|
Prof. Dr. Sinsi
|
Aritmetik Ve Geometrik Diziler, Seriler
ARİTMETİK ve GEOMETRİK DİZİLER, SERİLER
Aritmetik Dizi
A TANIM
Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere aritmetik dizi denir Diğer bir ifadeyle " n Î N+ için, an+1 – an = d olacak şekilde bir d Î R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da ortak fark denir
ÖRNEK
(an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz Ortak farkını bulunuz
an+1 – an = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (an), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir
BGENEL TERİM
Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı d = 1 olan bir aritmetik dizidir
5
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir
Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir
ÖRNEK
İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?
a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n – 1) d
an = 8 + (n – 1) 2
an = 2n + 6’dır
CARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ
Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark : d = ap – ak dir
p - k
ÖRNEK
39 terimi 19 ve 45 terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?
a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 – a39)/(45 – 39)
d = (22 – 19)/6
d = ½’ dir
a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı :
d = b – a dır
n + 1
ÖRNEK
- 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?
a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4
Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse,
Sn = n [2a1 + (n – 1)d] ya da
2
Sn = n (a1 + an) olur
2
Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir Diğer bir ifadeyle k<p iken,
ap = ap – k +ap + k dır
2
ÖRNEK
19 terimi 42 ve 33 terimi 88 olan aritmetik dizinin 26 terimi kaçtır?
a19 = 42 ve a33 = 88 ve (19 + 33)/2 = 26 olduğu için,
a26 = (a19+a33)/2
a26 = (42+88)/2
a26 = 65’tir
GEOMETRİK DİZİ
TANIM
Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir Diğer bir ifadeyle
" n Î N+ için, an + 1 = r olacak şekilde bir r Î R varsa (an) dizisine geometrik dizi, r sayısına ortak
an
çarpan veya ortak oran denir
ÖRNEK
(an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz Dizinin ortak çarpanını bulunuz
(an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir
GENEL TERİM
Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun Bu durumda,
a1 = a1
a2 = ra1
a3 = ra2 = r2a1
a4 = ra3 = r3a1
Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn – 1a1 veya an = rn – pap dir
ÖRNEK
İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir?
a1 = 4 ve r = ½ an = rn – 1 a1
an = (1/2)n – 1 4
an = 23 - n
GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ
Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak çarpan : rp – k = ap eşitliğinde bulunur
ak
ÖRNEK
2 terimi 3/5 ve 5 terimi 75 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir?
a2 = 3/5 ve a5 = 75 r5 – 2 = a5/a2
r3 = 75/3/5
r3 = 125
r = 5 tir
Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse Sn = a11 – rn olur
1 – r
ÖRNEK
İlk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplamı 42 olan geometrik dizinin 3 terimi nedir?
a1 = 6 ve S3 = 42 ise S3 = a1 (1 – r3)/(1 – r)
Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir Diğer bir ifadeyle k < p iken, ap = dır
ÖRNEK
3 terimi 3 ve 5 terimi 6 olan geometrik dizinin 7 terimi nedir?
a3 = ve a5 = (a3 a7)1/2 6 = (3 a7)1/2 36 = 3 a7 a7 = 12’dir
SONUÇ:
Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir
ÖRNEK:
Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak çarpanı 6, n terimi y’dir Bu dizinin, ilk n teriminin toplamının x ve y’ye bağlı ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
a1 = x, r = 6 ve an = y olduğuna göre, an = a1rn – 1 y = x6n – 1 6n = 6y/x (*)
Sn = a1(1 – rn)/(1 – r) = x (1 – 6n)/(1 – 6) = x (1 – 6y/x)/(-5) = (6y – x)/5 dir
SERİLER
A TANIM
(an) reel terimli bir dizi olsun
= a1+a2+a3+ +an + sonsuz toplamına seri denir
an’e serinin genel terimi denir
Serinin ilk n teriminin toplamından oluşan Sn = a1+a2+a3+ +an toplamına serinin n kısmi toplamı denir
(Sn) = (S1,,S2,,S3,,Sn,) dizisine kısmi toplamlar dizisi denir
a) (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır ve serinin toplamı = lim Sn’ dir
b) (Sn) dizisi ıraksak ise seriside ıraksaktır
serisi yakınsak ise lim an = 0’dır Bu ifadenin tersi doğru değildirYani, lim an = 0 iken serisi yakınsak olmayabilir
lim an ¹ 0 ise serisi ıraksaktır
ÖRNEK
2n/5-n serisi veriliyor Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz
an = 2n/5-n = 2n5n = 10n dir lim an = lim 10n = ¥ dur lim an ¹ 0 olduğuna göre seri ıraksaktır
B ARİTMETİK VE GEOMETRİK SERİLER
Aritmetik Seriler
(an) dizisi bir aritmetik dizi ise serisine aritmetik seri denir Aritmetik serinin kısmi toplamı Sn = n (a1+a2)’dir Aritmetik seri ıraksaktır
2
ÖRNEK
(n – 10)/20 serisi veriliyor Serinin, aritmetik seri olduğunu gösteriniz Serinin kısmi toplamını bulunuz Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz
" n Î N+ için d = an +1 – an =(n+1-10)/20 – (n-10)/20 = 1/20 olduğu için seri aritmetik seridir
a1 = -9/20 ve an = (n – 10)/20 olduğuna göre, Sn =n/2(a1+an) = n/2[-9/20 + (n –10)/20]
=n(n – 19)/40 = ¥
olduğuna göre (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksak olduğu için sorulan seri ıraksaktır
Geometrik Seriler
(an) dizisi bir geometrik dizi ise serisine geometrik seri denir Geometrik serinin kısmi toplamı Sn = a11-rn’dir
1-r
|r| < 1 ise seri yakınsaktır ve serinin toplamı: = a1’dir
1-r
|r| ³ 1ise seri ıraksaktır
ÖRNEK
31-n serisi veriliyor
Serinin, geometrik seri olduğunu gösteriniz, serinin kısmi toplamını bulunuz, serinin yakınsak olduğunu gösteriniz, serinin toplamını bulunuz
" n Î N+ için, r = (an+1)/an = 31-(n+1)/31-n = 1/3 olduğu için seri geometrik seridir
a1 = 1 ve r = 1/3 olduğuna göre,
Sn = 1 [1 – (1/3)n]/(1 – 1/3) = 3/2[1 – (1/3)n] dir
r = 1/3 olduğuna göre |r| = |1/3| = 1/3 < 1 dir Bunu için seri yakınsaktır
Seri yakınsak olduğuna göre toplamı 31 – n = a1/(1 – r) = 1/(1 – 1/3) = 3/2 dir
|