Geometrik Şekillerin özellikleri Nelerdir

Geometrik Şekillerin özellikleri nelerdir

Çember


Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar kümesine çember denir
Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına kiriş denir [CD] kirişi gibi
En uzun kiriş merkezden geçen kiriştir
O merkezinden geçen [AB] kirişine çemberin çapı denir
Çemberi iki noktada kesen doğrulara kesen denir d2 doğrusu çemberi K ve L noktalarında kestiğine göre, kesendir
Çemberi bir noktada kesen doğruya teğet denir d1 doğrusu çemberi T noktasında kestiğinden teğettir

Dikdörtgen


Karşılıklı kenar uzunlukları eşit ve bütün açıları 90° olan dörtgene dikdörtgen denir
Dikdörtgen kapalı bir şekildir
Dört kenarı vardır Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir İkisi uzun, ikisi kısadır
Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir
Dört köşesi vardır, köşelerine konulan büyük harflerle adlandırılır
Dört dik açısı vardır, iç açılarının toplamı 360° dir

Kare


Kenar uzunlukları eşit ve bütün açıları 90° olan dörtgene kare denir
Kare kapalı bir şekildir
Dört kenarı vardır Bütün kenarları birbirine eşittir
Karşılıklı kenarları paraleldir
Dört köşesi vardır Köşelerine konulan büyük harflerle adlandırılır
Dört açısı vardır Açıların ölçüsü 90° dir Karenin iç açılarının toplamı 360° dir


Paralelkenar


Karşılıklı kenarları eşit ve paralel olan dörtgenlere paralelkenar denir Bir dörtgende karşılıklı kenarlar paralel ise eşit, eşit ise paralel olmak zorundadırlar

Üçgen


Bir üçgen, düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir
Düzlem geometrisinin temel şekillerinden biridir Bir üçgenin üç köşesi ve bu köşeleri birleştiren, doğru parçalarından oluşan üç kenarı vardır Bir Üçgenin iç açılarının toplamı 180° dış açılarının toplamı 360°'dir
Üçgenin üç köşesi vardır, köşelerine konulan büyük harflerle adlandırılır Üçgenin iç açıları toplamı 180° dir
Üç kenarı vardır
Üçgenin kenarları karşılarındaki köşenin küçük harfleri ile adlandırılır

Yamuk


Yamukta, alt ve üst tabanlar birbirine paraleldir Paralel olmayan kenarlara ait taban ve tepe açıları karşı durumlu açıdır yani toplamları 180 derecedir Köşegen uzunlukları ikizkenar yamukta eşittir

Altıgen



Bir altıgen, altı kenarı ve altı köşesi olan çokgendir Ayrıca kenarları ve iç açıları eşitse düzgün altıgen olarak adlandırılır Düzgün altıgenin iç açılarının her biri 120°'dir Düzgün altıgen altı eşkenar üçgenden oluştuğu için alanı ve çevresi kolayca bulunabilir Kenarı a uzunlukta olan düzgün bir altıgenin alanı, bir kenarı a olan bir eşkenar üçgenin alanının 6 katına eşittir İç açıları toplamı (n-2) 180'dir Dolayısıyla her bir iç açısının ölçüsü 120 derecedir
Altıgen tabanlı prizmanın hacmi ise her prizmatik cismin olduğu gibi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşttir Düzgün altıgen prizmanın bir kenarı a ve yüksekliği h ise;


Taban Alanı =

Hacim=


Beşgen




Bir beşgen, beş kenarı olan çokgendir İç açıları toplamı 540°, dış açıların toplamı ise 360°'dir

Düzgün beşgenler
Düzgün beşgenler, her bir kenar uzunluğu ve her bir iç açısının ölçüsü birbirine eşit olan beşgenlerdir Bu tür beşgenlerin çevresini ve alanını bulabilmek için, kenar uzunluğunun bilinmesi yeterlidir Alan hesabında aşağıdaki formül kullanılır;

Üçgen




Bir üçgen, düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir

Düzlem geometrisinin temel şekillerinden biridir Bir üçgenin üç köşesi ve bu köşeleri birleştiren, doğru parçalarından oluşan üç kenarı vardır Bir Üçgenin iç açılarının toplamı 180° dış açılarının toplamı 360°'dir

Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir

Bir ABC üçgenine, A tepe noktasından teğet geçecek ve BC ye paralel olacak şekilde bir doğru çizildiğinde, BC doğru parçasının açıları, iç ters açılar kuralından dolayı tepe açısının yanına gelerek bir doğru parçasının yarısını kaplarlar

Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir

Bir ABD üçgenine, D tepe noktasından teğet geçecek ve taban olan BC ye paralel olacak şekilde bir doğru çizilip kenarlar uzatıldığında, yöndeş açılar kuralı yardımıyla bu önerme kanıtlanabilir

Üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar vb) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diğer durumlarda da örneğin küresel ya da hiperbolik üçgen terimleri kullanılır

Eşkenar üçgen

Tüm kenarları eşit olan üçgendir Tüm iç açıları 60°'dir Tabanlara indirilen dikmeler hem açıortay, hem de kenarortaydır

İkizkenar üçgen

İki kenarı eşit olan üçgenlerdir Ayrıca iki açısı birbirine eşitir Eşit olmayan kenara indirilen dikme hem açıortay hem kenarortay özelliği gösterir

Çeşitkenar üçgen
Her kenarının uzunluğu farklı olan üçgenlerdir Tüm iç açıları birbirinden farklıdır Çeşitkenar üçgenin simetri ekseni yoktur

Dar Açılı Üçgen
Açıları 90 dereceden küçük olan üçgenlere denir

Dik Açılı Üçgen
Bir açısı dik (90°) olan üçgenlerdir Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir En uzun kenarına hipotenüs denir

Geniş Açılı Üçgen
Açılarından biri 90°den geniş olan üçgenlerdir Sadece bir tek açısı geniş açı olabilir Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir

Kare



Bütün kenarları ve açıları (90'ar derece) birbirine eşit olan dörtgendir Matematiğin en temel geometrik şekilleri arasındadır Aynı zamanda dikdörtgendir ve eşkenar dörtgendir Bu iki özel dikdörtgenin tüm özelliklerini taşırAynı zamanda kare bir düzgün çokgendir Eski adı ise murabbadır

Özellikleri

Dört kenarının da uzunluğu birbirine eşittir
Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir
Dört açısı da 90 derecedir
İki adet köşegeni vardır Bu köşegenler aynı zamanda açıortaylardır ve uzunlukları birbirlerine eşittir
Alanının formülü bir kenarı "a" olan karede 'axa'dır
Köşegenlerin kesim noktası 90 derecedir
Köşegenlerin kesiştikleri nokta karenin ağırlık merkezidir
Alanını bulmak için bir kenar uzunluğunun karesi alınır
Köşegenleri birbirini dik ortalar
Çevresi a4 veya 'a+a+a+a'ya eşittir
Aynı zamanda bir düzgün çokgendir
Karenin eski adı murabbadır

Dikdörtgen




Dikdörtgen, karşılıklı kenarları birbirine eşit, dik ve paralel olan dörtgene denir

Bir dikdörtgende, karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren birbirine dik iki simetri ekseni vardır Bu eksenlerin kesim noktası aynı zamanda köşegenlerin de kesim noktasıdır, bu noktaya simetri merkezi denir Dikdörtgenin dört açısı da dik açıdır ve köşegenleri birbirine eşittir Dikdörtgenin alanı, tabanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir Eski adı ise mustatil'dir

Özellikleri

Dikdörtgenin dört açısı da 90 derecedir İç açıları toplamı 360 derecedir
Dikdörtgenin karşılıklı kenarları birbirine eşittir
Dikdörtgeni ikiye eşit bölen çizgiye simetri denir
Dikdörtgenin karşılıklı kenarları paraleldir ve karenin 2 katının görünümündedir
Dikdörtgen aynı zamanda bir dörtgendir
Dikdörtgenin iki tane köşegeni vardırUzunlukları eşittir
Dikdörtgenin a-yukarı boydan giden sağ ve sol pergelleri birbirine eşit b-soldan sağa doğru giden pergelleri ise farklıdır bunu bu farkla anlaya biliriz
Dikdörtgenin çevre uzunluğu Ç=2(a+b) dir
Dikdörtgenin alanı A=ab dir

Paralelkenar




Paralelkenar, karşılıklı kenarları eşit olan ve iç açıları toplamı 360 derece olan bir dörtgendir Karşılıklı kenarları paralel ve uzunlukları eşittir

Paralelkenar : Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir Bir dörtgenin karşılıklı kenarları birbirine paralelse karşılıklı kenarlar birbirine eşittir

Özellikleri

Köşegenlerin karelerinin toplamı kenarların karelerinin toplamının iki katına eşittir
Alan formulü: A=aha
Çevre formulü: Ç=2(a+b)

Çokgenler

Çokgen düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan n tane (n ³ 3) noktayı ikişer ikişer birleştiren parçalarının oluşturduğu kapalı şekillerdir Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa iç bükey (konkav), kenar doğrularının hiçbiri çokgeni kesmiyorsa dış bükey (konkav) çokgen denir

Dışbükey çokgenlerin özellikleri

Köşegenlerinin tamamı çokgenin iç bölgesinde ise o çokgen dış bükey çokgendir
İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplam
180°(n-2)
Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde
Dış açılar toplamı =360°
Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin
köşegen sayısı=
Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir
n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir köşeden köşegenler çizilerek
(n – 2) adet üçgen elde edilebilir
Bir çokgen çizilebilmesi için en az ( n - 2 ) uzunluk ve en az ( n - 1 ) açı bilinmelidirEn az (2n -3) eleman verilmelidir

Düzgün Çokgenler

Tüm kenarları ve tüm açıları eşit olan çokgenlere düzgün çokgenler denir Düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü dirBir dış açısının ölçüsü ise 360/n dir (n=kenar sayısı)

n kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı a ve içteğet yarıçapı r ise alanı
Alan=nar/2 (r= içteğet çember merkezi ile iki köşenin oluşturduğu üçgenin yüksekliği)
n kenarlı bir düzgün çokgende bir kenarı gören merkez açı(Bu açı aynı zamanda dış açıdır) α=360/n ve çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı
Alan=nR²sinα/2 Ör: Düzgün bir altıgen altı tane eşkenar üçgenden oluşur Bir kenarına a dersek alanı hesaplama formülü şudur: Alan=6a²√3/4 a İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir

Beşgen





Bir beşgen, beş kenarı olan çokgendir İç açıları toplamı 540°, dış açıların toplamı ise 360°'dir

Düzgün beşgenler, her bir kenar uzunluğu ve her bir iç açısının ölçüsü birbirine eşit olan beşgenlerdir Bu tür beşgenlerin çevresini ve alanını bulabilmek için, kenar uzunluğunun bilinmesi yeterlidir Alan hesabında aşağıdaki formül kullanılır;



Doğada bamya beşgendir

Altıgen



Bir altıgen, altı kenarı ve altı köşesi olan çokgendir Ayrıca kenarları ve iç açıları eşitse düzgün altıgen olarak adlandırılır Düzgün altıgenin iç açılarının her biri 120°'dir Düzgün altıgen altı eşkenar üçgenden oluştuğu için alanı ve çevresi kolayca bulunabilir Kenarı a uzunlukta olan düzgün bir altıgenin alanı, bir kenarı a olan bir eşkenar üçgenin alanının 6 katına eşittir İç açıları toplamı (n-2) 180'dir Dolayısıyla her bir iç açısının ölçüsü 120 derecedir
Altıgen tabanlı prizmanın hacmi ise her prizmatik cismin olduğu gibi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşttir Düzgün altıgen prizmanın bir kenarı a ve yüksekliği h ise;
Taban Alanı = ve Hacim = olacaktır

Yedigen



Bir yedigen, yedi kenarı olan çokgendir 7'nin bir asal sayı olması nedeniyle, yedigenlerin de her köşesinden bir köşegen geçmemektedir

Yedigen'in Alanı = formülü ile bulunur

Sekizgen




Bir sekizgen, sekiz kenarı olan çokgendir İç açıları toplamı: 6180=1080 derecedir 1080:8=135 derece olur

Dokuzgen




Bir dokuzgen, dokuz kenarı olan çokgendir Bir düzgün dokuzgende bir iç açı 140 derecedir

Açısal hesaplamalar için formül



Alanı



veya yarıçap üzerinden:


Ongen




Bir ongen, on açısı ve on kenarı olan çokgendir Ongenin İç Açıları Toplamı 1440'dır Düzgün Ongenin Bir İç Açısı 144'tür Ongenin dış açıları toplamı ise 360'tır

Çemberde Ongen Çizimi

Öncelikle 4 Cm Yarıçaplı Bir Çember Çiziyoruz
Daha Sonra Dik Kesişen Bir Çap Daha Çiziyoruz
Ardından Yarıçapın Ortasındaki Noktayı Bulup Adlandırıyoruz (Örneğin: A)
Ardından Yarıçapın Ortasındaki Noktaya Pergelimizin Ucunu Batırıp Dik Kesiştirdiimiz Diğer Çapın Üstteki Noktası Kadar Açıyoruz Ve Alttaki Çapa Kadar Bir Yay Çiziyoruz
Çizdiğimiz Yayın Çap İle Birleştiği Noktadan Merkeze Kadar Olan Bölge Ongenin Bir Kenar Uzunluğudur
Bulduğumuz Kenar Uzunluğu Kadar Pergelimizi Açıp Sağdaki Noktadan Yayları Çizmeye Başlıyoruz(Pergel Kesinlikle Açılmayacak, Kapanmayacak, Aynı Kalacak Şekilde)
Çizdiğimiz Yayların Noktalarını Cetvel İle Birleştirip Ongen Elde Ediyoruz

Daire



Daire, çemberin içinde kalan alana verilen isimdir Burada alandan kasıt, bir çemberin çevrelediği noktaların kümesi olmasıdır Bir dairenin açık daire ya da kapalı daire olmasını dairenin sınırlarını oluşturan çemberin daireye dahil olup olmadığı belirler; çember daireye dahilse kapalı daire, değilse açık dairedir

Daireler genelde D harfiyle gösterilirler Bir çemberi tanımlayan merkezi ve yarıçapı olduğu için, dairenin gösteriminde daireyi tanımlayan çemberin merkezi ve yarıçapı kullanılır Bu nedenle, dairenin merkezi ve dairenin yarıçapı terimleri doğal olarak kullanılmaktadır Mesela 'deki birim çemberin tanımladığı daireye birim daire adı verilir ve D(0,1) ile gösterilir Burada 0 'dan kasıt 'deki orijindir

Yarıçapı r olan bir dairenin alanı A = πr2 formülüyle bulunur Çevre uzunluğu ise C = 2πr formülüyle bulunur Kartezyen koordinatlarda merkezi (a,b) ve yarıçapı R olan açık bir D dairesinin tanımı şu şekilde yapılmaktadır:



Benzer bir şekilde, aynı merkez ve yarıçapa sahip kapalı bir dairenin tanımı ise şu şekilde yapılmaktadır: