|
Kuantum İle İlgili Tüm Ders Konu Fizik Dersi Detaylı Konu Anlatımı İçerik
BÖLÜM 1 KUANTUM FİZİĞİNE GİRİŞ BÖLÜM 2 ATOMLARIN KUANTUMLU YAPISI BÖLÜM 3 OPERATÖRLER VE MATRİSLER BÖLÜM 4 PERTÜRBASYON TEORİSİ KUANTUM FİZİĞİ BÖLÜM 1 KUANTUM FİZİĞİ-1 BÖLÜM-1 KUANTUM FİZİĞİNE GİRİŞ 1)FİZİK TEORİLERİ:a)Klasik Fizik: Klasik fizik maddeyi makroskopik bir yaklaşımla ele alarak inceler. Klasik mekaniğin kanunları Newton kanunlarıdır. Klasik elektromanyetizmanın temel denklemleri ise Maxwell denklemleridir. b)Görelilik teorisi: Özel görelilik ve genel görelilik olmak üzere iki çeşittir. Özel görelilik ışık hızına yakın hızlardaki hareketleri inceler. Genel görelilik ise genel kütleçekimi uzayın eğriliğini inceler. Özel görelilik 1905’de, genel görelilik ise 1915’de Einstein tarafından geliştirilmiştir. c)Kuantum teorisi: 1900 yılında Planck tarafından ortaya atılmıştır. Molekül, atom, çekirdek, nükleon, temel parçacıklar ve kuarklar gibi küçük parçacıkları inceler. Bu teori olasılıklar üzerine kuruludur. Dirac, Heisenberg, Schrödinger, Pauli,...gibi bilim adamları tarafından geliştirilmiştir. Kuantum mekaniğinin temel denklemi Schrödinger denklemi olarak kabul edilmektedir. Parçacıkların elektromanyetik etkileşmelerini inceleyen teoriye de Kuantum elektrodinamik denmektedir. 1960’lı yıllarda Tomanaga, Schwinger ve Feynman tarafından geliştirilmiştir. 1980’li yıllarda da kuarklar arasındaki etkileşmeyi belirleyen Kuantumkromodinamik (kuantum renk dinamiği) geliştirilmiştir. 2000’li yıllar da ise sicim teorisi üzerine çalışılmaktadır. 2)PLANCK’IN KUANTUM HİPOTEZİ:Bir boyutta frekansı ile basit harmonik hareket yapan bir titreşici sistemin kuantum enerjisi En=nh ile belirlidir. Burada n=1,2,3... şeklinde kuntum sayıları h ise Planck sabitidir (6,62.10-34J.s). Bu durum enerjinin kesikli yani kuantumlu olduğunu belirtmektedir. 3)SİYAH CİSİM IŞIMASI:Bir siyah cisim gelen fotonları (ışık taneciklerini) yutar, sonra onları farklı frekansta yayınlar. Bu durum klasik fizikte Rayleigh-Jeans teorisi ile açıklanmaya çalışıldı, ancak yüksek sıcaklıklarda başarısız oldu. Planck, bu durumu Maxwell-Boltzman dağılımını da hesaba katarak açıkladı. Buna göre Planck’ın ışıma formülü; 1 8 ) ( / 3 3 kT h T e d c h d dir. Burada T(), enerji yoğunluğu, frekens, T sıcaklık, c ise ışık hızıdır. 4)FOTOELEKTRİK OLAY:Metallerin üzerine ışık göndererek elektron sökme olayıdır. 1905 yılında Einstein tarafından formülüze edilmiştir. h=h0+ 2 max 2 1 mv şeklindedir. Yani gelen fotonun enerjisi, metalin iş fonksiyonu ile sökülen foto-elektronların maksimum kinetik enerjileri toplamına eşittir. Oluşan foto-akımı durdurmak işin gerekli potansiyele kesme potansiyeli denir. 5)COMPTON OLAYI:Bu olay da foto-elektrik olay gibi ışığın tanecikli yapısını doğrulayan olaydır. Olay duran bir elektrona bir fotonun çarpıp saçılması olayıdır. Foton saçıldığında dalga boyu değişir. Bu olay 1922’de Compton tarafından keşfedilmiştir. Fotonun dalga boyundaki değişim ) cos 1 ( 0 c m h dır. Burada , fotonun saçılma açısı, h/m0c ise Compton dalga boyudur (0,024 A0). 6)DE BROGLİE HİPOTEZİ:Hareket eden bütün parçacıklara hareketleri süresince bir dalga eşlik eder, bu dalgalara de Broglie dalgaları denir. Bu dalganı dalga boyu =h/P dir. Burada P=mV şeklinde momentumdur. Bu dalgalara kuantum mekaniğinde Schrödinger dalgası ya da olasılık dalgası da denir. 7)BOHR TÜMLEME İLKESİ:1928 yılında Niels Bohr; elektromanyetik ışınımın dalga ya da parçacık görünümünün birbirini tümlediğini belirtti. Bu durum kuantum mekaniğinde, dalga+tanecik=Dalgataneciği şeklinde ifade edilmektedir. 8)HEİSENBERG’İN BELİRSİZLİK İLKESİ:Klasik fizik ile kuantum fiziğinin en önemli ayrım notalarından birisidir. Klasik fizikte herhangi iki fiziksel büyüklük eş-zamanlı olarak istenilen duyarlıkla belirlenebilir anlayışı vardır. Kuantum fiziğinde ise bu durum belirsizlik ilkesiyle verilmektedir. Belirsizlik ilkesi; koordinat-ilgili momentum, enerji-zaman ve açısal yerdeğiştirme-ilgili açısal momentum gibi kavramlar çiftinin eş zamanlı olarak istenen duyarlılıkla belirlenemeyeceğini söyler. Örneğin atom çevresinde hareket eden bir elektronun konumundaki belirsizlik azalırsa, momentumundaki belirsizlik artar. Bunların bağıntıları; q.P , t.E , .L şeklindedir. 9)KUANTUM MEKANİĞİNİN POSTÜLALARI:Kuantum mekaniğinde hareketli bir parçacığa eşlik eden dalga fonksiyonu (x,y,z,t) ile gösterilir. ’nin tek başına anlamı, ya da boyutu yoktur. (x,y,z,t) 2dV ise t anında parçacığın dV=dxdydz hacim elemanında bulunma olasılığını verir. Kuantum mekanik teori üç ana postüla üzerine kuruludur: a)0<r< iken (r) sürekli olmalı,0<r< aralığında d(r)/dr sürekli olmalı, riken (r)=0 b)Her fiziksel kavram bir operatör O ile temsil edilir. Operatör dalga fonksiyonuna O=o şeklinde uygulanır. Burada o, O operatörünün özdeğeridir. c)Bir operatörün beklenen değeri dV dV O O şeklindedir. normalize edilmiş ise sadece pay kısmı alınır. Bunun Dirac gösterimi ise <n’l’m’Onlm> şeklindedir. 10)MOMENTUM VE ENERJİ OPERATÖRLERİ:Bir parçacığa eşlik ederek yayılan düzlem dalganın ifadesi ) ( ) , ( t kx i e t x şeklindedir. Burada dalga sayısı k=p/ , açısal hızı da E/ dır. Buradan momentum operatörü x i P , enerji operatörü de t i H olarak bulunur. 11)OLASILIK AKISI:Bir parçacığın olasılık yoğunluğunun uzayda yer değiştirmesine olasılık akısı denmektedir. Bu durum bir boyutta, 0 ) , ( . ) , ( t x S t t x şeklinde belirtilir. Bu olasılık akısının ve yoğunluğunun korunduğunu belirtir. 12)SCHRÖDİNGER DENKLEMİ:Bir parçacığın toplam mekanik enerjisi U m p E 2 2 şeklindedir. Momentum operatörü denklemde yerine konur ve H=E den Schrödinger denklemi bulunur. t i z y x U m ) , , ( 2 2 2 zamana bağımlı Schrödinger denklemidir. E z y x U m )) , , ( 2 ( 2 2 zamandan bağımsız Schrödinger denklemidir. Parçacık ışık hızına yakın hızla hareket ederse toplam enerjisi E2=P2C2+M0 2C4 şeklindedir. Bu durumda parçacığın rölativistik Schrödinger denklemi 2 0 2 2 2 2 ) ( ) 1 ( c m t c dir. 13)POTANSİYELLER:Schrödinger denklemi genelde üç potansiyel durumu için çözülür. a)U=0 serbest parçacık halienklem bir boyutta / 2 2 / 2 1 ) ( x mE i x mE i e N e N x çözüme sahiptir. Bu Euler açılımı yardımıyla (x)=Acosk0t+Bsink0t olarak da yazılabilir. b)U=U0 sabit potansiyeli: Eğer E>U0 ise denklem, x ik x ik e N e N x 1 1 2 1 ) ( şeklindedir. Burada ) ( 2 0 1 1 U E m k dır. N1 ve N2 sabitleri sınır koşullarından bulunur. Eğer E<U0 ise denklem, x k x k De Ce x 2 2 ) ( şeklinde çözüme sahiptir. Burada ) ( 2 0 1 2 E U m k dir. Böyle potansiyellere potansiyel basamağı ve potansiyel engeli denmektedir. Sonlu bir potansiyel basamağında olasılık akıları 2 , , , , , , g y i g y i g y i A m k S den bulunur. Buna göre basamağın yansıtma katsayısı; R=Sy/Si, geçirgenlik katsayısı T=Sg/Si ve toplam R+T=1 dir. c)U=U(x) değişen potansiyeller: Değişen potansiyellere örnek; basit harmonik titreştirici ve Coulomb potansiyelleridir. Bunlar bir katıdaki atomların titreşimi ve atomdaki çekirdeğe bağlı elektronların hareketini kapsar. 14)SONSUZ DERİNLİKTE POTANSİYEL KUYUSUNDA PARÇACIK:Bu potansiyel kuyusu için sınır koşulları; 0<x<a için U(x)=0, x<0 ve x>a için U(x)= dur. Parçacık kuyu içerisinde serbesttir ve parçacığın Schrödinger denklemi 0 2 2 2 2 mE dx d dır. Bu denklemin çözümü (x)=Asink0x+Bcosk0x şeklindedir. Burada 2 0 2 mE k dir. Sınır şartlarından k0a=n (n=1,2,3..) ve buradan da enerji 2 2 2 2 2ma n En olarak bulunur. Normalize edilmiş dalga fonksiyonu ise a x n a x n sin 2 ) ( olarak bulunur. Burada n kuantum sayısıdır. 15)HARMONİK TİTREŞİCİ:Bir boyutta basit harmonik hareket yapan bir sistemin hamiltoniyen operatörü; 2 2 2 2 1 2 x m m p H şeklindedir. Bunun için Schrödinger denkleminde x m y 2 / 1 ve n n E 2 değişkenleri değiştirilirse, ) ( ) ( 2 2 2 y y y dy d n n n denklemi elde edilir. Enerji için En= ) ( 2 1 n , dalga fonksiyonu için de 2 / 2 ) ( ) ( y n n e y N y elde edilir. Bu fonksiyonun normalize edilmiş şekli, 2 2 2 / 1 4 / 1 ) ( ) ! 2 ( ) ( ) ( x m n n n e x m H n m x dır. Burada Hn(y)’lere Hermite polinomları denir. Bazıları şöyledir: H0(y)=1, H1(y)=2y, H2(y)=4y2-2, H3(y)=8y3-12y,... BÖLÜM-2 ATOMLARIN KUANTUMLU YAPISI 1)BOHR ATOM MODELİ:Atom modelleri tarihsel sırasına göre; Thomson, Rutherford , Bohr modeli ve modern (kuantum) atom modeli şeklindedir. Bohr modelini 1913’de Neiles Bohr, klasik fizikle kuantum fiziğinin bir bileşimi şeklinde oluşturmuştur. Bohr modeli üç postüla (varsayım) üzerine kuruludur. 1)Elektronlar ışıma yapmadan belirli yörüngelerde hareket edebilirler. 2)Kararlı seviyelerde açısal momentum L=n şeklinde kuantumludur. 3)Elektronlar, ancak kararlı seviyeler arasında atlamalar (geçişler) yaparken ışıma yaparlar. Yapılan ışımanın frekensı enerji seviyeleri arasındaki farka, =(Ei-Es)/ h şeklinde bağlıdır. Bohr modeli hidrojen ve tek elektronlu atomlara başarıyla uygulanabilmektedir. Merkezkaç ve Coulomb kuvvetinin etkisindeki elektronun hızı Vn=V1/n şeklinde kuantumlanır. Burada V1=ke2/ ve n kuantum sayısıdır. Elektronun yörünge yarıçapı da rn=n2r1 şeklinde kuantumlanır. Burada r1= 2 2 /mke =0,529 A0 şeklinde Bohr yarıçapıdır. Elektronun toplam enerjisi ise; 2 2 4 2 1 2 n m e k En şeklinde kuantumludur. Buradaki sabit terim E1=13,6 eV olup birinci seviyeden (taban durumu) iyonlaşma enerjisidir. Burada m ise m=memp/(me+mp) şeklinde indirgenmiş kütledir. Bu durumda iki seviye arasındaki geçiş frekansı ise ) 1 1 ( 2 2 i s I n n h E şeklindedir ve hidrojenin spektrumu buradan incelenir. Bu bağıntılara rölativistik düzeltme ve yörünge düzeltmeleri yapılabilmektedir. 2)HİDROJEN ATOMUNUN DALGA MEKANİĞİ:1925 yılında Schrödinger dalga teorisi ortaya çıkınca atomik yapı da bu yeni teori ile açıklanmak istendi. Bu amaçla yapılan teorik çalışmalar deneysel gözlemlerle çok iyi uyum gösterdi. Böylece ortaya çıkan yeni atom modeline dalga modeli ya da kuantum mekaniksel atom modeli dendi. Hidrojen atomu en basit atom ve hidrojen atomunun Coulomb potansiyeli küresel simetrik olduğu için dalga modelinin en basit uygulamasını oluşturur. Hidrojen atomunda elektronun zamandan bağımsız Schrödinger denklemi ; 0 ) , , ( ) ( 2 ) , , ( 2 2 2 r r ke E m r şeklindedir. Dik koordinatlar ile küresel koordinatlar arsında x=rsincos, y=rsinsin, z=rcos ve dV=r2dr sin d d bağıntıları vardır. Küresel koordinatlarda Schrödinger denkleminin açık şekli 0 ) ( 2 sin 1 ) (sin sin 1 ) ( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r ke E m d d r d d d d r dr d r dr d r dır. Bu denklem değişkenlerine ayırma yöntemi ile çözülebilmektedir. dalga fonksiyonunun değişkenleri (çarpanları), (r,,)=R(r ).().() şeklindedir. Burada değişkenler 0 r , 0 ve 2 0 r aralıklarındadır. Bu Schrödinger denkleminde yerine konur ve denklem değişkenlere ayrılırsa: 0 2 ) 1 ( 2 ) ( 1 2 2 2 2 2 2 R mr l l r ke E m dr dR r dr d r şeklinde yarıçapa bağlı kısım, 0 sin ) 1 ( ) (sin sin 1 2 2 l m l l d d d d şeklinde açıya bağlı kısım ve 0 2 2 2 l m d d şeklinde azimutal açısına bağlı kısım elde edilir. Yarıçapa bağlı kısmın çözümü; ) 2 ( ) 2 ( ] )! [( 2 )! 1 ( ) 2 ( ) ( 0 0 2 / 1 3 3 0 0 na zr L na Z e l n n l n na Z r R qj l na Zr nl şeklindedir. Burada Lqj ,kuantum sayısı q=0,1,2... ve j q için Asosiye laguerre polinomudur. Açıya bağlı kısmın çözümü ; ) (cos )! ( )! ( . 2 1 2 ) 1 ( ) ( , 2 / 1 2 / l l l m l l l m m P m l m l l şeklindedir. Buradaki Pl,ml(cos) Asosiye legendre polinomudur. Azimutal açısına bağlı kısmın çözümü ise l im e 2 1 ) ( şeklindedir. Açılara bağlı çözümlerin bileşimine Ylm(,) küresel harmonikler denir. Burada, n baş kuantum sayısı, yörünge kuantum sayısı, m manyetik kuantum sayısıdır. n=1,2,3,...,, =0,1,2,...,(n-1), m=- ,....0,.....+ dir. Hidrojen atomunun enerjisi Bohr modelindeki ile aynıdır. Fakat yarıçap hem baş kuantum, hem de yörünge kuantum sayılarına ) 1 ( 3 2 2 0 l l n Z a rn şeklinde bağlıdır. Bu yarıçapın beklenen değeridir (<rn >). Burada a0 Bohr yarıçapı, Z atom numarasıdır. Schrödinger denkleminden elde edilen çözümler birleştirilerek genel çözüm zamana da bağlı olarak; ) , , , ( , , t r m n şeklinde bulunur. Örneğin; 0 / 2 / 3 0 100 ) ( 1 a Zr e a Z dır. 3)OLASILIK DAĞILIM FONKSİYONU:İstatistik fizikte, olasılık yoğunluğuna bağlı bir olasılık dağılım fonksiyonu Q(r,,)=(r,,)dV=* dV ile tanımlanır. Burada dV=r2dr sind d dir. Bu durumda oalsılık dağılım fonksiyonu Q(r,,)= 0 2 0 0 ) ( ) ( ) ( d P d P dr r p şeklindedir. 4)AÇISAL MOMENTUM:Açısal momentum ifadeleri Schrödinger denkleminin Coulomb potansiyeli ile çözümünde dalga fonksiyonunun sağlaması gereken sınır koşullarından çıkmaktadır. Bu kuantum mekaniksel teoride yörünge açısal momentumudur. ) 1 ( l l L şeklindedir. Burada l yörünge açısal kuantum sayısıdır. yörünge açısal momentumun z bileşeni de l z m L dır. Burada l m yörünge manyetik kuantum sayısıdır. Bir de elektronun kendi etrafında dönmesi ve yönelimiyle ilgili spin açısal momentumu vardır. Bu da yörünge açısal momentuma benzer olarak ) 1 ( s s S dir. Burada s spin açısal kuantum sayısıdır. S’nin z bileşeni s z m S dır. Burada ms spin manyetik kuantum sayısıdır ve elektronlar için 1/2 dir. Kuantum mekaniğinde bu açısal momentumların yanısıra; elektronun toplam açısal momentumu J, çekirdeğin spin açısal momentumu I ve atomun toplam açısal momentumu F tanımlanmıştır. Bunların bağıntıları da diğer açısal momentumlara benzerlik gösterir. Atomların spektral serilerinin adlandırması açısal momentum kuantum sayılarına göre yapılır. 5)PAULİ SPİN MATRİSLERİ:Pauli, elektron, proton, nötron...vb spin kuantum sayısı ½ olan parçacıklar için spin matrisleri tanımlamıştır. Bu matrisler; 0 1 1 0 x , 0 0 i i y , 1 0 0 1 z dır. Spin açısal momentumları da Sx=(1/2) x , Sy=(1/2) y Sz=(1/2) z dir. Bu parçacıkların uzayı iki boyutludur ve iki tane spin dalga fonksiyonuna (spinör) sahiptirler. Spin uzayını geren 0 1 (spin yukarı), 1 0 (spin aşağı) şeklinde baz vektörleri vardır. Kuantum sisteminin herhangi bir halindeki spin dalga fonksiyonu, a2+b2=1 olmak üzere, b a b a s sm şeklindedir. Hidrojen atomunun dalga fonksiyonu, konum, zaman ve spine bağlı olarak çok daha geniş şekilde yazılabilir. 6)DİPOL MOMENTLER:Her açısal momentuma bir dipol momenti eşlik eder. Dipol momenti de açısal momentum gibi vektörel bir niceliktir. a)Elektronun dipol momenti:r yarıçaplı Bohr yörüngesinde dolanan bir elektron bir i akımı oluşturur. Bu akım halkasının dipol momenti =iA=(-ev/2r)r2 dir. Bu bağıntı L=mvr= ) 1 ( l l ile birleştirildiğinde, ) 1 ( 2 l l m e l şeklinde yörünge dipol momenti bağıntısı elde edilir. Burada m e B 2 Bohr manyetonudur. Yörünge dipol momenti, yörünge açısal momentum(L) ve yörünge Lande çarpanı (g) nı içerecek şekilde L g B l l olarak da yazılabilir. Burada 1 ) / /( ) / ( L g B l l dir. Yörünge dipol momentin yörünge açısal momentuma oranına ise yörünge jiromanyetik oran denir ve ile gösterilir. Yörünge dipol momentine benzer olarak spin dipol momenti S g B s s şeklindedir. Burada gs=-2 olup, spin Lande çarpanı olarak adlandırılır. Elektron için spin kuantum sayısı s=1/2 olduğundan spin dipol momentunun büyüklüğü B s 3 dir. Elektronun spin jiremanyetik oranı gsb/ =s dir. b)Elektronun toplam dipol momenti:Elektronun toplam açısal momentumu S L J dir. Buna göre toplam dipol moment SJ s LJ l s l j cos cos şeklindedir. Burada cosLJ=(J2+L2-S2)/2JL ve cosSJ=(J2+S2-L2)/2SJ dir. Buradan toplam dipol moment, ) 1 ( j j g B j j olarak bulunur. Burada ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 j j l l s s j j g j dir. Toplam açısal kuantum sayısı olan j, ) ( ) ( s l j s l aralığında değerler alır. c)Çekirdek dipol momenti:Bir atomun çekirdeği nükleonlardan (proton, nötron) oluşur. çekirdek içerisindeki nötron ve protonlar spin hareketi yaparlar. Bu nedenle çekirdek içinde çok sayıda, proton ve nötron spin dipol momentleri vardır. Bunlar çiftlenirler, çiftlenmemiş olarak kalan dipol momentler çekirdeğin dipol momentini oluşturur. Çekirdeğin spin açısal momentumu ) 1 ( i i I şeklindedir. Benzetme yolu ile çekirdeğin spin dipol momenti I g N i i olarak bulunur. Burada p N m e 2 nükleer manyetondur. d)Atomun toplam dipol momenti:Atomun elektronlarından ve çekirdeğinden kaynaklanan dipol momentlerin toplamı i j f şeklindedir. Atomun toplam açısal momentumu ) 1 ( f f F şeklinde, f toplam açısal momentum kuantum sayısına bağlıdır. f kuantum sayısı ) ( ) ( i j f i j aralığında değerler alır. Atomun toplam dipol momenti vektör modeli çerçevesinde hesaplandığında vektörel olarak F g B f f şeklinde yazılabilir. Burada ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1836 ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( f f j j i i f f g f f i i j j f f g g j i f dir 7)LARMOR FREKANSI:Bir topacın hareketi incelendiğinde, topacın kendi simetri ekseni etrafında bir spin hareketi yapmakla birlikte, çekim alanı doğrultusu (düşey) etrafında da bir presesyon hareketi yaptığı gözlenir. Bu hareketin aynısı bir dış manyetik alan içerisine konan manyetik dipol momentlerinde de gözlenir. Manyetik dipol momentlerinin dış manyetik alan etrafındaki presesyon frekansına larmor frekansı denir. Bu temel parçacıkların, atomların, moleküllerin dış manyetik alan içindeki davranışlarını açıklamada önemli yer tutar. Manyetik modelde tork dt S d B s / 0 dir. Presesyon hareketinin Larmor frekansı spin dipol momenti için 0 0 B B g s B s s , yörünge dipol momenti için 0 B l l , elektronun toplam dipol momenti için 0 B j j dır. 8)MANYETİK REZONANS:Kuantum sistemlerinin kendilerine özgü özfrekansları vardır. Örneğin bir sistemin larmor frekansı onun öz frekansıdır. Larmor frekansı jiromanyetik orana ve dış manyetik alan şiddetine bağlıdır. Kendi öz frekansı ile titreşmekte olan bir kuantum sistemini uyarmak (rezonansa getirmek) için, B0 alanına dik doğrultuda bir radyo frekansı alanı (rf) uygulanır. Bunun için gerekli rf alanı B(t)=2B1cos1t şeklindedir. Bu durumda dipol moment 0=B0 frekanslı ve 1=B1 frekanslı iki torkun etkisinde kalır. Burada 1 değiştirilebilen frekanstır. Bu frekans değiştirilerek 1=0 (rezonans şartı) yapıldığında sistem, B0 etrafında presesyon hareketini sürdürmekle birlikte, B1 etrafında da aynı frekanslı presesyon yapmaya başlar. Bu durumda sistem yeni bir enerji seviyesine geçişe başlar. Bu geçişlerde sistem dışarıdan (rf alanından) enerji soğurur. Rezonans şartı sağlandığında sistem bir enerji seviyesinden diğerine geçmek üzere bir “flip-flop” spin yönünün ters çevrilmesi ()hareketi yapar. İşte bu geçişlere rezonans geçişleri denir. Bu olay manyetik alanla oluşturulduğu için buna manyetik rezonans denir. 9)RABİ-REZONANS DENEYİ:Lande spektroskopik yarılma çarpanlarının değerleri, bazı kuantumelektrodinamik etkiler sonucu Dirac değerlerinden, az da olsa farkederler. Bu farklılık kısaca ) 1 ( p e l M m g ve gs=-2,0022.... şeklindedir. Farklılığı yaratan etkileşmelerin başında; çekirdeğin sonlu kütle düzeltmesi, elektronun rölativistik kütle ya da enerji düzeltmesi, virtüel ışıma, boşluk kutuplanması, aynı J değerindeki seviyelerin karışımı (configuration mixing),....dir. Lande spektroskopik yarılma çarpanını ölçmek, atomik spektroskopi araştırmalarında önemli yer tutar. Bu çarpan 0 0 ). / ( B h g B bağıntısından deneylerle bulunur. Burada 0 rezonans frekansıdır. Bu da ADMR spektrometresiyle belirlenebilmektedir. 10)BREİT-WİGNER REZONANS FORMÜLÜ VE LORENTZ ÇİZGİ ŞEKLİ: Kuantum sistemlerinin enerji kuantum seviyeleri arasında yaptığı geçişlerde salınan fotonların genliği sönümlüdür. Atomlarda uyarılma seviyelerinin ortalama ömrü 10-8s kadardır. Salınan fotonların genliği As(t)=Aose-(t/2)ei t şeklinde zamana bağlıdır. Kuantum sisteminin t i e F t F 1 0 ) ( ile dış kaynak tarafından sürülmesi sonucunda salınımın diferansiyel denklemi; t i z z e F t A i dt t dA 1 0 ) ( ) 2 1 ( ) ( şeklindedir. Zorlamalı haldeki bu denklemin kararlı hal çözümü t i z e i iF t A 1 2 / ) ( ) ( 0 1 0 dır. 1=0 durumu rezonans soğurmasıdır. Sistemden saçılan ışık şiddeti genliğin karesiyle orantılıdır. Buna göre saçılmaya uğrayan ışık şiddeti; 2 2 0 1 2 0 1 ) 2 / 1 ( ) ( ) 2 / 1 ( ) ( ) ( S S şeklindedir ve buna Breit-Wigner rezonans formülü denir. Bu bağıntıda 1 ) ( 0 S ve S(1)=L(1) alındığında oluşan fonksiyona Lorentz dağılımı, bunun grafiğine de Lorentz çizgi şekli denir. 11)DİRAC -FONKSİYONU:Kuantum fiziğinde dalga fonksiyonunun iç çarpımı ile ilgili Kronecker- kavramı vardır. Bu kavram; ' 0 ' 1 ' ' ' n n n n n n nn n n şeklinde olup, buna fonksiyonlarının ortonormallik şartı denir. Dirac- ise kesikli değil, sürekli bir fonksiyondur. Bu fonksiyon; xx0 da 0 ) ( 0 x x , x=x0 da (x-x0)= ve 1 ) ( dx x dur. Bir çok dağılım fonksiyonunun limit hali Dirac- fonksiyonuna dönüşür. Örneğin; Gauss dağılımı / 2 1 0 lim 1 ) ( x e x , Lorentz dağılımı 2 2 0 lim 1 ) ( x x şeklindedir. Dirac- vektörel gösterimde ise ) ( ) ( ) ( 0 3 0 r f r d r r r f dır. Mehmet TAŞKAN KAYNAKLAR: 1)”Kuantum Fiziği” –Prf.Dr.Erol AYGÜN-Doç.Dr.D.Mehmet Zengin, Ankara Üniversitesi Yayınları- 2.Baskı-1992 2)”Atom ve Molekül Fiziği”- Prf.Dr.Erol Aygün-Doç.Dr.D.Mehmet Zengin-Ankara Üniversitesi yayınları-1992 3)”Çağdaş Fiziğin Kavramları”-Arthur Beiser-Çevoç.Dr.M.Çetin-Doç.Dr.H.yıldırım- Prf.Dr.Z.Gülsün. Dicle Ünv.yayınları-2,baskı-1989...... 4)Atom ve Molekül Fiziği, Prf Dr B:H:Bransden, Prf Dr C.J.Joachain, Çevirenler:Prf Dr F.Köksal, Prf Dr H.Gümüş, On dokuz Mayıs Ünv. 5)Fizikte matematik metotlar ,Prf Dr C.Önem, Erciyes Ünv, 3.baskı, Birsen Yay. 6)Physics-part 2, Prf Dr D.Halliday, Prf Dr R.Resnick, Wiley International Edition. 7)Katıhal fiziğine giriş, Prf Dr T.Nuri Durlu, Ankara Ünv, 1992 2.Baskı. KUANTUM FİZİĞİ-2 BÖLÜM-3 OPERATÖRLER VE MATRİSLER 1)MOMENTUM KOMÜTASYON BAĞINTILARI: a)Çizgisel momentum:Çizgisel momentum operatörünün dik koordinatlatdaki bileşenleri; Px=-i d/dx, Py=-i d/dy, Pz=-i d/dz dir. Bir Px operatörünün x ile komütasyon bağıntısı [Px,x]=Px.x-x.Px ile tanımlı olup bu işlemin sonucu sıfır çıkarsa Px ve x birbirinden tamamen bağımsızdır ve eşzamanlı olarak istenen duyarlıkla ölçülebilir demektir. Sıfırdan farklı olması Heisenberg’in belirsizlik ilkesine götürür. Buna göre; [Px,x]=[Py,y]=[Pz,z]=-i ve [Px,y]=[Py,z]...gibi komütasyonlar sıfırdır. b)Yörünge açısal momentum:Yörünge açısal momentum operatörü P r L dir. Bunun dik koordinat sistemindeki bileşenleri; y z z y i Lx , z x x z i Ly , x y y x i Lz şeklindedir. Bunlar küresel koordinatlarda ise; i Lz , sin cot cos i Ly , cos cot sin i Lx dir. Buna göre L2 operatörü 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 L şeklindedir. L’nin komütasyonları; [Lz,y]=i z, [Ly,z]=i x, [Lz,z]=i y olup, bunların zıt yönlüleri negatif, aynı tür bileşenler sıfır değerindedir. Açısal momentum bileşenlerinin birbirleriyle komütasyonu da; [Lx,Ly]=[Lx,z] Px+x[Pz,Lx]=i (xPy-yPx)=i Lz, diğer bileşenler de [Ly,Lz]=i Lx, [Lz,Lx]=i Ly şeklindedir. L’nin bütün bileşenlerinin L2 ile komütasyonu ise sıfırdır. c)Yükseltme ve alçaltma operatörleri:Küresel harmonik Ym(,) ler açısal momentum operatörlerinin öz fonksiyonlarıdır. Yükseltme operatörü Ym(,) ye uygulandığında kuantum sistemi Ym+1(,) olan seviyeye geçer, alçalma operatörü uygulandığında Ym-1(,) seviyesine geçer. Açısal momentumun yükseltme operatörü L+=Lx+iLy, alçaltma operatörü de L-=Lx-iLy şeklindedir. Bu operatörlerin komütasyonları; [Lz,L+]= L+, [Lz,L-]=- L- ve [L+,L-]= 2 Lz şeklindedir. Bir operatörün antikomütatörü ise [A,B]+=A.B-B.A şeklinde tanımlanır. d)L2 ve Lz nin özdeğer denklemleri:L2nin özdeğer denklemi ) , ( ) 1 ( ) , ( 2 2 lm lm Y l l Y L , beklenen değeri ise 2 2 ) 1 ( ) , ( , ( l l Y L Y lm lm dir. Buradan L’nin beklenen değeri ) 1 ( l l Y L Y lm lm şeklinde olmaktadır. Lz’nin özdeğer denklemi ) , ( ) , ( lm lm z Y m Y L , beklenen değeri ise m Y L Y lm z lm şeklindedir. 2)HEİSENBERG MATRİS MEKANİĞİ:Heisenberg fiziksel büyüklükleri gösteren operatörleri matrislerle ifade etmiştir. Matris mekaniğinde özfonksiyonlar birer kolon matrisleri ile gösterilir. Matris elemanları da operatörün beklenen değerlerinden ibaret olan birer matrisle temsil edilirler. Matrisin elemanları ilgili operatörün o uzaydaki spektrumunu oluşturur. Operatörü temsil eden matrisin mertebesi (rankı) bağımsız özfonksiyon-uzayının boyutu ile belirlidir. Bir operatörün uzayını geren bazvektörlerinin skaler çarpımı; <mn>=(* 1 * 2 * 3.........) n m n m mn 0 1 .... . 2 2 1 1 3 2 1 şeklindedir. 3)AÇISAL MOMENTUM OPERATÖRLERİNİN MATRİS ELEMANLARI: Her fiziksel kavram, gözlenebilir bir gerçek sayı ile ifade edildiğinden, bunların operatörleri hermitiktir ve ilgili matris köşegendir. Köşegen matrislerin matris elemanları, yani ilgigi operatörün beklenen değeri, kuantum sayıları ve Kronecker- ile ifade edilirler. Her matrisin rankı ilgili manyetik kuantum sayısının alabileceği farklı değerler sayısı ile belirlidir. s s m m s s s s sm S sm ' ) 1 ( ' s s m m s s z s m sm S sm ' ' l l m m l l l l lm L lm ' ) 1 ( ' l l m m l l z l m lm L lm ' ' 1 , ' ) 1 ( ) 1 ( ' m m m m l l lm L lm m m j j jm J jm ' ) 1 ( ' 1 , ' ) 1 ( ) 1 ( ' m m m m j j jm J jm 1 , ' 2 / 1 1 , ' 2 / 1 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ' m m m m x m m j j m m j j jm J jm m m z m jm J jm ' ' 4)ORTOGONAL DÖNÜŞÜM:Yalnız özdeğerleri birbirinden farklı olan matrisler köşegen matris yapılabilirler. Yani öz-vektörleri lineer bağımsız olan matrisler köşegen yapılabilir. Hermitik matrisler, Hmn=H+ mn (simetrik) olduklarından köşegen yapılabilen matrislerdir. Matrisi köşegen yapmak; verilen matrisin baz vektörlerini döndürerek onun tüm köşegen-dışı elemanlarının sıfır olduğu yeni bir bazvektörleri uzayı bulmak demektir. Koordinat sisteminin bu şekilde döndürülmesine ortogonal dönüşüm denir. H hamiltoniyen matrisini köşegen yapmak için normalize edilmiş k özfonksiyonlar cümlesinden yararlanılır. Hk=Ek ve H-Ek=0 dır. k 0 olacağından, katsayılar determinantı H-E=0 olacaktır. Bu da 0 ....... ....... ........ ...... ...... 21 21 12 11 E H H H E H şeklindedir. Buradaki k= N n n knu a 1 şeklinde olup, ak12+ak22+........+akn2=1 dir. Verilen köşegen olmayan bir matrisi köşegen biçimine çevirecek bir rotasyon matrisi tanımlanır. Bu k vektörünün un bazına; NN N N n a a a a a R .... ... .... ... ) ( )......... ).( ( 1 22 1 11 2 1 şeklinde bağlıdır. Rotasyon matrisi kullanılarak Hamiltoniyenin beklenen değeri, E=R.H.R matris çarpımı olarak bulunur. BÖLÜM-4 PERTÜRBASYON TEORİSİ 1)PERTÜRBASYON TEORİSİ:Küçük değişimler teorisidir. Bir çeşit yaklaşık hesap yöntemidir. En geniş uygulama alanı atom fiziği ve parçacık fiziğinde bulur. Atomların enerji seviyeleri kuantumlu bölge ve sürekli bölge olmak üzere iki biçimde ele alınır. Bu nedenle pertürbasyon da: 1)Bağımlı durumların pertürbasyonu, 2)Sürekli bölge pertürbasyonu (saçılma teorisi) olarak iki bölümde ele alınır. Bağımlı durumların pertürbasyonu da zamandan bağımsız ve zamana bağımlı olmak üzere iki ana başlık altında toplanır. Pertürbasyon teorisinde; pertürbe olmamış hamiltoniyen H(0) ile pertürbasyon hamiltoniyeni H(1) arasında H(1)<<H(0) ilişkisi vardır. 2)ZAMANDAN BAĞIMSIZ PERTÜRBASYON: a)Dejenere olmayan ve durağan bir seviyenin zamandan bağımsız pertürbasyonu: Bu konu literatürde Rayleigh-Schrödinger pertürbasyonu olarak bilinir. Bir sistemin toplam hamiltoniyeni H=H(0)+H(1)=H(0)+H’ olup bunun çözümleri; En=En (0)+En ve n=n (0)+n şeklindedir. Burada 10 aralığında düzeltme parametresidir. n fonksiyonu ve En pertürbe olmuş enerji =0 civarında Taylor serisine açılmakta ve Hn =Enn den ’ya göre pertürbasyonun mertebesi belirlenmektedir. 00.mertebe, 11.mertebe, 22.mertebe.... i)Birinci mertebeden yaklaşım:Bu durumda ank (1)Ek (0)+<k (0)H’n (0)>=En (0)ank (1)+An (1)kn şeklindedir. Buradan k=n dan; pertürbe edilmiş enerji ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( n n n n H E E şeklinde bulunur. kn için de k.pertürbe olmamış fonksiyonun pertürbe olmuş dalga fonksiyonuna katkısı ) 0 ( 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( ' k n n k nk E E H a şeklindedir. bu durumda birinci mertebeden pertürbe olmuş n. dalga fonksiyonu n k k k n n k n n E E H ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( dır. ii)İkinci mertebeden yaklaşım:Bu durumda enerji ve dalga fonnksiyonlarına ikinci mertebeden yaklaşım ek terimleri gelir. Enerji için bu ) 0 ( 0 2 ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 2 ( k n n k n k n E E H E dur. b)Durağan ve dejenere bir seviyenin pertürbasyonu: Herhangi bir seviyenin kaç katlı dejenere olduğu, yani dejenereliğin mertebesi 1 0 2 ) 1 2 ( n l n n l D olarak verilir. Atomlarda taban durumu hariç diğer seviyeler dejeneredir. Dejenere seviyeleri ayırmak için atoma dışardan elektrik ve manyetik alan uygulanır. Dejenere pertürbasyonun matematiği bir matrisi köşegen yapmaktan ibarettir. Herhangi bir n seviyesi n2-katlı dejenere olmakla birlikte, matematiksel işlemleri kısa tutmak için n seviyesi 2-katlı dejenere olarak kabul edilebilmektedir. Bu durumda En (0)seviyesine karşılık n1 (0) ve n2 (0) gibi iki tane öz fonksiyon vardır. Yarılmadan ortaya çıkan enerjiler ve bu özfonksiyonlar seriye açılarak, gerekli matematiksel işlemler sonunda H11 (1)C11+H12 (1)=En1 (1)C11 ve H21 (1)C11+H22 (1)=En1 (1)C12 bulunur. Bu iki denklem matris çarpımı şeklinde yazıldığında, çözüme sahip olması için, katsayılar determinantları 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( 22 ) 1 ( 21 ) 1 ( 12 ) 1 ( 1 ) 1 ( 11 n n E H H H E H , 0 ) 1 ( 2 ) 1 ( 22 ) 1 ( 21 ) 1 ( 12 ) 1 ( 2 ) 1 ( 11 n n E H H H E H olmalıdır. Bu determinatlara seküler determinantlar denir ve birinci mertebeden enerji düzeltmeleri buradan bulunabilir. Bu durumda yeni baz vektörleri n1=C11n1 (0)+C12n2 (0) ve n1=C21n1 (0)+C22n2 (0) dır. Burada C112+C122=C212+C222=1 dir. Bu pertürbasyon durumu için Stark Olayı önemli bir örnek oluşturur. c)Varyasyon metodu: Bu metotta pertürbasyonun beklenen değerini hesaplamak yerine, Hamiltonifenin kendisinin beklenen değerini hesaplamak isteriz, E=<H>. Hamiltoniyenin beklenen değeri o kuantum sisteminin uygun bir parametresinin <H>=f(Z) fonksiyonu olarak ifade edilir. Bu fonksiyonun minumum değeri 0 ) ( Z Z H dan bulunur. İşte bu denkleme varyasyon ilke denklemi denir. Parametreye (Z) göre türev alınarak bulunan ifadenin çözümünden elde edilen parametre değeri enerjinin minumumuna (taban enerji seviyesine) karşılık gelen Zet (etkin) değerdir. Buna He atomu iyi bir örnektir. 3)ZAMANA BAĞLI PERTÜRBASYON:Zamana bağlı pertürbasyonda bir kuantum sisteminin içinde bulunduğu kuantum seviyesinden, zaman içinde diğer bir kuantum seviyesine geçişin kuralları incelenir ve belirlenir. Bu tür değişimlere, foton soğurulma ya da ,, ....parçalanmaları ve her türlü uyarılmalar örnek oluşturur. Bu tür değişimler kendiliğinden oluşabileceği gibi, kuantum sistemi bir dış etken (pertürbasyon) tarafından uyarılarak da oluşturabilir. Zamana bağlı pertürbasyonda bu geçişlerin hızının bulunması ve sistemin ilk seviyede bulunma olasılığının azalışının ve son seviyede bulunma olasılığının artışının hesabı yapılır. a)Olasılık genliği ve geçiş hızı:Bu durumda olasılık genliği an(t)’ye de bağlı olarak dalga fonksiyonu e t E n n n r t a t r ) ( ) ( ) , ( dır. Hamiltoniyen operatörü H(t)=H(0)+H(1)(t) olup, Schrödinger denklemi de H(r,t)=i [(r,t)/t] şeklindedir. H ve yerlerine konup denklem çözüldüğünde geçiş hızı n t i n kn k kn e t a H i dt t da ) ( 1 ) ( ) 1 ( olur. Sistemin her hangi bir t anında k seviyesinde bulunma olasılığı ise, 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 ) ( t t i km k km e H t a dır. Bu birinci mertebeden yaklaşımdır. b)Sabit pertürbasyon: Hkm (1)’nin zamandan bağımsız olması durumundaki pertürbasyona sabit pertürbasyon denmektedir. Bu durumda geçiş olasılığı 2 0 2 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 sin . ) ( km km km k t H t a dir. Bir m seviyesinden k seviyelerine (k enerji bandı) toplam geçiş olasılığı, m seviyesindeki enerji yoğunluğuna bağlı olarak, d t E H P m km 2 0 2 2 ) 1 ( 2 2 ) ( sin ) ( şeklindedir. c)Harmonik pertürbasyon: Pertürbasyon operatörünün zamana göre t Cos H t H ) 0 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( şeklinde değişimi harmonik pertürbasyonu ifade eder. Bu durumda mk geçişinde pertürbasyon genliği; 1 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( t i km t i km km k km km e i e i i H t a şeklinde olur. Burada kuantum sisteminin kendi öztitreşim frekansı km, zorlayıcı dış etkenin frekensı da dır. Bu durumda enerji farkı E= şeklinde olup, + uyarmalı salınım, - uyarmalı soğurma geçişini belirtir. =km rezonans şartında sistem pertürbasyon alanından maksimum enerji soğurur. d)Elektrik dipol seçim kuralları: Dış uyarıcı (pertürbasyon) ile oluşan geçişler için belirli kurallar vardır. Elektrik dipol geçişler için pertürbasyon operatörü (yani rf alanı), elektrik dipol moment r e D olmak üzere, H(1)(t)=e.r.1Cost dir. Bir m seviyesinden k seviyesine geçiş olasılığı Pmk ‘da <kDm>=0 (yasaklı geçiş), <kDm>0 (izinli geçiş) söz konusudur. Dalga fonksiyonlarının paritesi l ) 1 ( ile belirlidir. 1 l şeklinde açısal momentum kuantum sayısındaki değişime elektrik dipol seçim kuralı denir. Buna göre; elektrik dipol geçişler ancak farklı pariteli seviyeler arasında olabilmektedir. Bunun dışında manyetik kuantum sayısındaki değişimlere bağlı olarak, m=0 (-polarizasyonu), m=1 (- polarizasyonu) dır. Dış elektromanyetik alanların kuantum sistemlerini uyarması ile de geçişler olabilir. Bu durum atomik sistemlerde çok-kutuplu ışımalara yol açabilmektedir... Mehmet TAŞKAN KAYNAKLAR: 1)”Kuantum Fiziği” –Prf.Dr.Erol AYGÜN-Doç.Dr.D.Mehmet Zengin, Ankara Üniversitesi Yayınları- 2.Baskı-1992 2)”Atom ve Molekül Fiziği”- Prf.Dr.Erol Aygün-Doç.Dr.D.Mehmet Zengin-Ankara Üniversitesi yayınları-1992 3)”Çağdaş Fiziğin Kavramları”-Arthur Beiser-Çevoç.Dr.M.Çetin-Doç.Dr.H.yıldırım- Prf.Dr.Z.Gülsün. Dicle Ünv.yayınları-2,baskı-1989...... 4)Atom ve Molekül Fiziği, Prf Dr B:H:Bransden, Prf Dr C.J.Joachain, Çevirenler:Prf Dr F.Köksal, Prf Dr H.Gümüş, On dokuz Mayıs Ünv. 5)Fizikte matematik metotlar ,Prf Dr C.Önem, Erciyes Ünv, 3.baskı, Birsen Yay. 6)Physics-part 2, Prf Dr D.Halliday, Prf Dr R.Resnick, Wiley International Edition. 7)Katıhal fiziğine giriş, Prf Dr T.Nuri Durlu, Ankara Ünv, 1992 2.Baskı. |
Powered by vBulletin®
Copyright ©2000 - 2025, Jelsoft Enterprises Ltd.