3. Dereceden Denklemler Cardano Formülleri

**Şengül Şirin** · 05-27-2009

3 Dereceden Denklemler Cardano Formülleri 3

DERECEDEN DENKLEMLER
CARDANO FORMÜLLERİ

Birinci ve ikinci dereceden denklemler katsayılar yardımıyla kolayca çözülebilir

Yalnız 3

dereceden denklemlerin çözümü için Gerolamo Cardano’nun 1545 yılında geliştirdiği bir yöntemden yararlanabiliriz

Cardano bu yöntemi bulurken Tartoglia ve Fior isimli matematikçilerin çalışmalarından da yararlanmıştır

Çözüm yöntemi aşağıda belirtildiği gibidir

3

Dereceden Denklemlerin Çözülmesi, Cordano Formülleri

Üçüncü dereceden
ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminde bazı dönüşümler yaparak sonuca ulaşacağız

Eğer bu denklemde x = y - dönüşümü yapılırsa
denklemi,
y3 + halini alır

p = , q = olmak üzere y3 + py + q = 0 şeklinde yeni bir dönüşüm yapmış olduk

Şimdi de bu denklemi çözmemiz gerekecek

Bunun için de ilk olarak y = dönüşümü yapıyoruz

Yeni dönüşümümüzle beraber y3 + py + q = 0 denklemi düzenlenirse;
şeklini alır

ve bilinmeyenleri içeren bu yeni denklemde de

= dönüşümünü yaparak yerine yazıyoruz

Üstteki denklemin yerini = -q,

= sistemi almış oldu

Son olarak
= N dönüşümüyle
M + N = -q, M

N = M ve N bilinmeyenler olmak üzere z2 + qz = = 0 denklemini elde ettik

Bu denklemin kökleri de 2

dereceden denklem çözümünden;
, olur

= M olduğundan
= 0
= 0 Buradan
 = 0  ve
 = 0 ,

, olmalı

Benzer şekilde:
, , bulunur

y = + olmak üzere toplayacağım ve değerleri

= koşulunu sağlamalıdır

görüldüğü gibi ve değerleri sağladı

Buda demektir köklerden biri y1 = + olacaktır

, değerleri alınırsa iken
olur
ve
olur
Buna göre, y = + olduğundan
y1 =
y2 =
y2 = bulunur

Yani

y1 =
y2 =
y3 =

Burada M =
N = idi

Burada  = 4p3 + 27q2 işaretine göre köklerin durumunu inceleyebiliriz

i)  = 4p3 + 27q2 > 0 ise:
M ve N birer gerçel sayıdır, dolayısıyla
y1 = kökü bir gerçel sayı, diğer iki kök ise eşlenik kompleks iki sayıdır

ii)  = 0 ise:
M ve N = olur

Dolayısıyla
y1 = (Gerçel sayı)
y2 = y3 = (Gerçel sayı)
Yani 3 kök de gerçel sayı olur

iii)  = 4p3 + 27q2 < 0 ise:
M ve N eşlenik kompleks iki sayı olur

Bu durumda Cardano formüllerinde bulduğumuz y1, y2, y3 köklerinde bir gerçel sayı, ise gerçel kısmı 0 olan bir kompleks sayı olacağından y1, y2 ve y3 kökleri birer gerçel sayıdır

y3 + py + q = 0 denkleminin kökleri y1, y2 ve y3 bu şekilde bulunduktan sonra x = y - dönüşümü kullanılarak ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri bulunur

05-27-2009	#1
Şengül Şirin	3. Dereceden Denklemler Cardano Formülleri 3 Dereceden Denklemler Cardano Formülleri 3 DERECEDEN DENKLEMLER CARDANO FORMÜLLERİ Birinci ve ikinci dereceden denklemler katsayılar yardımıyla kolayca çözülebilir Yalnız 3dereceden denklemlerin çözümü için Gerolamo Cardano’nun 1545 yılında geliştirdiği bir yöntemden yararlanabiliriz Cardano bu yöntemi bulurken Tartoglia ve Fior isimli matematikçilerin çalışmalarından da yararlanmıştır Çözüm yöntemi aşağıda belirtildiği gibidir 3 Dereceden Denklemlerin Çözülmesi, Cordano Formülleri Üçüncü dereceden ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminde bazı dönüşümler yaparak sonuca ulaşacağız Eğer bu denklemde x = y - dönüşümü yapılırsa denklemi, y3 + halini alır p = , q = olmak üzere y3 + py + q = 0 şeklinde yeni bir dönüşüm yapmış olduk Şimdi de bu denklemi çözmemiz gerekecek Bunun için de ilk olarak y = dönüşümü yapıyoruz Yeni dönüşümümüzle beraber y3 + py + q = 0 denklemi düzenlenirse; şeklini alır ve bilinmeyenleri içeren bu yeni denklemde de = dönüşümünü yaparak yerine yazıyoruz Üstteki denklemin yerini = -q, = sistemi almış oldu Son olarak = N dönüşümüyle M + N = -q, MN = M ve N bilinmeyenler olmak üzere z2 + qz = = 0 denklemini elde ettik Bu denklemin kökleri de 2dereceden denklem çözümünden; , olur = M olduğundan = 0 = 0 Buradan  = 0  ve  = 0 , , olmalı Benzer şekilde: , , bulunur y = + olmak üzere toplayacağım ve değerleri = koşulunu sağlamalıdır görüldüğü gibi ve değerleri sağladı Buda demektir köklerden biri y1 = + olacaktır , değerleri alınırsa iken olur ve olur Buna göre, y = + olduğundan y1 = y2 = y2 = bulunur Yani y1 = y2 = y3 = Burada M = N = idi Burada  = 4p3 + 27q2 işaretine göre köklerin durumunu inceleyebiliriz i)  = 4p3 + 27q2 > 0 ise: M ve N birer gerçel sayıdır, dolayısıyla y1 = kökü bir gerçel sayı, diğer iki kök ise eşlenik kompleks iki sayıdır ii)  = 0 ise: M ve N = olur Dolayısıyla y1 = (Gerçel sayı) y2 = y3 = (Gerçel sayı) Yani 3 kök de gerçel sayı olur iii)  = 4p3 + 27q2 < 0 ise: M ve N eşlenik kompleks iki sayı olur Bu durumda Cardano formüllerinde bulduğumuz y1, y2, y3 köklerinde bir gerçel sayı, ise gerçel kısmı 0 olan bir kompleks sayı olacağından y1, y2 ve y3 kökleri birer gerçel sayıdır y3 + py + q = 0 denkleminin kökleri y1, y2 ve y3 bu şekilde bulunduktan sonra x = y - dönüşümü kullanılarak ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri bulunur __________________ Arkadaşlar, efendiler ve ey millet, iyi biliniz ki, Türkiye Cumhuriyeti şeyhler, dervişler, müritler, meczuplar memleketi olamaz En doğru, en hakiki tarikat, medeniyet tarikatıdır