gs=-2

olup, spin Lande çarpanı olarak adlandırılır Elektron için spin kuantum sayısı s=1/2 olduğundan spin

dipol momentunun büyüklüğü B s   3   dir Elektronun spin jiremanyetik oranı gsb/  =s dir

b)Elektronun toplam dipol momenti:Elektronun toplam açısal momentumu S L J

  

  dir Buna göre

toplam dipol moment SJ s LJ l s l j        cos cos       

şeklindedir Burada cosLJ=(J2+L2-S2)/2JL ve

cosSJ=(J2+S2-L2)/2SJ dir Buradan toplam dipol moment, ) 1 (   j j g B j j   olarak bulunur Burada

) 1 ( 2

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1



    

 

j j

l l s s j j g j

dir Toplam açısal kuantum sayısı olan j, ) ( ) ( s l j s l     aralığında

değerler alır

c)Çekirdek dipol momenti:Bir atomun çekirdeği nükleonlardan (proton, nötron) oluşur çekirdek

içerisindeki nötron ve protonlar spin hareketi yaparlar Bu nedenle çekirdek içinde çok sayıda, proton ve

nötron spin dipol momentleri vardır Bunlar çiftlenirler, çiftlenmemiş olarak kalan dipol momentler

çekirdeğin dipol momentini oluşturur Çekirdeğin spin açısal momentumu  ) 1 (   i i I şeklindedir

Benzetme yolu ile çekirdeğin spin dipol momenti

I g N i

i





 

 

olarak bulunur Burada p

N m

e

2

  

nükleer manyetondur

d)Atomun toplam dipol momenti:Atomun elektronlarından ve çekirdeğinden kaynaklanan dipol

momentlerin toplamı i j f         şeklindedir Atomun toplam açısal momentumu  ) 1 (   f f F

şeklinde, f toplam açısal momentum kuantum sayısına bağlıdır f kuantum sayısı ) ( ) ( i j f i j    

aralığında değerler alır Atomun toplam dipol momenti vektör modeli çerçevesinde hesaplandığında

vektörel olarak

F

g B f

f





 

 

şeklinde yazılabilir Burada

) 1 ( 2

) 1 ( ) 1 ( ) 1 (

1836 ) 1 ( 2

) 1 ( ) 1 ( ) 1 (



    





    



f f

j j i i f f g

f f

i i j j f f g g j

i f

dir

7)LARMOR FREKANSI:Bir topacın hareketi incelendiğinde, topacın kendi simetri ekseni etrafında bir

spin hareketi yapmakla birlikte, çekim alanı doğrultusu (düşey) etrafında da bir presesyon hareketi

yaptığı gözlenir Bu hareketin aynısı bir dış manyetik alan içerisine konan manyetik dipol momentlerinde

de gözlenir Manyetik dipol momentlerinin dış manyetik alan etrafındaki presesyon frekansına larmor

frekansı denir Bu temel parçacıkların, atomların, moleküllerin dış manyetik alan içindeki davranışlarını

açıklamada önemli yer tutar Manyetik modelde tork dt S d B s / 0

         dir Presesyon hareketinin

Larmor frekansı spin dipol momenti için 0

0 B B g

s

B s

s 



  

 , yörünge dipol momenti için 0 B l l   

, elektronun toplam dipol momenti için 0 B j j    dır

8)MANYETİK REZONANS:Kuantum sistemlerinin kendilerine özgü özfrekansları vardır Örneğin bir

sistemin larmor frekansı onun öz frekansıdır Larmor frekansı jiromanyetik orana ve dış manyetik alan

şiddetine bağlıdır Kendi öz frekansı ile titreşmekte olan bir kuantum sistemini uyarmak (rezonansa

getirmek) için, B0 alanına dik doğrultuda bir radyo frekansı alanı (rf) uygulanır Bunun için gerekli rf alanı

B(t)=2B1cos1t şeklindedir Bu durumda dipol moment 0=B0 frekanslı ve 1=B1 frekanslı iki torkun

etkisinde kalır Burada 1 değiştirilebilen frekanstır Bu frekans değiştirilerek 1=0 (rezonans şartı)

yapıldığında sistem, B0 etrafında presesyon hareketini sürdürmekle birlikte, B1 etrafında da aynı frekanslı

presesyon yapmaya başlar Bu durumda sistem yeni bir enerji seviyesine geçişe başlar Bu geçişlerde

sistem dışarıdan (rf alanından) enerji soğurur Rezonans şartı sağlandığında sistem bir enerji seviyesinden

diğerine geçmek üzere bir “flip-flop” spin yönünün ters çevrilmesi ()hareketi yapar İşte bu

geçişlere rezonans geçişleri denir Bu olay manyetik alanla oluşturulduğu için buna manyetik rezonans

denir

9)RABİ-REZONANS DENEYİ:Lande spektroskopik yarılma çarpanlarının değerleri, bazı

kuantumelektrodinamik etkiler sonucu Dirac değerlerinden, az da olsa farkederler Bu farklılık kısaca

) 1 (

p

e

l M

m

g   

ve gs=-2,0022 şeklindedir Farklılığı yaratan etkileşmelerin başında; çekirdeğin sonlu

kütle düzeltmesi, elektronun rölativistik kütle ya da enerji düzeltmesi, virtüel ışıma, boşluk kutuplanması,

aynı J değerindeki seviyelerin karışımı (configuration mixing),dir Lande spektroskopik yarılma

çarpanını ölçmek, atomik spektroskopi araştırmalarında önemli yer tutar Bu çarpan 0

0

) / ( B h

g

B 





bağıntısından deneylerle bulunur Burada 0 rezonans frekansıdır Bu da ADMR spektrometresiyle

belirlenebilmektedir

10)BREİT-WİGNER REZONANS FORMÜLÜ VE LORENTZ ÇİZGİ ŞEKLİ: Kuantum

sistemlerinin enerji kuantum seviyeleri arasında yaptığı geçişlerde salınan fotonların genliği sönümlüdür

Atomlarda uyarılma seviyelerinin ortalama ömrü 10-8s kadardır Salınan fotonların genliği As(t)=Aose-(t/2)ei

t şeklinde zamana bağlıdır Kuantum sisteminin

t i e F t F 1

0 ) (    ile dış kaynak tarafından sürülmesi

sonucunda salınımın diferansiyel denklemi;

t i

z

z e F t A i

dt

t dA 1

0 ) ( )

2

1 ( ) ( 



    

şeklindedir Zorlamalı haldeki bu denklemin kararlı hal çözümü

t i

z e

i

iF

t A 1

2 / ) (

) (

0 1

0 

  



 



dır 1=0 durumu rezonans soğurmasıdır Sistemden saçılan ışık şiddeti

genliğin karesiyle orantılıdır Buna göre saçılmaya uğrayan ışık şiddeti;

2 2

0 1

2

0 1 ) 2 / 1 ( ) (

) 2 / 1 ( ) ( ) (

  



 

 

 S S

şeklindedir ve buna Breit-Wigner rezonans formülü denir Bu

bağıntıda 1 ) ( 0   S ve S(1)=L(1) alındığında oluşan fonksiyona Lorentz dağılımı, bunun grafiğine de

Lorentz çizgi şekli denir

11)DİRAC -FONKSİYONU:Kuantum fiziğinde dalga fonksiyonunun iç çarpımı ile ilgili Kronecker-

kavramı vardır Bu kavram; 









    

' 0

' 1

' ' ' n n

n n

n n nn n n 

şeklinde olup, buna  fonksiyonlarının

ortonormallik şartı denir Dirac- ise kesikli değil, sürekli bir fonksiyondur Bu fonksiyon; xx0 da

0 ) ( 0   x x  , x=x0 da (x-x0)= ve





 

 1 ) ( dx x 

dur Bir çok dağılım fonksiyonunun limit hali Dirac-

fonksiyonuna dönüşür Örneğin; Gauss dağılımı



  

 / 2 1

0

lim 1 ) ( x e x 





, Lorentz dağılımı

2 2 0

lim 1 ) (









 



 x

x

şeklindedir Dirac- vektörel gösterimde ise





 

  ) ( ) ( ) ( 0

3

0 r f r d r r r f      

dır

Mehmet TAŞKAN

KAYNAKLAR:

1)”Kuantum Fiziği” –PrfDrErol AYGÜN-DoçDrDMehmet Zengin, Ankara Üniversitesi Yayınları-

2Baskı-1992

2)”Atom ve Molekül Fiziği”- PrfDrErol Aygün-DoçDrDMehmet Zengin-Ankara Üniversitesi

yayınları-1992

3)”Çağdaş Fiziğin Kavramları”-Arthur Beiser-ÇevoçDrMÇetin-DoçDrHyıldırım-

PrfDrZGülsün Dicle Ünvyayınları-2,baskı-1989

4)Atom ve Molekül Fiziği, Prf Dr B:H:Bransden, Prf Dr CJJoachain, Çevirenler:Prf Dr FKöksal, Prf

Dr HGümüş, On dokuz Mayıs Ünv

5)Fizikte matematik metotlar ,Prf Dr CÖnem, Erciyes Ünv, 3baskı, Birsen Yay

6)Physics-part 2, Prf Dr DHalliday, Prf Dr RResnick, Wiley International Edition

7)Katıhal fiziğine giriş, Prf Dr TNuri Durlu, Ankara Ünv, 1992 2Baskı

KUANTUM FİZİĞİ-2

BÖLÜM-3

OPERATÖRLER VE MATRİSLER

1)MOMENTUM KOMÜTASYON BAĞINTILARI:

a)Çizgisel momentum:Çizgisel momentum operatörünün dik koordinatlatdaki bileşenleri; Px=-i  d/dx,

Py=-i  d/dy, Pz=-i d/dz dir Bir Px operatörünün x ile komütasyon bağıntısı [Px,x]=Pxx-xPx ile tanımlı

olup bu işlemin sonucu sıfır çıkarsa Px ve x birbirinden tamamen bağımsızdır ve eşzamanlı olarak istenen

duyarlıkla ölçülebilir demektir Sıfırdan farklı olması Heisenberg’in belirsizlik ilkesine götürür Buna

göre; [Px,x]=[Py,y]=[Pz,z]=-i ve [Px,y]=[Py,z]gibi komütasyonlar sıfırdır

b)Yörünge açısal momentum:Yörünge açısal momentum operatörü P r L

  

  dir Bunun dik koordinat

sistemindeki bileşenleri;























 

y

z

z

y i Lx 

,























 

z

x

x

z i Ly 

,























 

x

y

y

x i Lz 

şeklindedir Bunlar küresel koordinatlarda ise;  



   i Lz

,























 



 



 sin cot cos  i Ly

,



























 



 cos cot sin  i Lx

dir Buna göre L2 operatörü

















 



















  2

2

2

2 2

sin

1 sin

sin

1

  



 

 L

şeklindedir

L’nin komütasyonları; [Lz,y]=i z, [Ly,z]=i  x, [Lz,z]=i  y olup, bunların zıt yönlüleri negatif, aynı tür

bileşenler sıfır değerindedir Açısal momentum bileşenlerinin birbirleriyle komütasyonu da; [Lx,Ly]=[Lx,z]

Px+x[Pz,Lx]=i  (xPy-yPx)=i  Lz, diğer bileşenler de [Ly,Lz]=i  Lx, [Lz,Lx]=i  Ly şeklindedir L’nin bütün

bileşenlerinin L2 ile komütasyonu ise sıfırdır

c)Yükseltme ve alçaltma operatörleri:Küresel harmonik Ym(,) ler açısal momentum operatörlerinin

öz fonksiyonlarıdır Yükseltme operatörü Ym(,) ye uygulandığında kuantum sistemi Ym+1(,) olan

seviyeye geçer, alçalma operatörü uygulandığında Ym-1(,) seviyesine geçer Açısal momentumun

yükseltme operatörü L+=Lx+iLy, alçaltma operatörü de L-=Lx-iLy şeklindedir Bu operatörlerin

komütasyonları; [Lz,L+]= L+, [Lz,L-]=- L- ve [L+,L-]= 2 Lz şeklindedir Bir operatörün antikomütatörü

ise [A,B]+=AB-BA şeklinde tanımlanır

d)L2 ve Lz nin özdeğer denklemleri:L2nin özdeğer denklemi ) , ( ) 1 ( ) , ( 2 2     lm lm Y l l Y L    , beklenen

değeri ise

2 2 ) 1 ( ) , ( , (     l l Y L Y lm lm    

dir Buradan L’nin beklenen değeri  ) 1 (    l l Y L Y lm lm

şeklinde olmaktadır Lz’nin özdeğer denklemi ) , ( ) , (     lm lm z Y m Y L   , beklenen değeri ise

 m Y L Y lm z lm   şeklindedir

2)HEİSENBERG MATRİS MEKANİĞİ:Heisenberg fiziksel büyüklükleri gösteren operatörleri

matrislerle ifade etmiştir Matris mekaniğinde özfonksiyonlar birer kolon matrisleri ile gösterilir Matris

elemanları da operatörün beklenen değerlerinden ibaret olan birer matrisle temsil edilirler Matrisin

elemanları ilgili operatörün o uzaydaki spektrumunu oluşturur Operatörü temsil eden matrisin mertebesi

(rankı) bağımsız özfonksiyon-uzayının boyutu ile belirlidir Bir operatörün uzayını geren bazvektörlerinin

skaler çarpımı; <mn>=(*

1 *

2 *

3)











        































 

n m

n m

mn 0

1





2 2 1 1

3

2

1



şeklindedir

3)AÇISAL MOMENTUM OPERATÖRLERİNİN MATRİS ELEMANLARI: Her fiziksel kavram,

gözlenebilir bir gerçek sayı ile ifade edildiğinden, bunların operatörleri hermitiktir ve ilgili matris

köşegendir Köşegen matrislerin matris elemanları, yani ilgigi operatörün beklenen değeri, kuantum

sayıları ve Kronecker- ile ifade edilirler Her matrisin rankı ilgili manyetik kuantum sayısının alabileceği

farklı değerler sayısı ile belirlidir s s m m s s s s sm S sm ' ) 1 ( '     

s s m m s s z s m sm S sm ' '    

l l m m l l l l lm L lm ' ) 1 ( '     

l l m m l l z l m lm L lm ' '    

1 , ' ) 1 ( ) 1 ( '        m m m m l l lm L lm  

m m j j jm J jm ' ) 1 ( '     

1 , ' ) 1 ( ) 1 ( '        m m m m j j jm J jm  

      1 , '

2 / 1

1 , '

2 / 1

2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( '            m m m m x m m j j m m j j jm J jm   

m m z m jm J jm ' '    

4)ORTOGONAL DÖNÜŞÜM:Yalnız özdeğerleri birbirinden farklı olan matrisler köşegen matris

yapılabilirler Yani öz-vektörleri lineer bağımsız olan matrisler köşegen yapılabilir Hermitik matrisler,

Hmn=H+

mn (simetrik) olduklarından köşegen yapılabilen matrislerdir Matrisi köşegen yapmak; verilen

matrisin baz vektörlerini döndürerek onun tüm köşegen-dışı elemanlarının sıfır olduğu yeni bir bazvektörleri

uzayı bulmak demektir Koordinat sisteminin bu şekilde döndürülmesine ortogonal dönüşüm

denir

H hamiltoniyen matrisini köşegen yapmak için normalize edilmiş k özfonksiyonlar cümlesinden

yararlanılır Hk=Ek ve H-Ek=0 dır k  0 olacağından, katsayılar determinantı H-E=0 olacaktır Bu

da

0







21 21

12 11

 



E H H

H E H

şeklindedir Buradaki k=





N

n

n knu a

1 şeklinde olup,

ak12+ak22++akn2=1 dir Verilen köşegen olmayan bir matrisi köşegen biçimine çevirecek bir

rotasyon matrisi tanımlanır Bu k vektörünün un bazına;

 





















    

NN N

N

n

a a

a

a a

R







) ( ) )( (

1

22

1 11

2 1

şeklinde bağlıdır Rotasyon matrisi kullanılarak Hamiltoniyenin beklenen değeri, E=RHR matris

çarpımı olarak bulunur

BÖLÜM-4

PERTÜRBASYON TEORİSİ

1)PERTÜRBASYON TEORİSİ:Küçük değişimler teorisidir Bir çeşit yaklaşık hesap yöntemidir En

geniş uygulama alanı atom fiziği ve parçacık fiziğinde bulur Atomların enerji seviyeleri kuantumlu bölge

ve sürekli bölge olmak üzere iki biçimde ele alınır Bu nedenle pertürbasyon da: 1)Bağımlı durumların

pertürbasyonu, 2)Sürekli bölge pertürbasyonu (saçılma teorisi) olarak iki bölümde ele alınır Bağımlı

durumların pertürbasyonu da zamandan bağımsız ve zamana bağımlı olmak üzere iki ana başlık altında

toplanır Pertürbasyon teorisinde; pertürbe olmamış hamiltoniyen H(0) ile pertürbasyon hamiltoniyeni H(1)

arasında H(1)<<H(0) ilişkisi vardır

2)ZAMANDAN BAĞIMSIZ PERTÜRBASYON:

a)Dejenere olmayan ve durağan bir seviyenin zamandan bağımsız pertürbasyonu:

Bu konu literatürde Rayleigh-Schrödinger pertürbasyonu olarak bilinir Bir sistemin toplam

hamiltoniyeni H=H(0)+H(1)=H(0)+H’ olup bunun çözümleri; En=En

(0)+En ve n=n

(0)+n şeklindedir

Burada 10 aralığında düzeltme parametresidir n fonksiyonu ve En pertürbe olmuş enerji =0

civarında Taylor serisine açılmakta ve Hn =Enn den ’ya göre pertürbasyonun mertebesi

belirlenmektedir 00mertebe, 11mertebe, 22mertebe

i)Birinci mertebeden yaklaşım:Bu durumda ank

(1)Ek

(0)+<k

(0)H’n

(0)>=En

(0)ank

(1)+An

(1)kn şeklindedir

Buradan k=n dan; pertürbe edilmiş enerji

      ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 (

n n n n H E E

şeklinde bulunur kn için de

kpertürbe olmamış fonksiyonun pertürbe olmuş dalga fonksiyonuna katkısı

) 0 ( 0

) 0 ( ) 0 (

) 1 ( '

k n

n k

nk E E

H

a



 



şeklindedir bu durumda birinci mertebeden pertürbe olmuş n dalga fonksiyonu









   

   

n k

k

k n

n k

n n E E

H ) 0 (

) 0 ( ) 0 (

) 0 ( ) 1 ( ) 0 (

) 0 (

dır

ii)İkinci mertebeden yaklaşım:Bu durumda enerji ve dalga fonnksiyonlarına ikinci mertebeden yaklaşım

ek terimleri gelir Enerji için bu

) 0 ( 0

2 ) 0 ( ) 1 ( ) 0 (

) 2 (

k n

n k

n k

n E E

H

E



 



 dur

b)Durağan ve dejenere bir seviyenin pertürbasyonu: Herhangi bir seviyenin kaç katlı dejenere olduğu,

yani dejenereliğin mertebesi





  

1

0

2 ) 1 2 (

n

l

n n l D

olarak verilir Atomlarda taban durumu hariç diğer

seviyeler dejeneredir Dejenere seviyeleri ayırmak için atoma dışardan elektrik ve manyetik alan

uygulanır Dejenere pertürbasyonun matematiği bir matrisi köşegen yapmaktan ibarettir Herhangi bir n

seviyesi n2-katlı dejenere olmakla birlikte, matematiksel işlemleri kısa tutmak için n seviyesi 2-katlı

dejenere olarak kabul edilebilmektedir Bu durumda En

(0)seviyesine karşılık n1

(0) ve n2

(0) gibi iki tane öz

fonksiyon vardır Yarılmadan ortaya çıkan enerjiler ve bu özfonksiyonlar seriye açılarak, gerekli

matematiksel işlemler sonunda H11

(1)C11+H12

(1)=En1

(1)C11 ve H21

(1)C11+H22

(1)=En1

(1)C12 bulunur Bu iki

denklem matris çarpımı şeklinde yazıldığında, çözüme sahip olması için, katsayılar determinantları

0 ) 1 (

1

) 1 (

22

) 1 (

21

) 1 (

12

) 1 (

1

) 1 (

11 





n

n

E H H

H E H

,

0 ) 1 (

2

) 1 (

22

) 1 (

21

) 1 (

12

) 1 (

2

) 1 (

11 





n

n

E H H

H E H

olmalıdır Bu determinatlara seküler

determinantlar denir ve birinci mertebeden enerji düzeltmeleri buradan bulunabilir Bu durumda yeni

baz vektörleri n1=C11n1

(0)+C12n2

(0) ve n1=C21n1

(0)+C22n2

(0) dır Burada C112+C122=C212+C222=1 dir

Bu pertürbasyon durumu için Stark Olayı önemli bir örnek oluşturur

c)Varyasyon metodu: Bu metotta pertürbasyonun beklenen değerini hesaplamak yerine, Hamiltonifenin

kendisinin beklenen değerini hesaplamak isteriz, E=<H> Hamiltoniyenin beklenen değeri o kuantum

sisteminin uygun bir parametresinin <H>=f(Z) fonksiyonu olarak ifade edilir Bu fonksiyonun minumum

değeri

0 ) ( 



  

Z

Z H

dan bulunur İşte bu denkleme varyasyon ilke denklemi denir Parametreye (Z)

göre türev alınarak bulunan ifadenin çözümünden elde edilen parametre değeri enerjinin minumumuna

(taban enerji seviyesine) karşılık gelen Zet (etkin) değerdir Buna He atomu iyi bir örnektir

3)ZAMANA BAĞLI PERTÜRBASYON:Zamana bağlı pertürbasyonda bir kuantum sisteminin içinde

bulunduğu kuantum seviyesinden, zaman içinde diğer bir kuantum seviyesine geçişin kuralları incelenir

ve belirlenir Bu tür değişimlere, foton soğurulma ya da ,, parçalanmaları ve her türlü uyarılmalar

örnek oluşturur Bu tür değişimler kendiliğinden oluşabileceği gibi, kuantum sistemi bir dış etken

(pertürbasyon) tarafından uyarılarak da oluşturabilir Zamana bağlı pertürbasyonda bu geçişlerin hızının

bulunması ve sistemin ilk seviyede bulunma olasılığının azalışının ve son seviyede bulunma olasılığının

artışının hesabı yapılır

a)Olasılık genliği ve geçiş hızı:Bu durumda olasılık genliği an(t)’ye de bağlı olarak dalga fonksiyonu

     e t

E

n n

n r t a t r  ) ( ) ( ) , (

dır Hamiltoniyen operatörü H(t)=H(0)+H(1)(t) olup, Schrödinger denklemi de

H(r,t)=i [(r,t)/t] şeklindedir H ve  yerlerine konup denklem çözüldüğünde geçiş hızı

 

n

t i

n kn

k kn e t a H

i dt

t da  ) ( 1 ) ( ) 1 (

 olur Sistemin her hangi bir t anında k seviyesinde bulunma olasılığı ise,

2

) 1 (

2

2 ) 1 ( 1 ) ( 

 



t

t i

km k

km e H t a 

 dır Bu birinci mertebeden yaklaşımdır

b)Sabit pertürbasyon: Hkm

(1)’nin zamandan bağımsız olması durumundaki pertürbasyona sabit

pertürbasyon denmektedir Bu durumda geçiş olasılığı

2

0 2

2

2 ) 1 (

2 ) 1 (

2

2

sin

) (















km

km

km

k

t

H

t a







dir Bir m

seviyesinden k seviyelerine (k enerji bandı) toplam geçiş olasılığı, m seviyesindeki enerji yoğunluğuna

bağlı olarak,







 d

t

E

H

P m

km 

 

  











 2

0 2 2 ) 1 (

2

2

)

( sin

) (



şeklindedir

c)Harmonik pertürbasyon: Pertürbasyon operatörünün zamana göre t Cos H t H  ) 0 ( ) ( ) 1 ( ) 1 (  şeklinde

değişimi harmonik pertürbasyonu ifade eder Bu durumda mk geçişinde pertürbasyon genliği;

   

















 



   1

) (

1 1

) (

1

2

) 0 (

) ( ) ( ) (

) 1 (

) 1 ( t i

km

t i

km

km

k km km e

i

e

i i

H

t a    

     şeklinde olur Burada kuantum

sisteminin kendi öztitreşim frekansı km, zorlayıcı dış etkenin frekensı da  dır Bu durumda enerji farkı

E=   şeklinde olup, + uyarmalı salınım, - uyarmalı soğurma geçişini belirtir =km rezonans şartında

sistem pertürbasyon alanından maksimum enerji soğurur

d)Elektrik dipol seçim kuralları: Dış uyarıcı (pertürbasyon) ile oluşan geçişler için belirli kurallar

vardır Elektrik dipol geçişler için pertürbasyon operatörü (yani rf alanı), elektrik dipol moment r e D  

 

olmak üzere, H(1)(t)=er1Cost dir Bir m seviyesinden k seviyesine geçiş olasılığı Pmk ‘da <kDm>=0

(yasaklı geçiş), <kDm>0 (izinli geçiş) söz konusudur Dalga fonksiyonlarının paritesi

l ) 1 ( ile

belirlidir  1   l şeklinde açısal momentum kuantum sayısındaki değişime elektrik dipol seçim kuralı

denir Buna göre; elektrik dipol geçişler ancak farklı pariteli seviyeler arasında olabilmektedir Bunun

dışında manyetik kuantum sayısındaki değişimlere bağlı olarak, m=0 (-polarizasyonu), m=1 (-

polarizasyonu) dır Dış elektromanyetik alanların kuantum sistemlerini uyarması ile de geçişler olabilir

Bu durum atomik sistemlerde çok-kutuplu ışımalara yol açabilmektedir

Mehmet TAŞKAN

KAYNAKLAR:

1)”Kuantum Fiziği” –PrfDrErol AYGÜN-DoçDrDMehmet Zengin, Ankara Üniversitesi Yayınları-

2Baskı-1992

2)”Atom ve Molekül Fiziği”- PrfDrErol Aygün-DoçDrDMehmet Zengin-Ankara Üniversitesi

yayınları-1992

3)”Çağdaş Fiziğin Kavramları”-Arthur Beiser-ÇevoçDrMÇetin-DoçDrHyıldırım-

PrfDrZGülsün Dicle Ünvyayınları-2,baskı-1989

4)Atom ve Molekül Fiziği, Prf Dr B:H:Bransden, Prf Dr CJJoachain, Çevirenler:Prf Dr FKöksal, Prf

Dr HGümüş, On dokuz Mayıs Ünv

5)Fizikte matematik metotlar ,Prf Dr CÖnem, Erciyes Ünv, 3baskı, Birsen Yay

6)Physics-part 2, Prf Dr DHalliday, Prf Dr RResnick, Wiley International Edition

7)Katıhal fiziğine giriş, Prf Dr TNuri Durlu, Ankara Ünv, 1992 2Baskı