Fen Edebiyat Fak.Ders Notları-Diferansiyel Denklemlerin Tarihsel Gelişimi

**Prof. Dr. Sinsi** · 08-23-2012

Diferansiyel Denklemlerin Tarihsel Gelişimi

Diferansiyel denklemler konusunda yapılan ilk çalışmalar 17

yüzyılın ikinci yarısında diferansiyel ve integral hesabın keşfinden (ortaya çıkmasından) hemen sonra İngiliz matematikçi Newton (1642-1727) ve Alman matematikçi Leibniz (1641-1716) ile başlar

Daha sonraları matematik tarihinde büyük isim yapmış olan İsviçreli matematikçilerden Bernouilli kardeşlerin 18

yüzyılda da Euler Clairaut Lagrance D'Alembert

Charbit Monge Laplace ile 19

yüzyılda da Chrystal Cauchy Jacobi Ampere Darboux Picard Fusch ve F

G

Frobenius diferansiyel denklemler teorisini bugünkü ileri seviyeye getiren matematikçilerdir

Belli tip diferansiyel denklemlerin belli şartlar altında bir çözümlerinin mevcut olmasının ispatı diferansiyel denklemler teorisinde varlık teoremi konusunu teşkil etmekte olup bu da ilk olarak 1820 ile 1830 yılları arasında Fransız matematikçi A

L

Cauchy tarafından tesis edilmiş ve daha sonra gelenler tarafından geliştirilmiştir

Newton ve Diferansiyel Denklem

İngiliz matematikçi Newton (1642-1727) diferansiyel denklemler üzerindeki çalışmalarına 1665 yılında başlamıştır

1671 yılında yayınladığı bir makale ile diferansiyel denklemleri 3 ayrı sınıfta göstermiştir

Bunlar:

Birinci Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları dy/dx tipinde olanlardır

Burada y x'in bir fonksiyonudur veya bunun tersi de söz konusudur

İkinci Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları (dy/dx) = f(xy) tipinde olanlardır

Üçüncü Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıftaki diferansiyel denklemler ise kısmi diferansiyel tipinde olanlardır

Leibniz ve Diferansiyel Denklem

Alman filozof ve matematikçi Leibniz (1646-1716) diferansiyel denklemler üzerine çalışmalarına 1673 yılında başlamıştır

Bu konudaki çalışmalarını 1684 ile 1686 yılları arasında yazdığı Aklaerudilorum adında bir eseri ile ortaya koymuştur

Leibniz'in bu eseri yayınlandığı yıllarda Almanya'da gereken ilgiyi görmemiştir

Fakat İsviçre'de Jaques ve Jean Bernouilli kardeşler tarafından ilgiyle incelenmiştir

1690 yılında Jaques Bernouilli bu konuda önemli bir eser yayınlanmıştır

Yine aynı yıllarda; Leibniz ve Bernouilli kardeşler tarafından diferansiyel üzerinde önemli araştırmalar yapmışlardır

Yeni çözüm yolları geliştirmişlerdir

Leibniz 1691 yılında; f (xy) = f (x

g (y)) şeklinde olan diferansiyel denklemin çözümünü yapmıştır

Euler ve Diferansiyel Denklem

Alman matematikçi Leonard Euler (1707-1783) 1728 yılında diferansiyel denklemler üzerinde geniş çalışmalar yapmıştır

Diferansiyel denklemlerin derecesini düşürme yöntemlerini geliştirmiştir

Seri çözümleri:

(1-x4)-1/2dx + (1-y4)1/2dy = 0

şeklinde olan Abel'in teoreminin cebirsel çözümünü bulmuştur

Bu çözüm eliptik fonksiyonlarda önemli rol oynamıştır

Euler'in Denklemi

ai ler sabit olmak üzere denklemin genel şekli:

a0xnyn + a1xn-1yn-1 +

+ an-1 xy + an = q(x)

olan bu denklem y'ye ve türevlerine göre lineerdir fakat katsayılar değişkendir

08-23-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Fen Edebiyat Fak.Ders Notları-Diferansiyel Denklemlerin Tarihsel Gelişimi Diferansiyel Denklemlerin Tarihsel Gelişimi Diferansiyel denklemler konusunda yapılan ilk çalışmalar 17 yüzyılın ikinci yarısında diferansiyel ve integral hesabın keşfinden (ortaya çıkmasından) hemen sonra İngiliz matematikçi Newton (1642-1727) ve Alman matematikçi Leibniz (1641-1716) ile başlar Daha sonraları matematik tarihinde büyük isim yapmış olan İsviçreli matematikçilerden Bernouilli kardeşlerin 18 yüzyılda da Euler Clairaut Lagrance D'Alembert Charbit Monge Laplace ile 19 yüzyılda da Chrystal Cauchy Jacobi Ampere Darboux Picard Fusch ve FG Frobenius diferansiyel denklemler teorisini bugünkü ileri seviyeye getiren matematikçilerdir Belli tip diferansiyel denklemlerin belli şartlar altında bir çözümlerinin mevcut olmasının ispatı diferansiyel denklemler teorisinde varlık teoremi konusunu teşkil etmekte olup bu da ilk olarak 1820 ile 1830 yılları arasında Fransız matematikçi AL Cauchy tarafından tesis edilmiş ve daha sonra gelenler tarafından geliştirilmiştir Newton ve Diferansiyel Denklem İngiliz matematikçi Newton (1642-1727) diferansiyel denklemler üzerindeki çalışmalarına 1665 yılında başlamıştır 1671 yılında yayınladığı bir makale ile diferansiyel denklemleri 3 ayrı sınıfta göstermiştir Bunlar: Birinci Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları dy/dx tipinde olanlardır Burada y x'in bir fonksiyonudur veya bunun tersi de söz konusudur İkinci Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları (dy/dx) = f(xy) tipinde olanlardır Üçüncü Sınıf Diferansiyel Denklemler: Bu sınıftaki diferansiyel denklemler ise kısmi diferansiyel tipinde olanlardır Leibniz ve Diferansiyel Denklem Alman filozof ve matematikçi Leibniz (1646-1716) diferansiyel denklemler üzerine çalışmalarına 1673 yılında başlamıştır Bu konudaki çalışmalarını 1684 ile 1686 yılları arasında yazdığı Aklaerudilorum adında bir eseri ile ortaya koymuştur Leibniz'in bu eseri yayınlandığı yıllarda Almanya'da gereken ilgiyi görmemiştir Fakat İsviçre'de Jaques ve Jean Bernouilli kardeşler tarafından ilgiyle incelenmiştir 1690 yılında Jaques Bernouilli bu konuda önemli bir eser yayınlanmıştır Yine aynı yıllarda; Leibniz ve Bernouilli kardeşler tarafından diferansiyel üzerinde önemli araştırmalar yapmışlardır Yeni çözüm yolları geliştirmişlerdir Leibniz 1691 yılında; f (xy) = f (xg (y)) şeklinde olan diferansiyel denklemin çözümünü yapmıştır Euler ve Diferansiyel Denklem Alman matematikçi Leonard Euler (1707-1783) 1728 yılında diferansiyel denklemler üzerinde geniş çalışmalar yapmıştır Diferansiyel denklemlerin derecesini düşürme yöntemlerini geliştirmiştir Seri çözümleri: (1-x4)-1/2dx + (1-y4)1/2dy = 0 şeklinde olan Abel'in teoreminin cebirsel çözümünü bulmuştur Bu çözüm eliptik fonksiyonlarda önemli rol oynamıştır Euler'in Denklemi ai ler sabit olmak üzere denklemin genel şekli: a0xnyn + a1xn-1yn-1 + + an-1 xy + an = q(x) olan bu denklem y'ye ve türevlerine göre lineerdir fakat katsayılar değişkendir